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Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Strahlbtischel

und Pnnktreihen.

293 — 295. Definition des Kegelschnittes als Erzeugnis projektiver Strahl-

büschel. Zwei beliebige Punkte auf ihm können als Scheitel

für solche Büschel dienen 219

296. Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen Viereck 221

297 — 300. Die Tangenten eines Kegelschnittes schneiden auf je zwei

festen Tangenten projektive Punktreihen aus. Projektive

Punktreihen erzeugen einen Kegelschnitt 221

301 — 303. Konstruktion eines Kegelschnittes, wenn man fünf Punkte,

oder vier Punkte und in einem die Tangente, oder drei

Punkte und in zweien die Tangente kennt 224

304 — 306. Konstruktion eines Kegelschnittes, wenn man fünf Tangenten,

oder vier Tangenten und von einer den Berührungspunkt, oder

drei Tangenten und von zweien die Berührungspunkte kennt 225

307 — 309. Die Überführung eines Kegelschnittes in einen dazu per-

spektiven Kreis 227

Einige Konstruktionsaufgaben bei Kegelschnitten. Metrische

Eigenschaften.

310—313. Zwei projektive Punktreihen auf derselben Geraden und zwei

projektive Strahlbüschel mit demselben Scheitel. Konstruktion

der Doppelelemente, Gegenpunkte und Bechtwinkelstrahlen 230

314. Punktreihen auf und Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt 233

315. 316. Die Punktinvolution auf einen Kegelschnitt; ihr Mittelpunkt.

Die Strahleninvolution an einem Kegelschnitt; ihre Achse 234

317. 318. Konstruktion der Doppel- und Rechtwinkelstrahlen einer

Strahleninvolution, sowie der Doppelpunkte und des Mittel-

punktes einer Punktinvolution 235

319 — 327. Lösung von Aufgaben über Kegelschnitte, von denen fünf

Punkte ABCDE oder fünf Tangenten abcde gegeben sind.

Schnittpunkte eines Kegelschnittes ABCDE mit einer Ge-

raden und Tangenten an einem Kegelschnitt abede aus

einem Punkte. Polare eines Punktes in Bezug auf den

Kegelschnitt ABCDE und Pol einer Geraden in Bezug auf

den Kegelschnitt abede. Konjugierte Durchmesser, Achsen

und Asymptoten. Involution harmonischer Pole auf einer

Geraden und harmonischer Polaren an einem Punkte.

Tangenten aus einem Punkte an den Kegelschnitt ABCDE

und Schnittpunkte einer Geraden mit dem Kegelschnitt abede 236

328. Konstruktion der Achsenendpunkte mit Hilfe zweier Punkte

oder zweier Tangenten des Kegelschnittes 241

329. 330. Kriterien für die Art des durch zwei projektive Strahlbüschel

oder Punktreihen erzeugten Kegelschnittes 242

331. Konstantes Produkt der von einer beliebigen Tangente auf

zwei parallelen Tangenten bewirkten Abschnitte .... 243

332. Gleichungen der Ellipse und Hyperbel 244

333 — 335. Die Hyperbeltangenten liefern auf den Asymptoten Abschnitte

Seite

mit konstantem Produkt . Asymptotengleiehung der Hy-

perbel. Hyperbel und Asymptoten begrenzen auf jeder

Geraden Strecken mit gemeinsamem Mittelpunkt .... 245

336. 337. Halbierung der Strecke zwischen Sehnenmitte und Pol durch

die Parabel. Teilung der von einem Punkt an die Parabel

gezogenen Tangenten nach dem gleichen Verhältnis durch

jede andere Tangente. Parabelgleichung 247

338 — 341. Aus einem gegebenen Rotationskegel eine vorgegebene Ellipse,

Hyperbel oder Parabel auszuschneiden 248

Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegel-

schnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen.

342 — 345. Gesetz der Dualität für ebene und räumliche Figuren . . . 252

346. 347. Reciprozität in Bezug auf einen Kegelschnitt 254

348 — 351. Aufgaben ersten und zweiten Grades. Fundamentalaufgaben

zweiten Grades und die hierbei auftretenden imaginären

Lösungen. Konstruktiv verwertbare imaginäre Elemente . 255

352. 353. Realitätsverhältnisse bei zwei und drei Punktepaaren in har-

monischer Lage. Gemeinsames Elementepaar zweier In-

volutionen auf demselben Träger 257

354. 355. Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern, ebenso

zwei Strahleninvolutionen mit verschiedenen Scheiteln sind

stets in doppelter Weise perspektiv gelegen 258

356 — 358. Konstruktion von Kegelschnitten aus teilweise imaginären

Elementen 260

859. 360. Involution rechter Winkel. Imaginäre Kreispunkte der Ebene.

Konstruktion des Kreises aus teilweise imaginären Elementen 262

Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes.

