und N' ist der Mittelpunkt von u′ (N'R' O'M'). Die Endpunkte A, B der Achse NR von u liegen auf einem Parallelkreise h, dessen Ebene den Mittelpunkt N von u enthält; N liegt aber nach 392 auf MO. Die Erzeugende t = T1T, die i in U und k in V schneidet, schneidet h im Punkte X, für den die Relation X'U': X'V' N'O': N'M' gilt; denn OU, MV und NX liegen in parallelen Ebenen. Durch diese Relation ergibt sich X', indem sich O'U', M'V' und N'X' in einem Punkte schneiden, und es ist M'A' M'B' = M'X'.

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Im vorliegenden Falle ist u eine Hyperbel und ihre Asymptoten sind parallel zu den Mantellinien des Asymptotenkegels, deren Tangentialebenen durch O gehen. Der Asymptotenkegel schneidet die Ebene des Parallelkreises i in einem Kreise mit dem Radius U'V', die Tangenten von O an diesen Kreis berühren ihn in Punkten C, D jener Mantellinien, ihre Projektionen C', D' liegen demnach auch

396. Ein

Hyperboloid zu konstruieren, das eine Ringfläche längs eines Parallelkreises oskuliert (Fig. 258). Betrachten wir eine Meridianebene, die das Hyperboloid in einer Hyperbel h und die Ringfläche in einem Kreise k schneidet, so müssen sich h und k in einem Punkte Posku

lieren, durch den jener Parallelkreis geht. Nach dem Abschnitt über Krümmungskreise der Kegelschnitte im III. Band erhält man den Mittelpunkt N von h, indem man P mit dem Mittelpunkte O von k verbindet, OP mit der Achse a in Q schneidet, in Q eine Normale auf OQ errichtet und diese mit der zu a senkrechten Geraden OM in R schneidet; dann enthält RP den gesuchten Mittelpunkt N von h. Die Asymptoten von h sind dadurch definiert, daß sie zur Achse a symmetrisch liegen und den Winkel der konjugierten Durchmesser NR und NS harmonisch teilen (NS | OP, S = OM × NS). Bezeichnet man mit K den Schnittpunkt der einen Asymptote mit OM, so ist: MR. MS = (MK)2, was eine einfache Konstruktion der Asymptoten ergibt, die in die Zeichnung nicht eingetragen ist.

397. Die soeben behandelte Aufgabe kann nun verschiedenartige Anwendungen finden; wir wollen uns zunächst nach den Haupttangenten in einem beliebigen Punkte A einer Rotationsfläche fragen. Bestimmen wir das Hyperboloid A, das die Rotationsfläche längs des Parallelkreises i durch oskuliert, so sind seine Erzeugenden durch A Haupttangenten der Rotationsfläche; denn sie treffen drei unendlich nahe Parallelkreise, haben also drei benachbarte Punkte mit der Rotationsfläche gemein. Um nun in der Hauptmeridianebene die Hyperbel zu zeichnen, die den Hauptmeridian der Rotationsfläche in dem Punkte P oskuliert, der mit auf dem Parallelkreise i liegt, haben wir zunächst im Punkte P den Krümmungskreis k des Hauptmeridians zu suchen. Der Kreis k bildet dann den Hauptmeridian einer Ringfläche, die unsere Rotationsfläche längs des Parallelkreises i oskuliert; das gesuchte Hyperboloid oskuliert dann sowohl Rotations- wie Ringfläche längs dieses Kreises, kann demnach nach voriger Nummer gefunden werden (Fig. 258). Die Haupttangenten im Punkte A sind parallel zu den beiden Mantellinien des Asymptotenkegels von A, die in einer zur Tangentialebene in A parallelen Ebene liegen; verschieben wir also den Asymptotenkegel parallel zu sich selbst bis sein Scheitel nach gelangt, so enthält er jene Haupttangenten. Es gilt nun, den Spurkreis des verschobenen Kegels und die Spurlinie der Tangentialebene in einer zur Achse a senkrechten Ebene, etwa in der Ebene П, durch O, zu finden. Wir führen diese Konstruktion zunächst für den Punkt P aus; durch Drehung um die Achse a erhalten wir dann die gesuchten Haupttangenten. Auf OM wählen wir die Punkte J und T so, daß PJ OM und PT OP ist, beschreiben in П, über JR als Durchmesser einen Kreis und ziehen durch 7 die Normale zu OM, dann schneiden sich Kreis und Nor

