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nur die einfachsten geometrischen Kenntnisse voraus, schreitet systematisch vom Leichten zum Schwereren fort und bezieht viele solche stereometrische Aufgaben in den Lehrbereich ein, die zur Erreichung des oben bezeichneten Zieles geeignet erscheinen. Hierdurch dürfte es besonders den Bedürfnissen des Studierenden Rechnung tragen. Dem mit dem Stoff vertrauten Leser wird neben dem Bekannten gewiß manches Neue, manche Vereinfachung von Konstruktionen und Beweisen entgegentreten.

Der Wunsch, die Ergebnisse der darstellenden Geometrie durchweg auf die Projektionsmethoden begründet zu sehen, mag das Erscheinen dieses Buches rechtfertigen. Möge es sich im dargelegten Sinne als nutzbringend erweisen!

Im August 1893.

Karl Röhn. Erwin Papperitz.

Vorwort zur zweiten Auflage.

Die neue Auflage unterscheidet sich von der ersten in mehreren Beziehungen.

Im I. Kapitel erschien eine Kürzung zweckmäßig: von dem Abschnitt über die im weiteren Sinne affinen Figuren der Ebene sind nur die konstruktiv wichtigsten Ergebnisse beibehalten, aber zusammen mit einigen Konstruktionen des V. Kapitels in die übrigen Abschnitte eingereiht worden. — Der Gang der Entwickelung ist im II., DU. und IV. Kapitel derselbe geblieben, wie vorher; nur wird man bemerken, daß die Lösungen verschiedener Aufgaben vereinfacht sind. Beim Dreikant wurde der Grundgleichungen der sphärischen Trigonometrie gedacht. Durch die Einfügung von Beispielen für die Schattenkonstruktion an architektonischen Objekten soll den Studierenden technischer Richtung die praktische Anwendung der erlernten Methoden leichter gemacht werden. — Das V. Kapitel hat eine tiefergreifende Umgestaltung erfahren; ihr Ziel ist wiederum Vereinfachung der Theorie und Abkürzung der Konstruktion; zugleich hat der Stoff manche wichtige Bereicherung empfangen. Weil die Schulung der geometrischen Vorstellungskraft die vornehmste Aufgabe der deskriptiven Geometrie ist und ein gründliches Durcharbeiten der Lehre von den Kegelschnitten an der Hand anschaulicher Methoden hierzu eines der förderlichsten Mittel bietet, ist die Begründung der Kegelschnittkonstruktionen durch die im Raume sich vollziehende Centralprojektion des Kreises wie früher in den Vordergrund gestellt, aber noch mehr systematisch durchgeführt worden. Dabei blieb der Erzeugung der Kurven 2. Ordnung durch projektive Büschel und Reihen genügender Raum gewahrt, um der Vorteile, die sie für eine glatte Entwickelung vieler graphisch verwertbarer Sätze darbietet, nicht verlustig zu werden. Der Abschnitt über die Krümmungskreise der Kegelschnitte giebt eine durchaus neue Begründung der zweckmäßigsten Konstruktionen. Auch die Untersuchung über die gemeinsamen Elemente zweier
Kegelschnitte hat eine völlig neue Gestalt erhalten. — Am Anfang
des VI. Kapitels sind die Vorbemerkungen über die geometrische
Verwendung des Begriffes unendlich kleiner Größen zur Erleichterung
des Verständnisses ausführlicher gehalten und schärfer begründet
worden. — Im VII. Kapitel ist bei der stereographischen Projektion
der Aufgaben der Kartenprojektion Erwähnung gethan und am
Schlusse sind einige Beispiele für die Anwendungen auf Schatten-
und Steinschnittkonstruktion angefügt worden.

Ein Anhang bringt Litteraturnachweise und historische An-
merkungen, die freilich bei ihrer Kürze keinen Anspruch darauf
erheben, ein vollständiges Bild der geschichtlichen Entwickelung
zu geben.

Wir hoffen durch die vorgenommenen Änderungen die Brauch-
barkeit unseres Buches erhöht zu haben. Möge es wiederum
freundliche Aufnahme finden!

Im März 1901.

Karl Röhn. Erwin Papperitz.

Das Verfahren der orthogonalen Parallelprojektion.

25. Orthogonalprojektion 25

26. Grundriß- und Aufrißverfahren. Zwei-Tafel-System 26

27. Projektionen und Tafelabstände eines Punktes 27

28 — 30. Projektionen und Spurpunkte einer Geraden 27

31. Spurlinien einer Ebene 29

32 — 34. Drei-Tafel-System. Seitenriß . ... 29

35. 36. Besondere Lagen einer Geraden oder Ebene. Hilfsprojektion . 30

37. 38. Vereinigung der Tafeln mit der Zeichnungaebene. Zeichnungs-

regeln 31

Darstellung der Grundgebilde: Punkt, Gerade, Ebene in ver-

schiedenen Lagen.

39 — 41. Der Punkt 33

42 — 44. Die Gerade 34

45. Die Ebene 37

Punkte, Gerade und Ebenen in vereinigter Lage. Verbindungs-

und Schnittelemente. Parallelismus.

46 — 51. Kriterien für die vereinigte Lage, bezw. den Parallelismus zweier

Grundgebilde 38

52. Haupt- oder Streichlinien einer Ebene 42

53 — 65. Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenenj die durch Be-

dingungen (nämlich als Schnitt-, Verbindungs- oder Parallel-

elemente) bestimmt sind 42

Gerade und Ebenen in rechtwinkliger Stellung. Abstände und

Winkel. Die Umlegung in eine Tafel und die Drehung um die

Parallele zu einer Tafel.

66. Projektion eines rechten Winkels in einen rechten Winkel . . 50

67,—70. Normalen einer Ebene. Falllinien. Lot aus einem Punkt auf

eine Ebene. Normalebene zu einer Geraden durch einen Punkt 50

71—73. Bestimmung der wahren Länge einer Strecke 52

74. Teilung einer Strecke , . 53

75. 76. Tafelneigungen einer Geraden. Eine Gerade mit gegebenen Tafel-

neigungen zu zeichnen 53

77. 78. Tafelneigungen einer Ebene. Eine Ebene mit gegebenen Tafel-

neigungen zu zeichnen 54

79. Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene ... 56

80. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Um-

legung in eine Tafel . 57

81. Affinität zwischen Grund- und Aufriß einer ebenen Figur . . 58

82 — 84. Winkel zweier Geraden, zweier Ebenen, einer Geraden und einer

Ebene 59

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