361. Brennpunkte und Leitlinien der Schnittkurven eines Rota-

tionskegels; erstere als Berührungspunkte zweier den Kegel

berührender Kugeln. Konstantes Abstandsverhältnis der

Kurvenpunkte von Brennpunkt und Leitlinie 264

362. Die Brennpunkte als Scheitel rechtwinkliger Polareninvolutionen 266

363. Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt halbieren die

Winkel der Brennstrahlen 267

364. 365. Perspektivität des Kegelschnittes mit einem Kreise um einen

der Brennpunkte. Eigenschaften, die sich daraus ergeben 267

366 — 368. Ort der Fußpunkte aller von den Brennpunkten auf die Tan-

genten gefällten Lote. Tangentenkonstruktionen .... 269

369. Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der

Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein .... 270

370—373. Die harmonischen rechtwinkligen Polaren schneiden auf den

Achsen eines Kegelschnittes Involutionen aus, deren Doppel-

punkte die Brennpunkte sind. Haupt- oder Brennpunkts-

achse. Konstruktion der reellen Brennpunkte. Die Ver-

hältnisse bei der Parabel. Brennstrahlen und Tangenten

aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander

gleiche Winkel ein 271

Seite

374. Ort der Schnittpunkte einer beweglichen Tangente mit zwei
festen Tangenten bei der Parabel und mit den Asymptoten

bei der Hyperbel 273

375 — 377. Konfokale Kegelschnitte. Kurven gleicher Art schneiden sich

nicht, Kurven verschiedener Art aber unter rechten Winkeln 274

KrUmmnngskreise der Kegelschnitte.

378 — 380. Oskulations- oder Krümmungskreis. Perspektivität zwischen einem Kegelschnitt und einem ihn berührenden oder oskulierenden Kreise. Konstruktion des Krümmungskreises bei einem durch fünf Punkte bestimmten Kegelschnitt . . 276

381. 382. Die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten bei der Ellipse

und Hyperbel 278

383. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes auf der Normalen
eines Punktes, wenn zwei konjugierte Durchmesser oder die
Achsen der Lage nach bekannt sind 279

384 — 387. Konstruktion der Krümmungsmittelpunkte für die Endpunkte

konjugierter Durchmesser bei der Ellipse und Hyperbel 281

388. Die Krümmungskreise bei der Parabel 284

Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel nnd Scharen jron Kegelschnitten. Perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte.

389. Kegelschnitte mit vier gemeinsamen Punkten und solche mit

vier gemeinsamen Tangenten 285

390. Bei zwei Kegelschnitten ist die Zahl der gemeinsamen Punkte

oder Tangenten stets gerade 285

391. Polvierseit und Polviereck 286

392 — 393. Zwei Kegelschnitte besitzen auf jeder Geraden zwei gemeinsame harmonische Pole und in jedem Punkt zwei gemeinsame harmonische Polaren 287

394. 395. Das gemeinsame Polardreieck zweier Kegelschnitte. Mindestens eine Ecke und eine Seite davon sind reell .... 288

396 — 398. Jede Ecke des Polardreiecks ist der Scheitel einer Strahleninvolution, deren Doppelstrahlen die den Kegelschnitten gemeinsamen Punkte tragen. Auf jeder Seite liegt eine Punktinvolution; in ihren Doppelpunkten scheiden sich die gemeinsamen Tangenten 289

399. 400. Realitäteverhältnisse 290

401 — 406. Fünf verschiedene Fälle sind bezüglich der gegenseitigen Lage

zweier Kegelschnitte zu unterscheiden. Konstruktionen . 291

407 — 409. Der Kegelschnittbüschel. Seine Kurven schneiden aus jeder Geraden eine Punktinvolution aus; die Polaren eines jeden Punktes gehen durch einen zweiten. Die Kegelschnittschar. Die Tangentenpaare an ihre Kurven bilden in jedem Punkte eine Involution; die Pole einer jeden Geraden liegen auf einer zweiten. Gerade gleicher Punktinvolution .... 297

410. 411. Kegelschnitte durch vier resp. drei Punkte, die eine resp. zwei

Gerade berühren und die dualen Aufgaben 298

412. Die perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte . . . 301 Seite

VI. Kapitel. Ebene Kurven und Raumkurven.

Begriff des Uuendlickkleinen in der Geometrie.

413. Endliche, unendliche und unendlich kleine Größen. Die Ver

gleichung endlicher Größen 303

414. Die Vergleichung unendlich kleiner Größen. Ordnungen der

selben .. . 304

415. Gleichungen zwischen unendlich kleinen Größen. Bestimmter

Grenzwert für das Verhältnis zweier und für die Summe

unendlich vieler unendlich kleiner Größen 305

416 — 418. Wichtige Beispiele für geometrische unendlich kleine Größen

verschiedener Ordnungen 306

Erzeugung ebener Kurven.

