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85. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch

Paralleldrehung zu einer Tafel . 61

86. Abstand eines Punktes von einer Geraden 61

87. Errichtung einer Normalen von gegebener Länge in einem

Punkte eines Dreiecks 63

88. Drehung eines Punktes um eine Tafelparallele durch einen

gegebenen Winkel 63

89 — 91. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden .... 64

Lösung- verschiedener stereometrischer Aufgaben durch Pro-

jektionsmethoden.

92 — 94. Eotationskegel. Zwei Kegel mit gemeinsamer Spitze. Polarkegel 6T

95. Rotationscylinder 69

96. Neigungskreis in einer Ebene für Gerade und Ebenen durch

einen Punkt 69

97. Gerade von gegebener Tafelneigung in einer Ebene .... 70

98. Ebenen von gegebener Tafelneigung durch eine Gerade . . 71

99. Schnittlinien zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze . 71

100. Gemeinsame Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit ge-

meinsamer Spitze 73

101. 102. Anwendung auf Gerade und Ebenen mit gegebenen Tafel-

neigungen 74

103. Gerade, die zwei windschiefe Gerade unter gegebenen Winkeln

schneiden 75

104. Ebenen durch einen Punkt, die mit zwei Geraden gegebene

Winkel einschließen 75

105. Gerade in einer Ebene, die von zwei festen Punkten außer-

halb gegebene Abstände haben 76

106. Gerade durch einen Pnnkt, die von zwei Geraden vorgeschrie-

bene Abstände haben 77

107. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form der andern

gegeben ist 78

108. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form gegeben ist 79

109. Schiefe Parallelprojektion eines Kreises in eine gegebene Ellipse 80

III. Kapitel. Ebenflächige Gebilde, Körper.

Die körperliche Ecke; das Dreikant.

110. Das ro-Kant und seine Bestimmungsstücke -82

111. Seiten- nnd Winkelsumme des konkaven w-Kants, Polar-w-Kant 82

112. Das Dreikant. Die sechs Fundamentalaufgaben 84

113 — 120. Konstruktion des Dreikants aus Seiten und Winkeln ... 85

121. Dreikant und das zugehörige sphärische Dreieck 93

122. Konstruktion eines Dreikants aus andern Bestimmungsstücken 94

Allgemeines über Vielflache; reguläre Vielflache.

123. Das Vielflach oder Polyeder. Satz von Euler 96

124. Anzahl der Bestimmungsstücke eines Vielflachs 97
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125. 126. Folgerungen aus dem Euler'schen Satze 98

127. Wahrer und scheinbarer Umriß eines Polyeders 99

128. Beguläre Polyeder. Konstruktion des Achtflachs 100

129. 130. Konstruktion des Zwölfflachs . 101

131. 132. Konstruktion des Zwanzigflachs 105

133. 'Reguläre Sternpolye'der 107

134. Tetraeder, dessen Projektionen der Form nach bekannt sind 108

135. Konstruktion des Würfels aus Kantenlänge und den Rich-

tungen der ersten Kantenprojektionen 109

136. Konstruktion des Würfels aus den Längen der ersten Kanten-

projektionen 110

137. Die einem Vierflach umschriebene Kugel 111

138. Die einem Vierflach eingeschriebene Kugel 112

Ebene Schnitte und Netze Ton Vielflachen, insbesondere Prismen
nnd Pyramiden.

139. Ebener Schnitt und wahre Gestalt einer einzelnen Seitenfläche.

Netz des Vielflachs 114

140. Prismen und Pyramiden 115

141. 142. Schnitt und Netz vom geraden und schiefen Prisma . . . 115

143. Schnitt und Netz einer Pyramide 118

144. Bestimmung eines vierseitigen Pyramidenstumpfes aus Basis-

und Schnittfläche und deren Neigungswinkel 119

Durchdringung zweier Vielflache.

145. Allgemeines über die Durchdringungsfigur 121

146. Durchdringung von Würfel und Tetraeder 122

147. Durchdringung von Prisma und Pyramide in spezieller

Lage 123

148 —150. Durchdringung von Prismen und Pyramiden in allgemeiner

Lage 125

Schlagschatten und Eigenschatten bei Vielflachen.

