Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Strahlbtischel 293 — 295. Definition des Kegelschnittes als Erzeugnis projektiver Strahl- büschel. Zwei beliebige Punkte auf ihm können als Scheitel 296. Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen Viereck 221 297 — 300. Die Tangenten eines Kegelschnittes schneiden auf je zwei festen Tangenten projektive Punktreihen aus. Projektive Punktreihen erzeugen einen Kegelschnitt 221 301 — 303. Konstruktion eines Kegelschnittes, wenn man fünf Punkte, oder vier Punkte und in einem die Tangente, oder drei Punkte und in zweien die Tangente kennt 224 304 — 306. Konstruktion eines Kegelschnittes, wenn man fünf Tangenten, oder vier Tangenten und von einer den Berührungspunkt, oder drei Tangenten und von zweien die Berührungspunkte kennt 225 307 — 309. Die Überführung eines Kegelschnittes in einen dazu per- Einige Konstruktionsaufgaben bei Kegelschnitten. Metrische 310—313. Zwei projektive Punktreihen auf derselben Geraden und zwei projektive Strahlbüschel mit demselben Scheitel. Konstruktion der Doppelelemente, Gegenpunkte und Bechtwinkelstrahlen 230 314. Punktreihen auf und Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt 233 315. 316. Die Punktinvolution auf einen Kegelschnitt; ihr Mittelpunkt. Die Strahleninvolution an einem Kegelschnitt; ihre Achse 234 317. 318. Konstruktion der Doppel- und Rechtwinkelstrahlen einer Strahleninvolution, sowie der Doppelpunkte und des Mittel- punktes einer Punktinvolution 235 319 — 327. Lösung von Aufgaben über Kegelschnitte, von denen fünf Punkte ABCDE oder fünf Tangenten abcde gegeben sind. Schnittpunkte eines Kegelschnittes ABCDE mit einer Ge- raden und Tangenten an einem Kegelschnitt abede aus einem Punkte. Polare eines Punktes in Bezug auf den Kegelschnitt ABCDE und Pol einer Geraden in Bezug auf den Kegelschnitt abede. Konjugierte Durchmesser, Achsen und Asymptoten. Involution harmonischer Pole auf einer Geraden und harmonischer Polaren an einem Punkte. Tangenten aus einem Punkte an den Kegelschnitt ABCDE und Schnittpunkte einer Geraden mit dem Kegelschnitt abede 236 328. Konstruktion der Achsenendpunkte mit Hilfe zweier Punkte oder zweier Tangenten des Kegelschnittes 241 329. 330. Kriterien für die Art des durch zwei projektive Strahlbüschel oder Punktreihen erzeugten Kegelschnittes 242 331. Konstantes Produkt der von einer beliebigen Tangente auf zwei parallelen Tangenten bewirkten Abschnitte .... 243 332. Gleichungen der Ellipse und Hyperbel 244 333 — 335. Die Hyperbeltangenten liefern auf den Asymptoten Abschnitte mit konstantem Produkt . Asymptotengleiehung der Hy- perbel. Hyperbel und Asymptoten begrenzen auf jeder Geraden Strecken mit gemeinsamem Mittelpunkt .... 245 336. 337. Halbierung der Strecke zwischen Sehnenmitte und Pol durch die Parabel. Teilung der von einem Punkt an die Parabel gezogenen Tangenten nach dem gleichen Verhältnis durch jede andere Tangente. Parabelgleichung 247 338 — 341. Aus einem gegebenen Rotationskegel eine vorgegebene Ellipse, Hyperbel oder Parabel auszuschneiden 248 Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegel- schnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen. 342 — 345. Gesetz der Dualität für ebene und räumliche Figuren . . . 252 346. 347. Reciprozität in Bezug auf einen Kegelschnitt 254 348 — 351. Aufgaben ersten und zweiten Grades. Fundamentalaufgaben zweiten Grades und die hierbei auftretenden imaginären Lösungen. Konstruktiv verwertbare imaginäre Elemente . 255 352. 353. Realitätsverhältnisse bei zwei und drei Punktepaaren in har- monischer Lage. Gemeinsames Elementepaar zweier In- volutionen auf demselben Träger 257 354. 355. Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern, ebenso zwei Strahleninvolutionen mit verschiedenen Scheiteln sind stets in doppelter Weise perspektiv gelegen 258 356 — 358. Konstruktion von Kegelschnitten aus teilweise imaginären 859. 