nämlich durch A mehrere Sehnen gewöhnlich zwei oder drei die der Tangente ziemlich nahe liegen, so liegen ihre Mittelpunkte auf einer Kurve, die verlängert offenbar durch den gesuchten Berührungspunkt B verlaufen muß. Denn die Sehnen durch A kann man, wenn sie der Tangente sehr nahe kommen, als fehlerhafte Tangenten auffassen; ihre Mittelpunkte M, M2, . . . aber nähern sich dem Berührungspunkte B, da die wirkliche Tangente eine unendlich kleine Sehne und ihr Mittelpunkt den Berührungspunkt bildet. Die der Tangente am nächsten liegende Sehne muß so gewählt werden, daß sie noch brauchbare Schnittpunkte mit der Kurve bildet, aber sich doch nicht zu weit von der Tangente entfernt. 2 Liegt der Punkt A unendlich fern, d. h. soll t eine vorgeschriebene Richtung aufweisen, so verfährt man ganz wie vorher, nur werden dann die benutzten Sehnen parallel. Man kann auch andere Fehlerkurven benutzen, doch darf man sich auf die angegebene als die einfachste beschränken, da sie nicht weniger genau als andere ist. Fällt der gesuchte Punkt B in die Nähe eines Wendepunktes der Kurve, so ist die Konstruktion nicht mehr direkt anwendbar, weil die Strahlen aus 4 die Kurve in der Umgebung des Wendepunktes nur in je einem Punkte schneiden. Man zieht dann durch A zwei Paar Strahlen, symmetrisch in Bezug auf eine der Wendetangente nahekommende Linie, und bestimmt die zu ihren Schnittpunkten mit der Kurve symmetrischen Punkte. Jetzt liegen wieder auf jedem Strahl zwei Punkte und die Mittelpunkte ihrer Strecken ergeben die Fehlerkurve. Es mag bemerkt werden, daß die Fehlerkurve bei einem Kreise wieder ein Kreis, bei einem Kegelschnitt wieder ein Kegelschnitt ist. B-E, P E E 425. In einem Punkt B einer Kurve, die gezeichnet vorliegt, die Tangente zu ziehen (Fig. 273). Um B als Mittelpunkt beschreibe man einen Kreis und lege verschiedene Gerade durch B. Auf diesen schneidet die gegebene Kurve die Sehnen BC1, BC2, ... aus, während der Kreis auf ihnen die Radien BD1, BD,... bestimmt, die von B aus nach derselben Seite liegen. Verschiebt man nun auf diesen Geraden die Sehnen BC1, BC, ... bis ihr Endpunkt B nach D1, D2 ... fällt, so definieren ihre andern Fig. 273. 2 Endpunkte, die in E1, E... liegen, eine Fehlerkurve. Auf jedem Strahl durch B ist nun die Strecke zwischen Kreis und Fehlerkurve gleich der Länge der bezüglichen Sehne, also geht die gesuchte Tangente t durch den Schnittpunkt E von Kreis und Fehlerkurve. Schneidet der Kreis die gegebene Kurve in C, und C1, so fällt E mit B zusammen und es ist BD1 = DE1; die Fehlerkurve berührt also die Gerade BC, im Punkte B. Außer den Strahlen BC, und BD wird man noch zwei weitere BC1 und BC, benutzen, für welche BC1 = BC, nahezu dem halben Kreisradius gleich ist. 4 3 Statt des Hilfskreises kann man auch jede andere Hilfskurve wählen, z. B. mit Vorteil eine Gerade, die mit der gesuchten Tangente nahezu einen rechten Winkel einschließt. 426. Ein anderes zweckmäßiges Verfahren besteht darin, daß man um B Kreise schlägt, die auf der gegebenen Kurve Punktepaare CD, CD,... ausschneiden (Fig. 274). Die Geraden CD1, C2 D2. umhüllen dann eine Kurve, die auch von der gesuchten ... 