ho cotga um A beschriebene Kreis p ist. Wir konstruieren die Normalkurve n in einer durch den Punkt J der Achse gelegten Normalebene. Ihr Grundriß n' hat dann den vertikalen Durchmesser des Parameterkreises zur Tangente im Scheitelpunkte 4. Der zu A gehörige Krümmungsradius der Spirale isth cotg ɛ. Man findet weitere Punkte derselben, wenn man von A aus auf die rechts von der genannten Scheiteltangente liegenden Radien die successiven Vielfachen eines Sechszehntels der Peripherie von p aufträgt. Der erste Doppelpunkt D' der Spirale ist der Grundriß von D = BC × EF und liegt auf der Doppelkurve d. Die Normale der Kurve n' in einem Punkte P' geht durch den Endpunkt Q des zu P'A senkrechten Radius von p. Die Tangentialebene T in einem Punkte P der Erzeugenden e enthält außer e auch die Tangente t der durch P gelegten Normalkurve n. Ihre erste Spur t1 geht durch den ersten Spurpunkt E von e parallel zum Grundrisse t, also senkrecht zu P'Q, ihre zweite Spur t geht durch den zweiten Spurpunkt T2 von t. Man schließt hieraus den Satz: Einer Reihe von Punkten P auf der Erzeugenden e entspricht ein zu ihr projektives Büschel von Tangentialebenen mit der Achse e. Denn die Reihe der P ist zu der Reihe der P', diese zu dem Büschel der Strahlen P'Q, dieser zu dem der Normalen t, (der Spurlinien) und der letzte endlich zu dem Büschel der Tangentialebenen projektiv. Zur Konstruktion der Durchstoßpunkte einer Geraden und der Schnittkurve einer Ebene mit der Fläche können die in 609 und 608 gegebenen Methoden dienen. 620. Um den wahren Umriß u der Schraubenfläche für die zweite Projektion zu finden, benutzt man die in 602 angegebene allgemeine Konstruktion, indem man in ПT, den Pol L der projizierenden Strahlen in der Richtung der x-Achse unendlich fern annimmt. Ist daher (Fig. 398) g' AW der Grundriß einer Erzeugenden g und der Endpunkt des zu g' normalen Radius. von p, so schneide man g' mit der Parallelen zu x durch V in U'. U' ist der Grundriß des Punktes U der Umrißkurve, sein Aufriß U" findet sich senkrecht darüber auf g". = Die Horizontalprojektion u des wahren Umrisses u besteht aus zwei Zweigen, die sich in dem gemeinsamen Scheitelpunkte berühren und die zur x-Achse parallelen Tangenten des Kreises p zu Asymptoten haben. Auf den Radien AW und AW, des Kreises p seien die Nachbarpunkte U und U', der Kurve u' nach obigem Verfahren bestimmt. Ferner sei AX__ U'V, XZ‡U'A, WW2 || U'V und ▲ U'AX = ∞. Das durch die Hilfslinien gebildete 2 1 Fig. 398. Viereck U'U"UU" nähert sich der Parallelogrammform, wenn das mit seiner Diagonale zusammenfallende Kurvenelement U'U unendlich klein wird. Daher wird (436) die Kurventangente in U' als U'Y erhalten, wenn man Y auf XZ so bestimmt, daß das Verhältnis XY: U'X dem Grenzwerte von U'U": U'U1" gleich wird. Für den Grenzübergang darf man setzen: und findet daher, wenn Y den Schnittpunkt XZ × AV bedeutet: WW WW2 cos w AW⋅ cos @ XV = = U'U" = AU' = XY = Ist U' der U'U" U'U," U'U" Hierin liegt eine einfache Tangentenkonstruktion. gegebene Kurvenpunkt auf u', so zeichne man das rechtwinklige Dreieck U'AV, schneide seine Hypotenuse U'V mit AM in X und projiziere X senkrecht auf die Kathete AV nach Y so ist YU' die gesuchte Tangente. Der Kreis um O1, welcher u' in A berührt und außerdem in U' schneidet, geht in den Krümmungskreis k des Scheitels A über, wenn sich unbegrenzt A nähert. Dabei ist stets WAM U'O14, während