151. Schlag- und Eigenschattenbegrenzung bei parallelen Licht-

strahlen 128

152. Eigenschatten eines Zwölfflachs und Schlagschatten auf die

Tafeln 128

153. Schlagschatten eines Vielflachs auf ein anderes (Abgestumpfte

Pyramide und Achtflach) 130

Beispiele für angewandte Schattenkonstruktion.

154. Freitreppe 131

155. Fenster .133

156. Dachfläche mit Schornstein 135
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Ceutralprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene.

157. Centralprojektion einer ebenen Figur 135

158. Spezialfälle: Affine, ähnliche, kongruente Figuren : . . . 136

159. Flucht- und Verschwindungspunkt einer Geraden. Flucht- und

Verschwindungslinie einer Ebene 136

160. Unendlich ferne Elemente. Richtung der Geraden, Stellung

der Ebene 137

161. Bestimmung der Centralprojektion bei gegebener Original-

und Bildebene 137

162. Drei paarweise perspektive Figuren 138

163. Drehung einer von zwei perspektiven Figuren um die Achse 139

164. Vereinigung von Original- und Bildebene durch Drehung . 140

165. Perspektive Beziehungen zwischen Grund- und Schnittpolygon

einer Pyramide 140

Perspektive in der Ebene.

166. Eigenschaften perspektiver oder centrisch-kollinearer Figuren

einer Ebene 141

167. Übergang von der ebenen zur räumlichen Perspektive . . . 141

168 —171. Bestimmungsstücke der Perspektive, Gegenachsen (Flucht- und

Verschwindungslinie) und Gegenpunkte (Flucht- und Ver-

schwindungspunkt) 142

Perspektive Grundgebilde.

172. 173. Die einförmigen Grundgebilde: Punktreihe, Strahlbüschel,

Ebenenbüschel. Perspektive Lage zweier Grundgebilde . 144

174. Perspektive Punktreihen, Gegenpunkte 144

175—180. Unendlich viele perspektive Lagen dreier Punkte einer Graden

zu dreien einer zweiten. Das Entsprechen aller Punkte der

beiden Reihen ist hierbei stets das gleiche. Folgerungen hieraus 145

181. 182. Unendlich viele perspektive Lagen von drei Strahlen eines

Büschels mit drei Strahlen eines zweiten. Ihre perspektive

Beziehung ist dadurch bestimmt 148

183. Entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen 149

184. Folgerungen 149

185. Kongruente Schnitte aus perspektiven Büscheln 149

186. Von zwei perspektiven Büscheln kann jedes als Orthogonal-

projektion des andern angesehen werden 150

187. 188. Unendlich viele perspektive Lagen von drei Ebenen eines

Büschels mit drei Ebenen eines zweiten. Ihre perspektive

Beziehung ist dadurch bestimmt. Entsprechende Paare

rechtwinkliger Ebenen. Folgerungen 151

189. Projektivität von einförmigen Grundgebilden 152

190. ÄBOD, BADC, CDAB und DCBA sind projektiv 152

191 — 193. Überführung zweier beliebiger Vierecke in perspektive Lage 153
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Harmonische Grundgebilde. Vierseit und Viereek.

194. Das vollständige Vierseit 156

195 —198. Definition der harmonischen Lage von vier Punkten. Har-

monische Beziehungen am Vierseit 156

199. Acht verschiedene projektive Anordnungen von vier harmo-

nischen Punkten 159

200. Vier harmonische Strahlen oder Ebenen 159

201. Konstruktion des vierten harmonischen Punktes 160

202. 208. Das vollständige Viereck; harmonische Beziehungen an ihm.

Konstruktion des vierten harmonischen Strahles . . . . 160

204. Spezielle harmonische Punkte und Strahlen 161

205. Verwandlung eines Vierecks durch Perspektive in ein Quadrat 162

Metrische Beziehungen zwischen Perspektiven Grundgebilden.

206. 207. Verhältnisgleichung zwischen ähnlichen und affinen Strecken 162

208. 209. Messung von Strecken und Winkeln (Das Vorzeichen) . . . 163

210. 211. Bestimmung jedes Elementes in einer Punktreihe, einem Strahl-

oder Ebenenbüschel durch ein Abstandsverhältnis.... 164

212. 213. Das Doppelverhältnis von vier Punkten, Strahlen oder Ebenen 165

214 — 217. Doppelverhältnisgleichheit bei projektiven einförmigen Grund-

gebilden. Umkehrung 166

218. Das Doppelverhältnis von vier harmonischen Punkten . . . 168

Involutorische Grundgebilde.

