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Prisma. Zunächst legt man eine Gerade a durch die Spitze der Pyramide parallel zu den Kanten des Prismas, sucht ihre Spurpunkte P und Q in den Basisebenen A und B und die Gerade s = A× B auf. Dann ist genau wie vorher zu verfahren, indem jede Ebene durch a beide Flächen in Erzeugenden, nämlich die Pyramide in Geraden durch den Scheitel und das Prisma in Parallelen zu den Kanten schneidet.

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Handelt es sich um die Durchdringung zweier Prismen, so bestimme man die Schnittlinie s ihrer Basisebenen A und B und in diesen die Spurlinien einer zu den Kanten beider Prismen parallelen Ebene E, etwa u AXE, v=BX E. Jede zu E parallele Ebene

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schneidet aus A und B Spuren aus, die zu u resp. v parallel sind und sich auf s treffen, sie schneidet die Prismen in Geraden, die den Kanten parallel laufen. Legt man die zu E parallele Ebene durch eine Kante, d. h. legt man ihre eine Spurlinie durch die bezügliche Ecke des Basispolygons, so gewinnt man Eckpunkte der Durchdringungsfigur, die sich hiernach leicht völlig zeichnen läßt.

Schlagschatten und Eigenschatten bei Vielflachen.

151. Unter der Annahme paralleler Lichtstrahlen bildet der Schlagschatten eines Körpers auf irgend eine Ebene, z. B. auf die Grund- oder Aufrißebene, nichts anderes als eine schiefe Parallelprojektion. Ganz ebenso nun wie die Oberfläche eines Vielflachs in Bezug auf eine bestimmte Projektionsrichtung in einen sichtbaren und einen unsichtbaren Teil zerfällt, die längs des Umrisses aneinander grenzen, zerfällt die Oberfläche desselben in einen beleuchteten und einen im Eigenschatten liegenden Teil, die längs eines Polygons, des Lichtgrenzpolygons oder kurz der Lichtgrenze aneinanderstoßen. Alle Kanten, in denen der Lichtstrahl den Körper bloß streift, ohne in ihn einzudringen, gehören der Lichtgrenze an; alle Punkte, in denen der verlängerte Lichtstrahl in den Körper eindringt, liegen auf seinem beleuchteten Teile, die Punkte dagegen, in denen der verlängerte Lichtstrahl aus dem Körper heraustritt, befinden sich im Eigenschatten. Wird ein Lichtstrahl, bevor er auf den Körper trifft, durch dazwischen liegende Gegenstände aufgehalten, so liegt die betreffende Stelle des Körpers im Schlagschatten. Von den Durchstoßpunkten eines Lichtstrahles mit einem oder mehreren Körpern ist der erste im Lichte, der zweite, vierte, .... im Eigenschatten, der dritte, fünfte,.... im Schlagschatten. Die Schlagschatten grenze auf einer Projektionsebene wird gebildet von dem Schatten des Lichtgrenzpolygons. Der Schlagschatten auf einen Körper kann teilweise von dem Lichtgrenzpolygon begrenzt werden.

152. Den Schlagschatten eines Zwölfflachs auf die Projektionsebenen sowie seinen Eigenschatten zu bestimmen (Fig. 117). Wir nehmen an, daß seine Projektionen nach der früheren Darlegung gefunden und die des Lichtstrahles l' und " gegeben sind. Die Schatten eines Eckpunktes auf die Grund- und Aufrißebene sind die Spurpunkte des durch ihn gelegten Lichtstrahles, so z. B. bilden E und E* Grund- und Aufrißschatten von E. Läßt man alle Kanten Schatten werfen, so wird die Grenze

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des Schlagschattens von denjenigen Linien gebildet, welche alle übrigen einschließen. Es ist indes nicht nötig, den Schatten aller Kanten zu bestimmen. Zunächst findet man mehrere Eckpunkte, die dem Lichtgrenzpolygon angehören, indem man auf dem scheinbaren Umriß der ersten Projektion diejenigen Punkte aufsucht, in denen eine Parallele zu diesen Umriß streift, ohne ihn zu schneiden. In der Figur sind dies die Punkte B' und G'; ihre Schatten B und G*