der zum Centriwinkel WAM gehörige Bogen WM des Kreises p der Konstruktion zufolge dem Kurvenelemente U'A, also auch dem zum Centriwinkel U'O1A gehörigen Bogen des Kreises gleich wird. Folglich ist AO AR der Krümmungsk radius im Scheitel der Kurve u'. = 1 621. Der Umriß u" der zweiten Projektion der Schraubenfläche wurde bereits als Hüllkurve der Aufrisse ihrer Erzeugenden bestimmt. Die zugehörigen Berührungspunkte ergeben sich aus dem Grundrisse. Er besteht aus zwei Scharen hyperbelartig verlaufender Zweige, die den Achsenaufriß a" abwechselnd von links und rechts berühren und die Aufrisse 2 der zu П parallelen Erzeugenden zu Asymptoten haben. Die Erzeugenden, deren Aufrisse sich mit a" decken, treffen a in Punkten, deren zweite Projektionen die Berührungspunkte von a" und u" bilden. Jeder solche Punkt ist ein Scheitel von u", weil irgend zwei gleich weit von ihm entfernte Erzeugende sich als Gerade projizieren, die zur Normalen von a" symmetrisch liegen. Es soll noch der Krümmungsradius von u" in einem Scheitel konstruiert werden. Sei i eine Erzeugende der Fläche, deren Aufriß mit a" zusammen fällt und Jix a, so ist J" ein Scheitel von u". Sei ferner keine benachbarte Erzeugende, K=kx a und U der auf k gelegene Punkt des wahren Umrisses u, setzt man endlich: t' = Lik, t" = Li"k", so gehören zu den Bogenelementen U"J" und U'J' der Kurven u" und resp. die Kontingenzwinkel " und 2' (620). Auf der Achse a werde von K aus abwärts die reduzierte Ganghöhe ho abgetragen und durch ihren Endpunkt eine Parallelebene zum Grundrisse gelegt, die k in N und die Parallele zu i durch K in M schneiden mag. Dann ist: Indem ☛ und ☛" gleichzeitig unendlich klein werden, nähert sich M'N': M"N" dem Werte 1, man darf tang t" durch " selbst ersetzen und findet den Grenzwert: Sofern man beim Grenzübergange von unendlich kleinen Größen höherer Ordnung absehen kann, wird: Fürr als Krümmungsradius von u" in J" folgt aus 7): U" K" = ≥ U′′"J" = \r· t′′, ebenso, weil die Kurve u in J' den Krümmungsradiush, cotg & hat (620): U'K' hcotg & T'.. = Aus der Relation) erhält man endlich mit Benutzung von α): 8) r = 2 h. tang ɛ. Hiernach ist der Krümmungsradius r leicht konstruierbar. 622. Die Eigen- und Schlagschattengrenzen der geschlossenen schiefen Schraubenfläche bei Parallelbeleuchtung (Fig. 400). Ein Gang des unteren Flächenteiles sei wie vorher dargestellt. Unter der Annahme: Ll'x = L" x = 45° * bezüglich der Richtung der Lichtstrahlen werde zuerst von dem Punkte S der Achse a, dessen erster Tafelabstand der reduzierten Ganghöhe h gleich ist, der Grundrißschatten S und aus diesem der Pol L der Lichtstrahlen bestimmt. Über dem Grundkreise s' denke man sich einen Richtungskegel der Fläche konstruiert. Seine Spitze ist C, ihr Grundrißschatten C, seine Mantellinien haben die erste Tafelneigung ε. Der Grundriß u' der Lichtgrenze u wird erhalten, indem man von I aus Lote auf die Schatten der Erzeugenden in ПT, (oder auf die parallelen Schatten der Mantellinien eines Richtungskegels) fällt, und dieselben mit den Grundrissen der Erzeugenden schneidet (602). Wird z. B. der Punkt U der Lichtgrenze auf der Erzeugenden e = DE gesucht, so ist E' der erste Spurpunkt der zu e parallelen Mantellinie des Richtungskegels und E'C deren Schatten; man findet also U' auf e durch die Normale LU' zu E'C - Die Kurve u kann, wie in der Folge noch erörtert wird, verschiedene Gestalten an * ** |