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OQ. der Ellipse. Die Tangenten in P und Q sind zu OQ und OP resp. parallel.

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Zieht man um O einen Kreis k, mit dem Radius (a + b) und schneidet dieser die Strahlen OP1 und OQ1 in P, und Q, resp., so sind PP, und QQ, Ellipsennormalen, d. h. sie stehen in P und Q auf den bezüglichen Tangenten senkrecht. Denn es ist ΔΡΡΡ Δ ▲ PPP2 = Q2QQ1, (P1P2 = Q1 Q2, 4 QQ1 Q2 = PPP, etc.);

=

2

2

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ferner ist QQQ1 = ▲ OPP2 (Q3Q1 = OP2, QQ1 = OP2, QQ1 = PP2, LQ3 Q1 Q LOPP). Demnach ist QQ = OP und Q, OP (da Q2O ¦ OP1 ist). Jeder Strahl durch O liefert einen Punkt P der Ellipse als Schnittpunkt zweier Geraden, von denen die erste durch P2 parallel zu ОA und die zweite durch P1 parallel zu OB gezogen ist. Die Gerade PP, ist eine Normale der Ellipse und gleich dem zu OP konjugierten Halbmesser OQ. Die Punkte P2, P1 und P, auf dem durch O gezogenen Strahl haben die bezüglichen Abstände b, a und (a + b) von O.

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3

21. Das eingeschlagene Verfahren ergiebt auch die Lösung der Aufgabe: Zu einem nur der Richtung nach gegebenen Halbmesser der Ellipse den Endpunkt und den konjugierten Halbmesser zu finden. Ein in der gegebenen Richtung aus O

B

W

A

gezogener Strahl schneide die Kreise k, und k, resp. in den Punkten U und V (Fig. 16 b); aus diesen konstruiere man wie vorher den Punkt W der Ellipse. Zieht man ferner durch U und V Parallelen zu OA und OB, die sich in X schneiden mögen, und legt man die Affinität zwischen k1 und der Ellipse k zu Grunde, so entspricht dem Punkt U der Punkt W, der GePunkte X der Punkt und folglich dem Strahl OX der Strahl OV. Insbesondere entspricht dem Punkte P1 von k1 der Punkt P von k (P1P||OB, P2P||OA), und der zu OX rechtwinklige Strahl OQ2Q liefert den Endpunkt des zu OP konjugierten Halbmessers OQ.

Fig. 166.

raden UX die Gerade WV, dem

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22. Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern. Irgend zwei konjugierte Halbmesser OC und OD einer Ellipse (Fig. 17) werden aus rechtwinkligen Halb

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messern OC1, OD1 resp. OC2, OD, des um- und eingeschriebenen Kreises (vom Radius a und b) erhalten, indem man CC, und DD1 parallel zur Halbachse OB und CC2 und DD1⁄2 parallel zur Halbachse OA zieht. Wird das rechtwinklige Dreieck DD, D2 um das Centrum O durch durch den

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=

MB' wird, d. h. ein um

B

B

Fig. 17.

M mit dem Radius MO beschriebener Kreis schneidet die Gerade CE in Punkten A' und B' der Achsen.

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OC2

= EA' = CB' = a,

=

=

b.

= CA' EB' Sind umgekehrt OC und OD als konjugierte Halbmesser gegeben, so ergiebt sich folgende einfache Konstruktion der Achsen. Man ziehe OE und OD, halbiere EC in M und schneide CE mit einem Kreise vom Radius MO in A' und B'. Dann sind OA' und OB' die Achsen der Lage nach und A'E = B'C resp. A'C = B'E die bezüglichen Längen der Halbachsen.

=

23. Läßt man C die Ellipse durchlaufen, so geschieht dies auch mit dem Endpunkt D des zu OC konjugierten Halbmessers OD. Man erhält dann durch die vorige Konstruktion andere und andere Punkte A' und B' auf den Achsen; immer aber ist B'C= a A'Cb, also die Strecke A'B' von der konstanten Länge (a + b). Hieraus folgt der Satz: Gleitet eine Strecke A'B' mit ihren Endpunkten auf zwei rechtwinkligen Geraden, so beschreibt ein Punkt C, der sie in die Teile a und b zerlegt, eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Dieser Satz kann bequem zur Konstruktion von Ellipsenpunkten verwendet werden.

Zieht man in Fig. 17 durch eine Parallele zu OC1 und schneidet diese die Achsen OA und OB in A" und B", so ist OA"= EC1, OB" = EC2, CA"= b, CB" = a, B"A" = C2C1 = (a — b). Hieraus folgt der weitere Satz: Gleitet eine Strecke A"B" mit ihren Endpunkten auf zwei rechtwinkligen Geraden, so beschreibt ein Punkt C auf ihrer Verlängerung, dessen Abstände von ihren Endpunkten gleich a und b sind, eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Jede Ellipse kann also in doppelter Weise durch Bewegung erzeugt werden, indem man entweder eine Strecke von der Länge (a + b) oder eine von der Länge (a - b) mit ihren Endpunkten auf den Achsen der Ellipse gleiten läßt. Im ersten Falle ist es ein Punkt der Strecke selbst, im letzteren ein Punkt auf ihrer Verlängerung, der die Ellipse erzeugt.