2 2 Tangente berührt werden muß. Denn die letztere ergiebt sich durch Benutzung eines Kreises mit unendlich kleinem Radius. Es sind mindestens drei Hilfskreise zu benutzen; durch die bezüglichen drei Geraden als Tangenten wird dann angenähert ein Kurvenstück bestimmt, mit dessen Hilfe die gesuchte Tangente sich zeichnen läßt. Die durch die Hilfskreise bestimmten Geraden schneiden sich zwar unter sehr spitzen Winkeln, so daß ihre Schnittpunkte nicht sehr genau werden; das hat indessen wenig Einfluß auf die Genauigkeit des Resultates. Da die Normale in einem Punkte einer Kurve diejenige Gerade ist, die auf der bezüglichen Tangente senkrecht steht, so kann nach dem Vorausgehenden mit Hilfe der Tangente die Normale in einem gegebenen Kurvenpunkte bezeichnet werden. Dagegen bedarf die folgende Aufgabe noch der Erwägung. 427. Von einem Punkte A außerhalb einer in Zeichnung vorliegenden Kurve an dieselbe eine Normale zu ziehen. ... Man ziehe (Fig. 275) um A als Mittelpunkt mehrere Kreise mit zunehmenden Radien, von denen der größte die gegebene Kurve in zwei nahe bei einander liegenden Punkten C1D, schneidet. Auch die übrigen Kreise schneiden Punktepaare CD2, aus und die Mittelpunkte der Sehnen CD, CD... bilden eine Fehlerkurve, die die gegebene Kurve in dem Fußpunkt B der gesuchten Normalen schneiden muß. Da nämlich die FehlerA kurve der Ort der Mittelpunkte aller Sehnen ist, die durch die Kreise um den Mittelpunkt A bestimmt werden, so muß der Kreis durch B die Kurve in B berühren, sein Radius AB steht also auf der Kreistangente in B, die zugleich Kurventangente ist, senkrecht. Man muß mindestens drei Hilfskreise anwenden. D Fig. 275. 428. Die Konstruktion der Punkte einer ebenen Kurve kommt stets darauf hinaus, daß jeder solche Kurvenpunkt als Schnittpunkt zweier Hilfskurven erscheint, und zwar sind diese Hilfskurven in sehr vielen Fällen Gerade oder Kreise. Es läßt sich nun eine genaue Tangentenkonstruktion bei einer ebenen Kurve auf die zur Bestimmung ihrer Punkte verwendeten Hilfskurven gründen. 14) 2 Seien P1 und P2 zwei Punkte unserer Kurve c (Fig. 276), seien ferner k1, 4 die Hilfskurven durch P, und k, l, diejenigen durch P2, und zwar derart, daß bei einem stetigen Übergange von P, in P1 die Kurven ką, la resp. in k1, l, stetig übergehen. Dann betrachten wir das Viereck P1MP2N (wo M = k1 × ↳2 und N = k2 × 4), dessen Seiten von Stücken der Kurven k1, k, l, l1⁄2 gebildet werden. Wählen wir nun den Punkt h P2 unendlich nahe bei P1, so wird das genannte Viereck unendlich klein; wir können dann seine Seiten als geradlinig ansehen und seine Diagonale PP, fällt K2 offenbar mit der Tangente t von Punkte Pi zusammen. Ferner werden die Kurven k1, ką g Fig. 276. K N die Kurven 4, 4 c im und ganz ebenso in ihrer ganzen Erstreckung nur unendlich wenig von einander abweichen, deshalb dürfen wir (nach 420) PM und PN und analog P1N und PM als parallel ansehen; denn die Neigungswinkel der Gegenseiten sind unendlich klein. Das Viereck P1MPN wird also beim Übergang zur Grenze ein Parallelogramm, von dessen Seiten zwei in die Tangenten g und h der Kurven k, und im Punkte P, fallen. Denken wir uns nun auf der gesuchten Tangente t einen beliebigen Punkt Q und durch ihn Parallelen zu g und h, so entsteht ein Parallelogramm PM'QN', das