419. Erzeugung einer ebenen Kurve als Bahn eines bewegten Punktes. Nachbarpunkte, Kurvenelement. Stetigkeit. Sekante, Tangente. Stetigkeit in Bezug auf die Tangente . 308 420. 421. Erzeugung durch eine bewegte Gerade als Hüllkurve. Nachbartangenten, Kontingenzwinkel, Berührungspunkt. Die Stetigkeit als projektive Eigenschaft. Asymptoten 309

422. Gleichzeitige doppelte Erzeugung der Kurve. Fortschreitungs

und Drehungssinn des Punktes resp. der zugehörigen Tan-
gente. Gewöhnlicher Kurvenpunkt, Wendepunkt, Rück-
kehrpunkt, Schnabelspitze, Doppelpunkt, isolierter Punkt . 310

Konstruktion von Tangenten und Normalen.

423. Zeichnung einer Kurve aus Punkten und Tangenten derselben 311

424. Tangente einer gezeichneten Kurve aus gegebenem Punkte

und ihr Berührungspunkt ,. . 311

425. 42C. Tangente und Normale in gegebenem Punkte einer gezeichneten Kurve 312

427. Normale aus gegebenem Punkte zu einer gezeichneten Kurve 313

428. Tangentenkonstruktion mittels der zur Konstruktion der Kurve

selbst dienenden Hilfskurven 314

429 — 433. Beispiele: Ellipse, Cassini 'sehe Kurve, Konchoide,Pas c a 1 'sehe

Schneckenlinie 315

Krümmung der Kurven, Evoluten.

434. 435. Krümmungsmaß. Mittlere Krümmung eines Kurvenbogens, Krümmung einer Kurve in gegebenem Punkte. Stetigkeit in Bezug auf die Krümmung. Die für das Krümmungsmaß in Betracht kommenden unendlich kleinen Größen . . . 318 436. Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkt. Konkave und

konvexe Seite einer Kurve, Krümmungsweehsel .... 320

437 — 439. Der den Krümmungskreis bestimmende Grenzprozeß. Dreipunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve. Krümmungsmittelpunkt als Schnitt benachbarter Kurvennormalen 320

440. Evolute und Evolventen einer Kurve 322 Seite

441. Vierpunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve,

Scheitelpunkte. Verhalten der Evolute 323

442. Verhalten der Krümmung im Wendepunkte, BUckkehrpunktc

und bei der Schnabelspitze 323

443. Konstruktion des Krümmungskreises für einen Punkt einer

gezeichneten Kurve 324

444. Beziehung zwischen der Krümmung einer ebenen Kurve und

der ihres perspektiven Bildes 325

Rektifikation von Kurven.

445. Regel zur näherungsweisen Rektifikation. Rektifikation eines

Kreises 327

Raumkurven und iure Projektionen; abwickelbare Flächen.

446. Entstehung einer Raumkurve. Kurvenelement, Tangente,

Schmiegungsebene. Normalebene, Hauptnormale, Binormale,
Rektifizierende Ebene 328

447. Gleichzeitige Bewegungen des erzeugenden Punktes, der Tan

gente und der Schmiegungsebene. Stetigkeit. Kontingenz-
und Torsionswinkel. Krümmung, Torsion 329

448. Die zur Raumkurve gehörige abwickelbare Fläche. Ihre Er

zeugung durch die Tangenten und Schmiegungsebenen . . 329

449. Die Raumkurve als Bückkehrkurve der abwickelbaren Fläche 330

450. Abwickelung der Fläche und der auf ihr liegenden Kurven . 331

451. Elemente, die bei der Abwickelung erhalten bleiben: Bogen

längen der Kurven und ihre Winkel mit den Erzeugenden, Kontingeuzwinkel, Bogenelemente und Krümmung der Rückkehrkurve 332

452. Beziehung zwischen den Krümmungsradien entsprechender

Punkte einer Kurve der abwickelbaren Fläche und der abgewickelten Kurve 332

453. Geodätische Linien auf der abwickelbaren Fläche .... 333

454. Der Richtkegel einer Raumkurve 333

455. Evolutenfläche und Evolventen 333

456. Ebene Projektionen einer Raumkurve. Rückkehr-, Doppel- und

Wendepunkte, die den Tangenten, Sehnen und Schmiegungsebenen durch das Projektionscentrum entsprechen . . . 334

457. Singularitäten bei den Raumkurven. Stationäre Ebene,

Streckungspunkt, Rückkehrpunkt 334

458. Konstruktion der Tangente und Schmiegungsebene in einem

Punkte einer Raumkurve 335

Krumme Oberflächen.

459. Bestimmung einer krummen Fläche durch ein sie überdeckendes

Kurvensystem, Nachbarkurven. Erzeugung durch stetige Bewegung einer konstanten oder ihre Form ändernden Kurve 336 460. 461. Tangenten und Tangentialebenen einer Fläche. Knotenpunkte. 337 462. 463. Flächennormale, Normalschnitte. Isolierter, gewöhnlicher Doppelpunkt oder Rückkehrpunkt im Schnitt mit der Tan

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