360. Involution rechter Winkel. Imaginäre Kreispunkte der Ebene. Konstruktion des Kreises aus teilweise imaginären Elementen 262 Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes. 361. Brennpunkte und Leitlinien der Schnittkurven eines Rota- tionskegels; erstere als Berührungspunkte zweier den Kegel berührender Kugeln. Konstantes Abstandsverhältnis der Kurvenpunkte von Brennpunkt und Leitlinie 264 362. Die Brennpunkte als Scheitel rechtwinkliger Polareninvolutionen 266 363. Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt halbieren die 364. 365. Perspektivität des Kegelschnittes mit einem Kreise um einen der Brennpunkte. Eigenschaften, die sich daraus ergeben 267 366 — 368. Ort der Fußpunkte aller von den Brennpunkten auf die Tan- genten gefällten Lote. Tangentenkonstruktionen .... 269 369. Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein .... 270 370—373. Die harmonischen rechtwinkligen Polaren schneiden auf den Achsen eines Kegelschnittes Involutionen aus, deren Doppel- punkte die Brennpunkte sind. Haupt- oder Brennpunkts- achse. Konstruktion der reellen Brennpunkte. Die Ver- hältnisse bei der Parabel. Brennstrahlen und Tangenten Seite 374. Ort der Schnittpunkte einer beweglichen Tangente mit zwei bei der Hyperbel 273 375 — 377. Konfokale Kegelschnitte. Kurven gleicher Art schneiden sich nicht, Kurven verschiedener Art aber unter rechten Winkeln 274 KrUmmnngskreise der Kegelschnitte. 378 — 380. Oskulations- oder Krümmungskreis. Perspektivität zwischen einem Kegelschnitt und einem ihn berührenden oder oskulierenden Kreise. Konstruktion des Krümmungskreises bei einem durch fünf Punkte bestimmten Kegelschnitt . . 276 381. 382. Die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten bei der Ellipse und Hyperbel 278 383. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes auf der Normalen 384 — 387. Konstruktion der Krümmungsmittelpunkte für die Endpunkte konjugierter Durchmesser bei der Ellipse und Hyperbel 281 388. Die Krümmungskreise bei der Parabel 284 Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel nnd Scharen jron Kegelschnitten. Perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte. 389. Kegelschnitte mit vier gemeinsamen Punkten und solche mit vier gemeinsamen Tangenten 285 390. Bei zwei Kegelschnitten ist die Zahl der gemeinsamen Punkte oder Tangenten stets gerade 285 391. Polvierseit und Polviereck 286 392 — 393. Zwei Kegelschnitte besitzen auf jeder Geraden zwei gemeinsame harmonische Pole und in jedem Punkt zwei gemeinsame harmonische Polaren 287 394. 395. Das gemeinsame Polardreieck zweier Kegelschnitte. Mindestens eine Ecke und eine Seite davon sind reell .... 288 396 — 398. Jede Ecke des Polardreiecks ist der Scheitel einer Strahleninvolution, deren Doppelstrahlen die den Kegelschnitten gemeinsamen Punkte tragen. Auf jeder Seite liegt eine Punktinvolution; in ihren Doppelpunkten scheiden sich die gemeinsamen Tangenten 289 399. 400. Realitäteverhältnisse 290 401 — 406. Fünf verschiedene Fälle sind bezüglich der gegenseitigen Lage zweier Kegelschnitte zu unterscheiden. Konstruktionen . 291 407 — 409. Der Kegelschnittbüschel. Seine Kurven schneiden aus jeder Geraden eine Punktinvolution aus; die Polaren eines jeden Punktes gehen durch einen zweiten. Die Kegelschnittschar. Die Tangentenpaare an ihre Kurven bilden in jedem Punkte eine Involution; die Pole einer jeden Geraden liegen auf einer zweiten. Gerade gleicher Punktinvolution .... 297 410. 411. Kegelschnitte durch vier resp. drei Punkte, die eine resp. zwei Gerade berühren und die dualen Aufgaben 298 412. Die perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte . . . 301 Seite VI. Kapitel. Ebene Kurven und Raumkurven. Begriff des Uuendlickkleinen in der Geometrie. 413. Endliche, unendliche und unendlich kleine Größen. Die Ver gleichung endlicher Größen 303 414. Die Vergleichung unendlich kleiner Größen. Ordnungen der selben .. . 304 415. Gleichungen zwischen unendlich kleinen Größen. Bestimmter Grenzwert für das Verhältnis zweier und für die Summe unendlich vieler unendlich kleiner Größen 305 416 — 418. Wichtige Beispiele für geometrische unendlich kleine Größen verschiedener Ordnungen 306 Erzeugung ebener Kurven. 