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ROHN u. PAPPERITZ. I. 3. Aufl.

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male in den Spurpunkten U und der Haupttangenten von P (in der Figur ist П, um OM umgelegt). In der Tat ist nach der Konstruktion (JU)2 = (JV)2 = JT. JR, wie es ja sein muß, da in der Ebene des Hauptmeridians PR, PT und die beiden Mantellinien des mit seinem Scheitel nach P verschobenen Asymptotenkegels harmonisch liegen.

Trägt man nun noch MTM" T" auf M'A' als M'D' auf, zieht in D' die Senkrechte zu M'A' und macht D'B' = D'C' = T" U。, so sind A'B' und A'C' die ersten Projektionen der Haupttangenten von 4, deren zweite Projektionen daraus unmittelbar sich ergeben. Man gebraucht also nur die Strecken T"M" und TU, so daß man nur die folgenden Linien zu ziehen hat: O"P"Q", Q"R" || P"T" 1 O"P", P''J" || T" U || a" und den Kreis über R"J".

Hiermit ist auch die Konstruktion der Tangenten im Doppelpunkte P der ebenen Schnittkurve s einer Rotationsfläche in 378 gegeben.

398. Es soll in einem Punkte A der Lichtgrenze u auf einer Ringfläche die Tangente von u gezeichnet werden (Fig. 259). Ist i der Parallelkreis durch A, so suchen wir, wie vorher, das längs i oskulierende Hyperboloid; seine Lichtgrenze ist ein Kegelschnitt v, der u im Punkte A berührt. Denn u und v haben den Punkt gemein, da sich beide Flächen längs i berühren. Da aber sogar Oskulation der Flächen längs eintritt, kann man die Sache so auffassen, als ob sich die Flächen längs zweier unendlich naher Parallelkreise berühren, woraus dann die Behauptung folgt. Ist nun a die Achse dieser Ringfläche, M ihr Mittelpunkt, k ihr Hauptmeridian, O dessen Mittelpunkt, ist ferner der Lichtstrahl durch M, so findet man mittels des Kugelverfahrens nach 380 auf dem Parallelkreise i den Punkt A (i x k = J, 0"J" xa" =N", N"K" _l", K'A') und nach dem Vorausgehenden den Mittelpunkt des längs i oskulierenden Hyperboloides (N" U N" O", J"U × a′′ = L"), Die gesuchte Tangente der Kurve u in A liegt nun einerseits in der Tangentialebene der Ringfläche in diesem Punkte, andererseits in der zur Lichtrichtung konjugierten Diametralebene des Hyperboloides (392). Die erstere Ebene steht auf der Meridianebene durch A senkrecht, die letztere auf der Meridianebene durch 7; beide gehen durch 1, letztere auch durch Z. Die Schnittlinien beider Ebenen mit der durch L gelegten Horizontalebene schneiden sich in einem Punkte H der gesuchten Tangente (M'H'l', G'H' M'A', G'M' = J′′P, L"PO"J"); der Aufriß der Tangente AH ist zur Vereinfachung der Figur weggelassen. In ganz analoger Weise ist auf dem Kreise 4,

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der im Punkte J, trifft, zunächst der Punkt 4, der Lichtgrenze u bestimmt (N"K" 17′′, K‚'‚' 17') und dann die Tangente H141 gefunden worden. Freilich haben wir es hier mit einer Ellipse zu tun, deren eine Achse mit a zusammenfällt und die k in ♫ oskuliert, L1 ist ihr Mittelpunkt (J"U × a′′ = L1′′); durch Rotation dieser F2

