Abbildungen der Seite
PDF
EPUB
[blocks in formation]
[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]
[ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]
[ocr errors][merged small][merged small]

237-239. Jeder Kreis ist zu sich selbst perspektiv; Achse oder Centrum
der Perspektive ist dabei beliebig. Definition und Eigen-
schaften von Pol und Polare

240-243. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Kreisbüschel,

die in sich übergehen

[ocr errors]

244-246. Involutionen bei Kreisbüscheln; Konstruktion der Doppel-

punkte

247-251. Schiefer Kreiskegel. Wechselschnitte. Zwei beliebige Kreise
einer Kugel sind perspektiv und umgekehrt.

252. Symmetrieebenen des schiefen Kreiskegels

253-256. Centralprojektionen eines Kreises in einen andern, wobei eine
nicht schneidende Gerade in die unendlich ferne, oder ein
innerer Punkt in den Mittelpunkt, oder drei Punkte des
Originals in drei Punkte des Bildes übergehen.

[ocr errors]

260-262. Drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel 198

263. Projektive Punktreihen oder Strahlbüschel gehen bei jeder

Centralprojektion wieder in solche Reihen oder Büschel über 200

264. Die Punkte eines Kreises oder Kegelschnittes projizieren sich aus

zwei festen Punkten auf ihm durch projektive Strahlbüschel 200

265. Die Tangenten eines Kreises oder Kegelschnittes schneiden
zwei feste Tangenten an ihn in projektiven Punktreihen
266. 267. Zwei Vierecke, die einem Kreise oder Kegelschnitt in den
nämlichen Punkten ein- und umgeschrieben sind.
Pascal'sches Sechseck und Brianchon'sches Sechsseit

270-274. Spezialfälle der Sätze von Pascal und Brianchon

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small]

mit konstantem Produkt. Asymptotengleichung der Hy-
perbel. Hyperbel und Asymptoten begrenzen auf jeder
Geraden Strecken mit gemeinsamem Mittelpunkt

336. 337. Halbierung der Strecke zwischen Sehnenmitte und Pol durch
die Parabel. Teilung der von einem Punkt an die Parabel
gezogenen Tangenten nach dem gleichen Verhältnis durch
jede andere Tangente. Parabelgleichung.

338-341. Aus einem gegebenen Rotationskegel eine vorgegebene Ellipse, Hyperbel oder Parabel auszuschneiden.

Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegelschnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen.

342

-345. Gesetz der Dualität für ebene und räumliche Figuren 346. 347. Reciprozität in Bezug auf einen Kegelschnitt 348-351. Aufgaben ersten und zweiten Grades. Fundamentalaufgaben zweiten Grades und die hierbei auftretenden imaginären Lösungen. Konstruktiv verwertbare imaginäre Elemente 352. 353. Realitätsverhältnisse bei zwei und drei Punktepaaren in harmonischer Lage. Gemeinsames Elementepaar zweier Involutionen auf demselben Träger.

354. 355. Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern, ebenso zwei Strahleninvolutionen mit verschiedenen Scheiteln sind stets in doppelter Weise perspektiv gelegen.

356 -358. Konstruktion von Kegelschnitten aus teilweise imaginären Elementen

359. 360.

[ocr errors]

Seite

245

247

248

252

254

255

257

258

260

Involution rechter Winkel. Imaginäre Kreispunkte der Ebene.
Konstruktion des Kreises aus teilweise imaginären Elementen 262

Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes.

361. Brennpunkte und Leitlinien der Schnittkurven eines Rota-
tionskegels; erstere als Berührungspunkte zweier den Kegel
berührender Kugeln. Konstantes Abstandsverhältnis der
Kurvenpunkte von Brennpunkt und Leitlinie

264

362. Die Brennpunkte als Scheitel rechtwinkliger Polareninvolutionen 266 363. Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt halbieren die Winkel der Brennstrahlen

267

364. 365. Perspektivität des Kegelschnittes mit einem Kreise um einen der Brennpunkte. Eigenschaften, die sich daraus ergeben 267 366-368. Ort der Fußpunkte aller von den Brennpunkten auf die Tan

[ocr errors]

genten gefällten Lote. Tangentenkonstruktionen 369. Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein 370-373. Die harmonischen rechtwinkligen Polaren schneiden auf den Achsen eines Kegelschnittes Involutionen aus, deren Doppelpunkte die Brennpunkte sind. Haupt- oder Brennpunktsachse. Konstruktion der reellen Brennpunkte. Die Verhältnisse bei der Parabel. Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein .

269

270

271

374. Ort der Schnittpunkte einer beweglichen Tangente mit zwei
festen Tangenten bei der Parabel und mit den Asymptoten
bei der Hyperbel

[ocr errors]

Seite

273

375-377. Konfokale Kegelschnitte. Kurven gleicher Art schneiden sich nicht, Kurven verschiedener Art aber unter rechten Winkeln 274

Krümmungskreise der Kegelschnitte.

378-380. Oskulations- oder Krümmungskreis. Perspektivität zwischen einem Kegelschnitt und einem ihn berührenden oder oskulierenden Kreise. Konstruktion des Krümmungskreises

bei einem durch fünf Punkte bestimmten Kegelschnitt . . 276 381. 382. Die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten bei der Ellipse und Hyperbel . .

383. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes auf der Normalen
eines Punktes, wenn zwei konjugierte Durchmesser oder die
Achsen der Lage nach bekannt sind

384-387. Konstruktion der Krümmungsmittelpunkte für die Endpunkte
konjugierter Durchmesser bei der Ellipse und Hyperbel

388. Die Krümmungskreise bei der Parabel

Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel und Scharen von Kegelschnitten. Perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte. 389. Kegelschnitte mit vier gemeinsamen Punkten und solche mit vier gemeinsamen Tangenten

278

279

281

[ocr errors]

284

285

390. Bei zwei Kegelschnitten ist die Zahl der gemeinsamen Punkte
oder Tangenten stets gerade

285

391.

Polvierseit und Polviereck

286

392-393.

Zwei Kegelschnitte besitzen auf jeder Geraden zwei gemein-
same harmonische Pole und in jedem Punkt zwei gemein-
same harmonische Polaren

287

[ocr errors]

394.

Min

288

395. Das gemeinsame Polardreieck zweier Kegelschnitte. destens eine Ecke und eine Seite davon sind reell 396-398. Jede Ecke des Polardreiecks ist der Scheitel einer Strahleninvolution, deren Doppelstrahlen die den Kegelschnitten gemeinsamen Punkte tragen. Auf jeder Seite liegt eine Punktinvolution; in ihren Doppelpunkten scheiden sich die gemeinsamen Tangenten Realitätsverhältnisse

399. 400.

[ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]

401-406. Fünf verschiedene Fälle sind bezüglich der gegenseitigen Lage zweier Kegelschnitte zu unterscheiden. Konstruktionen 291 407–409. Der Kegelschnittbüschel. Seine Kurven schneiden aus jeder Geraden eine Punktinvolution aus; die Polaren eines jeden Punktes gehen durch einen zweiten. Die Kegelschnittschar. Die Tangentenpaare an ihre Kurven bilden in jedem Punkte eine Involution; die Pole einer jeden Geraden liegen auf einer zweiten. Gerade gleicher Punktinvolution 410. 411. Kegelschnitte durch vier resp. drei Punkte, die eine resp. zwei Gerade berühren und die dualen Aufgaben

[ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small]
« ZurückWeiter »