204. Spezielle harmonische Punkte und Strahlen. 205. Verwandlung eines Vierecks durch Perspektive in ein Quadrat Metrische Beziehungen zwischen perspektiven Grundgebilden. 206. 207. Verhältnisgleichung zwischen ähnlichen und affinen Strecken 208. 209. Messung von Strecken und Winkeln (Das Vorzeichen) 210. 211. Bestimmung jedes Elementes in einer Punktreihe, einem Strahl- oder Ebenenbüschel durch ein Abstandsverhältnis. 212. 213. Das Doppelverhältnis von vier Punkten, Strahlen oder Ebenen 214-217. Doppelverhältnisgleichheit bei projektiven einförmigen Grund- 219-221. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Punktreihen. Mittelpunkt der Involution; ihre Gegenpunkte decken sich 169 223. Gleichlaufende und entgegenlaufende involutorische Reihen. 224. Zwei Punktepaare bestimmen eine Involution. Konstruktion der Paare mittels eines vollständigen Vierecks 225. Herstellung der involutorischen Lage 227. 228. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Strahl- oder V. Kapitel. Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. Perspektivität zweier Kreise. Pol und Polare beim Kreise. In- volutorische Centralprojektion in der Ebene. Perspektivität zweier 234-236. Perspektive Lagen zweier Kreise einer Ebene. Die Ähnlich- 237-239. Jeder Kreis ist zu sich selbst perspektiv; Achse oder Centrum 240-243. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Kreisbüschel, 244-246. Involutionen bei Kreisbüscheln; Konstruktion der Doppel- 247-251. Schiefer Kreiskegel. Wechselschnitte. Zwei beliebige Kreise 252. Symmetrieebenen des schiefen Kreiskegels 253-256. Centralprojektionen eines Kreises in einen andern, wobei eine Entstehung der Kegelschnitte aus der Centralprojektion des 257-259. Definition der Kegelschnitte als perspektive Bilder eines Kreises; sie sind stetige geschlossene Kurven und teilen die Ebene in ein inneres und ein äußeres Gebiet. Zwei 260-262. Drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel 198 263. Projektive Punktreihen oder Strahlbüschel gehen bei jeder Centralprojektion wieder in solche Reihen oder Büschel über 200 264. Die Punkte eines Kreises oder Kegelschnittes projizieren sich aus zwei festen Punkten auf ihm durch projektive Strahlbüschel 200 265. Die Tangenten eines Kreises oder Kegelschnittes schneiden Pol und Polare eines Kegelschnittes. Mittelpunkt, Durchmesser 275. Die Eigenschaften von Pol und Polare, abgeleitet aus dem 277-281. Harmonische Pole und Polaren eines Kegelschnittes. Be- schreibt der Pol eine Punktreihe, so beschreibt seine har- monische Polare einen dazu projektiven Strahlbüschel 282-284. Involution der harmonischen Pole auf einer Geraden und der harmonischen Polaren durch einen Punkt. Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Strahlbüschel Definition des Kegelschnittes als Erzeugnis projektiver Strahl- 296. Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen Viereck 221 297–300. Die Tangenten eines Kegelschnittes schneiden auf je zwei festen Tangenten projektive Punktreihen aus. Projektive Punktreihen erzeugen einen Kegelschnitt 301-303. Konstruktion eines Kegelschnittes, wenn man fünf Punkte, 304-306. Konstruktion eines Kegelschnittes, wenn man fünf Tangenten, oder vier Tangenten und von einer den Berührungspunkt, oder drei Tangenten und von zweien die Berührungspunkte kennt 225 307-309. Die Überführung eines Kegelschnittes in einen dazu per- 310–313. Zwei projektive Punktreihen auf derselben Geraden und zwei projektive Strahlbüschel mit demselben Scheitel. Konstruktion der Doppelelemente, Gegenpunkte und Rechtwinkelstrahlen 230 314. Punktreihen auf und Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt 233 315. 316. Die Punktinvolution auf einen Kegelschnitt; ihr Mittelpunkt. Die Strahleninvolution an einem Kegelschnitt; ihre Achse 234 317. 318. Konstruktion der Doppel- und Rechtwinkelstrahlen einer 319-327. Lösung von Aufgaben über Kegelschnitte, von denen fünf Punkte ABCDE oder fünf Tangenten abcde gegeben sind. Schnittpunkte eines Kegelschnittes ABCDE mit einer Ge- raden und Tangenten an einem Kegelschnitt abcde aus einem Punkte. Polare eines Punktes in Bezug auf den Kegelschnitt ABCDE und Pol einer Geraden in Bezug auf den Kegelschnitt abcde. Konjugierte Durchmesser, Achsen und Asymptoten. Involution harmonischer Pole auf einer Geraden und harmonischer Polaren an einem Punkte. Tangenten aus einem Punkte an den Kegelschnitt ABCDE und Schnittpunkte einer Geraden mit dem Kegelschnitt a bede 236 328. Konstruktion der Achsenendpunkte mit Hilfe zweier Punkte oder zweier Tangenten des Kegelschnittes 329. 