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ERSTES KAPITEL.

Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren.

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Bevor wir die allgemeinen Gesetze der orthogonalen Parallelprojektion entwickeln und sie auf räumliche Gebilde anwenden, betrachten wir die ebenen Gebilde für sich. Hierbei beschränken wir uns nicht auf die orthogonale Parallelprojektion, sondern behandeln zuerst gewissermaßen als Vorstufe - die einfachste Form der Centralprojektion, bei welcher Original- und Bildebene parallel liegen, hierauf aber sogleich die schiefe Parallelprojektion. Aus diesen beiden im Raume zu vollziehenden Projektionsarten werden die Ähnlichkeit und die Affinität zwischen Figuren einer Ebene abgeleitet; ihre Kombination ergiebt eine allgemeinere Verwandtschaft, die Affinität im weiteren Sinne, die uns jedoch hier nicht beschäftigen soll 1).

Ähnlichkeit ebener Figuren.

1. Es sei eine Ebene E im Raume gegeben. Zu ihr parallel werde eine zweite Ebene E, und außerhalb beider ein Punkt O

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als Bildebene eine zweite Figur, deren Punkte und Geraden denen. der gegebenen Figur eindeutig entsprechen. Beispielsweise geht (Fig. 1) aus dem Dreieck ABC in E ein Dreieck A,B,C1 in E1 als

Bild hervor. Die Beziehung, in welcher die einander entsprechenden Figuren stehen, heißt Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage und besitzt folgende Eigenschaften:

a) Entsprechende Gerade sind parallel; also:

6) Parallelen Geraden g und h entsprechen parallele Gerade 91 und h1 und einem Winkel

cher Winkel 1.

7) Das

ein ihm glei

Verhältnis irgend zweier entsprechenden Strecken AB und 4,B, ist konstante: e1, wenn e = (0E), e1 = (OE) gesetzt wird.

Offenbar ist:

und folglich auch:

e1

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Ist für irgend zwei ebene Figuren eine der beiden letzten Eigenschaften und folglich auch die andere erfüllt, so sind sie nur als ähnlich zu bezeichnen. Kommt aber die erste Eigenschaft hinzu. so befinden sie sich in ähnlicher Lage. In der That braucht man nur zwei einander entsprechende parallele Strecken AB und

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die Verschiebung des Centrums, ist mit derjenigen der Bildebene parallel und gleichgerichtet oder ihr entgegengesetzt, je nachdem und E, auf derselben oder auf verschiedenen Seiten von E liegen; der Größe nach ist sie durch die Relation:

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2

bestimmt, wo a die Größe der Verschiebung der Punkte von E1 bezeichnet. Geht nämlich (Fig. 2) 4,, das Bild eines beliebigen Punktes A, bei der im Raume vollführten Parallelverschiebung von E1 in A, über, so schneidet die Gerade 4,4 die durch O gezogene Parallele zu 412 in einem Punkte O', welcher durch die obigen Angaben bestimmt ist; dies gilt für jedes Paar entsprechender Punkte. Insbesondere bleibt der Charakter unserer Abbildung erhalten, wenn E, durch eine geeignete Parallel verschiebung mit E selbst zur Deckung gebracht wird. Diese Operation, bei der ein bestimmter Punkt von E1 in einen beliebigen Punkt von E verschoben werden kann, liefert ähnliche und ähnlich liegende Gebilde in einer Ebene. In die Ebene E fällt auch das Centrum O' und die projizierenden Strah

len. Die drei oben genannten Eigenschaften bleiben für die so erhaltene ähnliche Beziehung in der Ebene unverändert bestehen. Sie ist eindeutig bestimmt durch Angabe des Centrums und zweier einander entsprechender Punkte, oder durch ein Paar paralleler entsprechender Strecken.