219 — 221. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Punktreihen.

Mittelpunkt der Involution; ihre Gegenpunkte decken sich 169

222. 223. Gleichlaufende und entgegenlaufende involutorische Reihen.

Letztere besitzen Doppelpunkte; ihre harmonische Lage zu

den Punktepaaren 170

224. Zwei Punktepaare bestimmen eine Involution. Konstruktion

der Paare mittels eines vollständigen Vierecks 172

225. Herstellung der involutorischen Lage 172

226. Metrische Beziehungen 173

227. 228. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Strahl- oder

Ebenenbüscheln 173

229. Zwei Strahlenpaare bestimmen eine Involution. Konstruktion

der Paare mittels eines Vierseits 174

230. 231. Das Rechtwinkelpaar. Die Involution rechtwinkliger Strahlen-

paare 174

232. Doppelstrahlen; ihre harmonische Lage zu den Strahlenpaaren 176

233. Metrische Beziehungen 177

237 — 239. Jeder Kreis ist zu sich selbst perspektiv; Achse oder Centrum

der Perspektive ist dabei beliebig. Definition und Eigen-

schaften von Pol und Polare 182

240—243. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Kreisbüschel,

die in sich übergehen 184

244 — 246. Involutionen bei Kreisbüscheln; Konstruktion der Doppel-

punkte 188

247 — 251. Schiefer Kreiskegel. Wechselschnitte. Zwei beliebige Kreise

einer Kugel sind perspektiv und umgekehrt 189

252. Symmetrieebenen des schiefen Kreiskegels 193

253 — 256. Centralprojektionen eines Kreises in einen andern, wobei eine

nicht schneidende Gerade in die unendlich ferne, oder ein

innerer Punkt in den Mittelpunkt, oder drei Punkte des

Originals in drei Punkte des Bildes übergehen 194

Entstehung: der Kegelschnitte ans der Centraiprojektion des

Kreises. Um- und eingeschriebene Polygone.

257 — 259. Definition der Kegelschnitte als perspektive Bilder eines

Kreises; sie sind stetige geschlossene Kurven und teilen

die Ebene in ein inneres und ein äußeres Gebiet. Zwei

Schnittpunkte mit einer Geraden und zwei Tangenten aus

einem Punkte 196

260 — 262. Drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel . 198

263. Projektive Punktreihen oder Strahlbüschel gehen bei jeder

Centralprojektion wieder in solche Reihen oder Büschel über 200

264. Die Punkte eines Kreises oder Kegelschnittes projizieren sich aus

zwei festen Punkten auf ihm durch projektive Strahlbüschel 200

265. Die Tangenten eines Kreises oder Kegelschnittes schneiden

zwei feste Tangenten an ihn in projektiven Punktreihen 201

266. 267. Zwei Vierecke, die einem Kreise oder Kegelschnitt in den

nämlichen Punkten ein- und umgeschrieben sind .... 202

268. 269. Pascal'sches Sechseck und Brianchon'sches Sechsseit . . 204

270 — 274. Spezialfälle der Sätze von Pascal und Brianchon . . . 205

Pol und Polare eines Kegelschnittes. Mittelpunkt, Durehmesser

und Achsen.

275. Die Eigenschaften von Pol und Polare, abgeleitet aus dem

Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen

Viereck 208

276. Polardreieck 209

277 — 281. Harmonische Pole und Polaren eines Kegelschnittes. Be-

schreibt der Pol eine Punktreihe, so beschreibt seine har-

monische Polare einen dazu projektiven Strahlbüschel . . 210

282 — 284. Involution der harmonischen Pole auf einer Geraden und der

harmonischen Polaren durch einen Punkt 212

285 — 287. Durchmesser und Mittelpunkt eines Kegelschnittes .... 214

288 — 291. Konjugierte Durchmesser und Achsen 216

292. Um- und eingeschriebene Parallelogramme bei einem Kegel-

schnitt 218

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