24. Konstruktion der Ellipse Punkten A, B, C, D, E derselben.

a

EX

D

Fig. 18.

aus fünf gegebenen Wählen wir die Gerade

AB a zur Affinitätsachse, so muß nach 17 ein zur Ellipse k affiner Kreis k1 existieren, falls es möglich sein soll durch die fünf beliebig gegebenen Punkte eine Ellipse zu legen. Bezeichnen wir nun (Fig. 18) mit C1, D1, E1 die affinen Punkte zu C, D, E, so müssen die Punkte P' = DE × D1E1 und P = DC × D11 auf a liegen, müssen die fünf Punkte Das liefert die Re

a

ferner DD1 || EE1 || CC1 sein und endlich
A, B, C, D, E, einem Kreise k, angehören.
lationen:

ferner:

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und P'A.
P'A.P'B P'D1. P'E1,

PD: P'EP'D1: P'E, und

=

PD: PC = PD: PC und PA.PB = PD1. PC1.

Aus den ersteren folgt:

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und aus den letzteren:

=

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1

Da auf der rechten Seite dieser Gleichungen nur bekannte Punkte vorkommen, so lassen sich die Werte P'D1 und PD, wie folgt konstruieren. Man bestimme Q auf a, so daß DQ EA wird, dann ist: P'Q' P'A. P'D: P'E. Damit geht die erste Gleichung in (P'D1)2 = P'Q'. P'B über, d. h. P'D1 ist gleich der Kathete P'F' eines rechtwinkligen Dreieckes mit der Hypotenuse P'Q', dessen Höhe in B errichtet ist. Ebenso bestimme man Q auf a, so daß DQCB wird; dann ist PD, gleich der Kathete PF eines rechtwinkligen Dreieckes mit der Hypotenuse PA, dessen Höhe in Q errichtet ist. Damit ist aber D1 als Schnittpunkt zweier Kreise gefunden. Legt man jetzt einen Kreis k1 durch A, B und D ̧, so schneidet er D1P' und DP noch in den Punkten Ę1 und C1, und es ist gemäß unserer Konstruktion EE1 || DD1 || CC1. Der Kreis k1 ist demnach wirklich zu der gesuchten Ellipse affin, und man konstruiert ihre Punkte vermöge dieser Affinität, wobei a die Achse und D und D1 entsprechende Punkte sind.

Man erkennt aus der Figur, daß nicht jede fünf willkürlich gegebenen Punkte auf einer Ellipse liegen, da die Kreise mit den Mittelpunkten P' resp. P und den Radien P'F' resp. PF sich nicht immer schneiden. Die vollständige Erklärung hierfür wird sich erst an späterer Stelle im fünften Kapitel ergeben.

ZWEITES KAPITEL.

Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen in orthogonaler Projektion. Bestimmung der einfachen Beziehungen dieser Grundgebilde zu einander.

Das Verfahren der orthogonalen Parallelprojektion.

25. Werden durch alle Punkte einer räumlichen Figur senkrecht zu einer gegebenen Ebene П, projizierende Strahlen gezogen, so erzeugen deren Schnitt- oder Spurpunkte in ПT, ein ebenes Bild der Raumfigur, welches als eine orthogonale Projektion be

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zeichnet wird. Jeder Punkt P des Raumes hat einen bestimmten Punkt P′ in П zu seiner Orthogonalprojektion; dagegen bildet der Punkt P' gleichzeitig die Projektion aller Punkte der durch ihn zu П, gelegten Senkrechten. Ein Raumpunkt P ist somit durch seine Projektion P' noch nicht bestimmt, vielmehr gehört hierzu ein weiteres Bestimmungsstück, etwa die Strecke PP', d. h. der senkrechte Abstand des Punktes P von der Projektionsebene П. Dabei ist diesem Abstand zur Unterscheidung der beiden Richtungen, nach denen er von P' aus aufgetragen werden kann, ein bestimmtes. Vorzeichen beizulegen.

Auf die zuletzt angeführte Bestimmungsweise kommt seinem Wesen nach das gebräuchlichste Darstellungsverfahren2) zurück, das unter Voraussetzung zweier zu einander rechtwinkliger Projektionsebenen П, und П, jeden Punkt durch seine beiden Orthogonalprojektionen P' und P" auf П, und П, bestimmt.

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26. Um die Vorstellung zu fixieren, nimmt man die erste Projektionsebene П, horizontal, mithin die zweite Projektionsebene П1⁄2 vertikal an und bezeichnet P' als Grundriß, erste oder Horizontalprojektion, P" als Aufriß, zweite oder Vertikalprojektion. Ferner nennt man TT, die Grundriß- oder Horizontalebene, П, die Aufriß- oder Vertikalebene und x = П1 × П2 die Achse der Projektion. Von den Ebenen П, und П, werden natürlich nur begrenzte Teile als Projektionstafeln

x=

2

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thatsächlich benutzt; sie sind aber an sich als unbegrenzt vorzustellen. Der ganze Raum wird durch die Projektionsebenen in vier Fächer oder Quadranten, jede Projektionsebene durch die Achse in zwei Halbebenen zerlegt. Zur Orientierung dienen Benennungen, die, ebenso wie die schon angeführten, für einen auf der Grundrißebene stehenden und der Aufriß

ebene zugewandten Beschauer zutreffen. Man sagt nämlich von einem Punkte, er liege über, auf oder unter der Grundrißebene und zugleich vor, auf oder hinter der Aufrißebene. Die auf den projizierenden Strahlen gemessenen Strecken

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