330. Kriterien für die Art des durch zwei projektive Strahlbüschel mit konstantem Produkt. Asymptotengleichung der Hy- 336. 337. Halbierung der Strecke zwischen Sehnenmitte und Pol durch 338-341. Aus einem gegebenen Rotationskegel eine vorgegebene Ellipse, Hyperbel oder Parabel auszuschneiden. Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegelschnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen. 342 -345. Gesetz der Dualität für ebene und räumliche Figuren 346. 347. Reciprozität in Bezug auf einen Kegelschnitt 348-351. Aufgaben ersten und zweiten Grades. Fundamentalaufgaben zweiten Grades und die hierbei auftretenden imaginären Lösungen. Konstruktiv verwertbare imaginäre Elemente 352. 353. Realitätsverhältnisse bei zwei und drei Punktepaaren in harmonischer Lage. Gemeinsames Elementepaar zweier Involutionen auf demselben Träger. 354. 355. Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern, ebenso zwei Strahleninvolutionen mit verschiedenen Scheiteln sind stets in doppelter Weise perspektiv gelegen. 356 -358. Konstruktion von Kegelschnitten aus teilweise imaginären Elementen 359. 360. Seite 245 247 248 252 254 255 257 258 260 Involution rechter Winkel. Imaginäre Kreispunkte der Ebene. Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes. 361. Brennpunkte und Leitlinien der Schnittkurven eines Rota- 264 362. Die Brennpunkte als Scheitel rechtwinkliger Polareninvolutionen 266 363. Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt halbieren die Winkel der Brennstrahlen 267 364. 365. Perspektivität des Kegelschnittes mit einem Kreise um einen der Brennpunkte. Eigenschaften, die sich daraus ergeben 267 366-368. Ort der Fußpunkte aller von den Brennpunkten auf die Tan genten gefällten Lote. Tangentenkonstruktionen 369. Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein 370-373. Die harmonischen rechtwinkligen Polaren schneiden auf den Achsen eines Kegelschnittes Involutionen aus, deren Doppelpunkte die Brennpunkte sind. Haupt- oder Brennpunktsachse. Konstruktion der reellen Brennpunkte. Die Verhältnisse bei der Parabel. Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein . 269 270 271 374. Ort der Schnittpunkte einer beweglichen Tangente mit zwei Seite 273 375-377. Konfokale Kegelschnitte. Kurven gleicher Art schneiden sich nicht, Kurven verschiedener Art aber unter rechten Winkeln 274 Krümmungskreise der Kegelschnitte. 378-380. Oskulations- oder Krümmungskreis. Perspektivität zwischen einem Kegelschnitt und einem ihn berührenden oder oskulierenden Kreise. Konstruktion des Krümmungskreises bei einem durch fünf Punkte bestimmten Kegelschnitt . . 276 381. 382. Die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten bei der Ellipse und Hyperbel . . 383. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes auf der Normalen 384-387. Konstruktion der Krümmungsmittelpunkte für die Endpunkte 388. Die Krümmungskreise bei der Parabel Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel und Scharen von Kegelschnitten. Perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte. 389. Kegelschnitte mit vier gemeinsamen Punkten und solche mit vier gemeinsamen Tangenten 278 279 281 284 285 390. Bei zwei Kegelschnitten ist die Zahl der gemeinsamen Punkte 285 391. Polvierseit und Polviereck 286 392-393. Zwei Kegelschnitte besitzen auf jeder Geraden zwei gemein- 287 394. Min 288 395. Das gemeinsame Polardreieck zweier Kegelschnitte. destens eine Ecke und eine Seite davon sind reell 396-398. Jede Ecke des Polardreiecks ist der Scheitel einer Strahleninvolution, deren Doppelstrahlen die den Kegelschnitten gemeinsamen Punkte tragen. Auf jeder Seite liegt eine Punktinvolution; in ihren Doppelpunkten scheiden sich die gemeinsamen Tangenten Realitätsverhältnisse 399. 400. 401-406. Fünf verschiedene Fälle sind bezüglich der gegenseitigen Lage zweier Kegelschnitte zu unterscheiden. Konstruktionen 291 407–409. Der Kegelschnittbüschel. Seine Kurven schneiden aus jeder Geraden eine Punktinvolution aus; die Polaren eines jeden Punktes gehen durch einen zweiten. Die Kegelschnittschar. Die Tangentenpaare an ihre Kurven bilden in jedem Punkte eine Involution; die Pole einer jeden Geraden liegen auf einer zweiten. Gerade gleicher Punktinvolution 410. 411. Kegelschnitte durch vier resp. drei Punkte, die eine resp. zwei Gerade berühren und die dualen Aufgaben |