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müssen notwendigerweise auf dem Randpolygon des Schlagschattens gelegen sein. Denn der Lichtstrahl aus B kann das Vielflach nicht schneiden, da ja sonst seine Projektionen die Projektionen des Vielflachs schneiden müßten, was im Grundriß nicht eintritt. Ebenso bestimmen sich mittels des Aufrisses die Punkte D und als Eckpunkte des Schlagschattenpolygons. Von den Kanten aus B gehören zwei dem Lichtgrenzpolygon an, es sind diejenigen, deren Schlagschatten den Schatten der dritten in ihren Winkel einschließen. Hiernach können die beiden Seiten des Grenzpolygons aus B bestimmt werden, und ganz analog alle übrigen Seiten desselben. Auch wenn von einer Ecke des Vielflachs mehr als drei Kanten ausgehen, lassen

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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sich in der angegebenen Weise die Seiten des Grenzpolygons finden. Der Schlagschatten wird an der x-Achse gebrochen in den Punkten R und S, indem die Kanten DE und HJ die gebrochenen Schattenlinien DRE* und H*SJ liefern (DEX x = R, HJ x x = 8).

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153. Den Schlagschatten einer dreiseitigen abgestumpften Pyramide auf ein Achtflach zu entwickeln (Fig. 118). Sind Pyramide und Achtflach gezeichnet, so bestimme

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man zunächst den Schlagschatten beider auf die Horizontalebene, ganz abgesehen davon, ob er wirklich zu stande kommen kann oder nicht. Außerdem zeichne man noch den Schlagschatten derjenigen Flächen des Achtflachs, die Schlagschatten von dem Pyramidenstumpf empfangen. In der Figur sind dieses die Flächen KHN, KLN, LMN und HMN, die in N zusammenstoßen. Da der Schatten

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BF von BF den Schatten HNM in S und R durchschneidet, so muß der Schatten von BF auf die Seitenfläche HNM fallen und wird dort S*R*, wo S*S und RR parallel zu der ersten Projektion des Lichtstrahles sind. Ebenso findet man den Schatten von FE auf die Fläche LMN; hier muß man FE verlängern, bis es zwei Seiten des Dreiecks LMN in U und schneidet, dann ist U*V* der Schatten dieser Geraden auf die Fläche LMN und E*F* derjenige von EF auf diese Fläche (E*E || l' || F*F ̧). Die gleiche Konstruktion läßt sich überall durchführen. Es kommt die Konstruktion stets auf die Aufgabe hinaus, den Schatten einer Geraden a auf eine Gerade b zu finden, indem man zunächst die Schatten a, b beider Geraden auf den Grundriß bestimmt und durch ihren Schnittpunkt S eine Parallele zu 7 legt, die die eine Gerade im Schatten werfenden, die andere im Schatten empfangenden Punkte schneidet. In der Zeichnung zieht man natürlich durch S eine Parallele zu l', die die Horizontalprojektion der genannten Punkte aus a' und b' ausschneidet. Das Gesagte wird zur Konstruktion völlig genügen; es mag nur noch bemerkt werden, daß die Punkte P*D*Q*E*F*R*S* Horizontalprojektionen sind, ihre Bezeichnungen also einen Strich erhalten müßten, was jedoch der Einfachheit halber unterblieben ist.

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Beispiele für angewandte Schattenkonstruktion.

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Die Schattenbestimmung im Verfahren der orthogonalen Parallelprojektion mag noch durch ihre Anwendung auf einige einfache, durchweg ebenflächig begrenzte, architektonische Objekte erläutert werden. Wir stellen diese jedesmal im Grundriß, Aufriß und Seitenriß (resp. Profilschnitt) dar und geben den Tafeln П1, П1⁄2, П die meist gebräuchliche Lage zum Gegenstande.

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154. In Fig. 119 ist eine Frei treppe dargestellt, die zwischen steinernen Wangen mit fünf Stufen zu einem mit Brüstung versehenen Podest hinaufführt.

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Die Richtung der parallel einfallenden Lichtstrahlen ist im Grund- und Aufriß durch und " gegeben (l'x 45°). Es handele sich um die Zeichnung der Schatten des Objektes auf dem Boden und auf seinen eigenen Flächen. Die Ausführung gestaltet sich sehr einfach, weil die einen sichtbaren Schlagschatten empfangenden Flächen entweder zu П, oder zu П, parallel sind. In der einen Hilfsfigur (links unten) ist eine zu den schrägen Oberkanten der Treppenwangen parallele Strecke wAB so gezeichnet, daß B ihr

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