Ellipse um a entsteht ein Rotationsellipsoid, das die Ringfläche längs oskuliert. Da das Ellipsoid ähnliche Eigenschaften hat wie das Hyperboloid (vgl. 403), so ist seine Lichtgrenze ebenfalls ein Kegelschnitt, dessen Ebene durch den Mittelpunkt L, geht und auf der Meridianebene durch 7 senkrecht steht. Es findet sich deshalb der Punkt H1 der gesuchten Tangente ganz ebenso wie vorher H

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(M'Н‚' ■ l'‚ G‚'Н1' 1 M'A‚'‚ G1'M' = J1′′P1, L‚′′P1 10′′Ï‚”‚ Ï‚”Р1 ¦ a′′). Hat man es mit einer beliebigen Rotationsfläche zu tun, so ist zunächst in dem bezüglichen Punkte der Krümmungskreis der Meridiankurve zu zeichnen, dann kann wie vorher weiter verfahren werden.

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399. Das oskulierende Hyperboloid resp. Ellipsoid kann man auch zur Konstruktion der Krümmungskreise in den Scheitelpunkten der Lichtgrenze u verwenden. Solche Scheitelpunkte von u liegen in der Meridianebene durch und in der Ebene der Parallelkreise mit dem Mittelpunkte M. Die Scheitelpunkte B, B1 in der Meridianebene durch 7 ergeben sich durch Drehung dieser Ebene um a parallel zu П1⁄2 (Bo0′′ B1° ±1o, 1o ist der ||T2 gedrehte Lichtstrahl). Ist b der Parallelkreis durch B, so hat das längs b oskulierende Hyperboloid seinen Mittelpunkt in D auf a (0′′Bo × a′′ = Q′′, 1 : Q"V O′′ B°, V = 0"M" × Q′′V, D" = B°V x a"). Die Ebene, welche in BD senkrecht auf der bezüglichen Meridianebene steht, schneidet das Hyperboloid in seiner Lichtgrenze w, da diese B enthält. Die Ellipse w hat aber mit u in B vier unendlich nahe Punkte gemein; denn das in einem beliebigen Parallelkreise i oskulierende Hyperboloid besitzt eine Lichtgrenze v, die u in seinen beiden Schnittpunkten mit i berührt; diese beiden Berührungspunkte fallen für den Parallelkreis b zusammen.

Die Ebene von wo ist zugleich die Schmiegungsebene von u im Punkte B und der Krümmungskreis in diesem Punkte, der für u und w der gleiche ist, liegt auf der Kugel mit dem Mittelpunkte Q, welche die Ringfläche längs berührt. Denn in der Tat schneidet die Schmiegungsebene den Kreis und den ihm unendlich nahen Parallelkreis in je zwei unendlich nahen Punkten; diese vier unendlich nahen Punkte gehören aber ebenso, wie die bezüglichen Parallelkreise, zugleich der Ringfläche, dem oskulierenden Hyperboloide und der soeben genannten Kugel an, so daß der in der Schmiegungsebene liegende Kugelkreis mit u in B vier unendlich nahe Punkte gemein hat. Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist also der Fußpunkt C des von Q auf BD gefällten Lotes; in der zum Aufrisse parallel gedrehten Ebene ist Q"C° B°V und CoB0 der Radius des Krümmungskreises von u in B. Dieser Kreis projiziert sich in П, als Ellipse mit der kleinen Achse B'C', ihre große Achse hat die Länge BoCo, und ihr Krümmungsradius in B' ist zugleich der von u'; seine Konstruktion erfolgt nach 274.

Ganz in der gleichen Weise bestimmen sich die Radien der Krümmungskreise von u in B1 und von u' in B', an Stelle des

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