3. Der vorige Satz ist ein Spezialfall des folgenden: Sind im Raume zwei Figuren zu einer dritten ähnlich und ähnlich gelegen, so sind sie es auch zu einander. Das neue Ähnlichkeitscentrum liegt

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mit den beiden gegebenen in gerader Linie. Sind nämlich Â В und à ̧‚ В1 (Fig. 3) entsprechende Punkte zweier ähnlicher und ähnlich gelegener Figuren, sowie O das zugehörige Ähnlichkeitscentrum, gilt ferner dasselbe von A, B, A, B und O', so liegen A12 und B12 in einer Ebene, weil A,B1||AB|| A1⁄2В1⁄2 ist. Weiter liegt der Strahl 12 in der Ebene 400′ und schneidet OƠ′ in einem Punkte O". In demselben Punkte wird 00′ von B1B2 ge

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1 2

schnitten; denn B1B2 und 00′ müssen sich in einem Punkte schneiden, da sie in einer Ebene liegen; das muß aber der Schnittpunkt von 00′ mit der Ebene АВ ̧ÂÂ1⁄2, also O" sein. O" ist das neue Ähnlichkeitscentrum. Der Satz gilt auch für Figuren in einerlei Ebene.

1

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4. Von den Folgerungen, die man unmittelbar aus diesen Betrachtungen ziehen kann, mag als beachtenswert diese hervorgehoben

Fig. 4.

=

7:71

=

werden, daß jede zu einem Kreise ähnliche Figur wiederum ein Kreis. ist, und daß je zwei Kreise einer Ebene in doppelter Weise als in ähnlicher Lage befindlich angesehen werden. können. Da nämlich die Mittelpunkte M und M1 einander entsprechen (Fig. 4) und entsprechende Radien parallel und gleich oder entgegen

gesetzt gerichtet sind, so ergeben sich auf MM, zwei Ähnlichkeitscentren O und O' (ein äußeres und ein inneres), für welche die Verhältnisgleichung OM: OM1 O'M: O'M1 besteht. Die Verbindungslinien der Endpunkte von parallelen, gleichgerichteten Radien gehen durch O, von entgegengesetzt gerichteten Radien aber durch O'. Durch O und O' gehen auch die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise, deren es im allgemeinen vier giebt.

Parallelprojektion einer ebenen Figur auf eine andere Ebene.

5. Die zu projizierenden Gebilde seien in der Ebene E gelegen; als Bildebene nehmen wir irgend eine zweite Ebene E, an. Werden durch die Punkte und Geraden einer in der Ebene E befindlichen Figur in einer festgewählten Richtung projizierende Strahlen resp. Ebenen gezogen und mit E, geschnitten, so entsteht eine zweite Figur, die mit ihren Punkten und Geraden der vorgelegten eindeutig zugeordnet ist. Das Dreieck A,B,C1 in E1 geht z. B. auf diese Weise aus dem Dreieck ABC in Ehervor (Fig. 5). Das benutzte Verfahren wird im allgemeinen als schiefe, im besonderen, wenn die Projektionsrichtung zur Bildebene E, senkrecht steht, als orthogonale Parallelprojektion bezeichnet. Die geometrische Abhängigkeit zwischen den entsprechenden Figuren

heißt Affinität bei affiner Lage; die projizierenden Strahlen werden Affinitätsstrahlen, ihre Richtung Affinitätsrichtung, die Schnittlinie a=EXE1

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E

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insbesondere ist ga, wenn ga angenommen wird. P) Parallelen Geraden g und h entsprechen parallele Gerade g, und h.

7) Einem Winkel entspricht im allgemeinen ein von ihm verschiedener Winkel 1. Es existiert aber an je zwei affinen Punkten P und P, ein Paar entsprechender rechtwinkliger Strahlen.

Das Verhältnis je zweier Strecken auf der nämlichen oder auf parallelen Geraden ist dem ihrer Bilder gleich.

Die unter ) angeführten entsprechenden rechten Winkel erkennt man aus folgender Konstruktion. Man lege durch die Mitte der Strecke PP, eine zu ihr rechtwinklige Ebene A und um deren Achsenschnittpunkt Max A eine Kugelfläche, welche P und also auch P, enthält. Schneidet diese die Achse a in X und Y, so sind ▲ XPY und ▲ XP1Y einander entsprechende und, weil sie über dem Kugeldurchmesser stehen, zugleich rechte Winkel.

Liegen die in d) erwähnten Strecken auf der nämlichen Geraden g, also ihre Bilder auf der affinen Geraden g1, so werden die gegebenen und ihre Bildstrecken auf den Schenkeln des gg1 durch Parallelen ausgeschnitten, woraus der eine Teil des Satzes unmittelbar folgt. Der allgemeinere Fall zweier paralleler Strecken AB und CD wird

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