419. Erzeugung einer ebenen Kurve als Bahn eines bewegten Punktes. Nachbarpunkte, Kurvenelement. Stetigkeit. Sekante, Tangente. Stetigkeit in Bezug auf die Tangente . 308 420. 421. Erzeugung durch eine bewegte Gerade als Hüllkurve. Nachbartangenten, Kontingenzwinkel, Berührungspunkt. Die Stetigkeit als projektive Eigenschaft. Asymptoten 309 422. Gleichzeitige doppelte Erzeugung der Kurve. Fortschreitungs und Drehungssinn des Punktes resp. der zugehörigen Tan- Konstruktion von Tangenten und Normalen. 423. Zeichnung einer Kurve aus Punkten und Tangenten derselben 311 424. Tangente einer gezeichneten Kurve aus gegebenem Punkte und ihr Berührungspunkt ,. . 311 425. 42C. Tangente und Normale in gegebenem Punkte einer gezeichneten Kurve 312 427. Normale aus gegebenem Punkte zu einer gezeichneten Kurve 313 428. Tangentenkonstruktion mittels der zur Konstruktion der Kurve selbst dienenden Hilfskurven 314 429 — 433. Beispiele: Ellipse, Cassini 'sehe Kurve, Konchoide,Pas c a 1 'sehe Schneckenlinie 315 Krümmung der Kurven, Evoluten. 434. 435. Krümmungsmaß. Mittlere Krümmung eines Kurvenbogens, Krümmung einer Kurve in gegebenem Punkte. Stetigkeit in Bezug auf die Krümmung. Die für das Krümmungsmaß in Betracht kommenden unendlich kleinen Größen . . . 318 436. Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkt. Konkave und konvexe Seite einer Kurve, Krümmungsweehsel .... 320 437 — 439. Der den Krümmungskreis bestimmende Grenzprozeß. Dreipunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve. Krümmungsmittelpunkt als Schnitt benachbarter Kurvennormalen 320 440. Evolute und Evolventen einer Kurve 322 Seite 441. Vierpunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve, Scheitelpunkte. Verhalten der Evolute 323 442. Verhalten der Krümmung im Wendepunkte, BUckkehrpunktc und bei der Schnabelspitze 323 443. Konstruktion des Krümmungskreises für einen Punkt einer gezeichneten Kurve 324 444. Beziehung zwischen der Krümmung einer ebenen Kurve und der ihres perspektiven Bildes 325 Rektifikation von Kurven. 445. Regel zur näherungsweisen Rektifikation. Rektifikation eines Kreises 327 Raumkurven und iure Projektionen; abwickelbare Flächen. 446. Entstehung einer Raumkurve. Kurvenelement, Tangente, Schmiegungsebene. Normalebene, Hauptnormale, Binormale, 447. Gleichzeitige Bewegungen des erzeugenden Punktes, der Tan gente und der Schmiegungsebene. Stetigkeit. Kontingenz- 448. Die zur Raumkurve gehörige abwickelbare Fläche. Ihre Er zeugung durch die Tangenten und Schmiegungsebenen . . 329 449. Die Raumkurve als Bückkehrkurve der abwickelbaren Fläche 330 450. Abwickelung der Fläche und der auf ihr liegenden Kurven . 331 451. Elemente, die bei der Abwickelung erhalten bleiben: Bogen längen der Kurven und ihre Winkel mit den Erzeugenden, Kontingeuzwinkel, Bogenelemente und Krümmung der Rückkehrkurve 332 452. Beziehung zwischen den Krümmungsradien entsprechender Punkte einer Kurve der abwickelbaren Fläche und der abgewickelten Kurve 332 453. Geodätische Linien auf der abwickelbaren Fläche .... 333 454. Der Richtkegel einer Raumkurve 333 455. Evolutenfläche und Evolventen 333 456. Ebene Projektionen einer Raumkurve. Rückkehr-, Doppel- und Wendepunkte, die den Tangenten, Sehnen und Schmiegungsebenen durch das Projektionscentrum entsprechen . . . 334 457. Singularitäten bei den Raumkurven. Stationäre Ebene, Streckungspunkt, Rückkehrpunkt 334 458. Konstruktion der Tangente und Schmiegungsebene in einem Punkte einer Raumkurve 335 Krumme Oberflächen. 459. Bestimmung einer krummen Fläche durch ein sie überdeckendes Kurvensystem, Nachbarkurven. Erzeugung durch stetige Bewegung einer konstanten oder ihre Form ändernden Kurve 336 460. 461. Tangenten und Tangentialebenen einer Fläche. Knotenpunkte. 337 462. 463. Flächennormale, Normalschnitte. Isolierter, gewöhnlicher Doppelpunkt oder Rückkehrpunkt im Schnitt mit der Tan |