zu dem unendlich kleinen Parallelogramm P,MP,N ähnlich sein und ähnlich liegen muß. Kann man umgekehrt ein Parallelogramm P1M'QN' zeichnen, das zu dem unendlich kleinen Parallelogramm P1MPN ähnlich ist und ähnlich liegt, so ist Q ein Punkt der gesuchten Tangente t. 2 Man zeichne deshalb zunächst die Tangenten g und h; die Parallelen g', h' zu g und h, die einen Punkt Q von t liefern, findet man dann folgendermaßen. Kennt man den Wert, den das Verhältnis MP1: NP, beim Übergang zur Grenze annimmt, so bestimmt man einfach M' und N' auf g resp. h so, daß M'P1: N'P1 diesem Grenzwerte gleich wird, dann geht g' durch N' und h' durch M'. Meistens ist es einfacher statt der Punkte M' und N' zwei andere Punkte L' und K' von g' resp. h' zu konstruieren (vergl. Figg. 277, 278). Durch die Kurven, und wird auf jeder Geraden durch P1 eine Strecke ausgeschnitten, z. B. auf P1L' die Strecke P1L; ganz analoges geschieht durch die Kurven k1, k, auf den Geraden durch P1, z. B. hat man auf PK' die Strecke P,K. Ist nun der Grenzwert P1L: P1K bekannt (für den Fall, daß die Kurven k1, k2 und 1, 1⁄2 einander unendlich nahe rücken), so bestimme man I' und K' so, daß P1L': P1 K' gleich dem genannten Grenzwerte wird; damit ergeben sich dann g' und h' und ihr Schnittpunkt Q. 429. Einige Beispiele werden diese Konstruktion in ihrer Bedeutung richtig erkennen lassen. Sind F1 und F, die beiden Brennpunkte einer Ellipse, so erscheinen ihre Punkte als Durchschnitte je zweier Hilfskreise mit den Mittel 1 Fig. 277. Die beiden Hilfskreise um F, schneiden also auf F1P1 eine Strecke d ab, Gleiches thun die Hilfskreise um F2 auf F2P1. Hiernach ist L'P1 = K'P1 beliebig anzunehmen, und L'Q 2 FP, sowie K'Q 1 F2P1 1 zu ziehen. Die Tangente PQ halbiert also den Nebenwinkel von FPF, ein Resultat, das bereits früher abgeleitet wurde. 430. Die Cassini'sche Kurve ist definiert als Ort der Punkte, für welche das Produkt ihrer Abstände von zwei festen Punkten FF, konstant ist. Ist also P1F1=01 und P1F2=02) so besteht die Gleichung 0:02 = c. Kurvenpunkt, so erscheint er als 1 F2-K' 2 Fig. 278. F 1 1 Ist P2 ein zu P, benachbarter Schnitt zweier Kreise mit den Radien: (+8) und (02 wo d und ɛ von der 1. Ordnung unendlich klein sein mögen. Die Hilfskreise um F1 bestimmen auf PF eine Strecke 8, die PH Hilfskreise um F, auf P1F, eine Strecke င် နှ wobei d: &= 01 : 02 ist. Denn aus: (01 + d) (02 − ε) = c und 91 92 c folgt: 2 = 1 Q2d — Q1 ε — dε =0 und durch Division mit o, & die voranstehende Relation, da das letzte Glied = von der 2. Ordnung unendlich klein ist und den beiden anderen gegenüber wegzulassen ist (415). Wir tragen demnach LP, an P11 an und K'P1 auf P1F, auf, so daß K' mit F2 zusammenfällt, dann ist QLI FP, und QK' 1 FP, und QP, die gesuchte Tangente in P1. 1 1 = ein 431. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt O und trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit einer festen Geraden a die nämliche konstante Strecke g nach beiden Seiten auf, so erhält man eine Konchoide (Fig. 279). Jeder Punkt dieser Kurve erscheint als Schnitt einer Geraden mit einem Kreis vom Radius ; so liegt P1 auf der Geraden OA,P1 und auf einem Kreise mit dem Mittelpunkt Д, und dem Radius Q. Ist |