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Sodann ist SM = cos A, &£ = cosB, SQ = cos A cos l~, Ü/Q = cosA sin T, MP' = sin A cos b, RP' = MP'. sin T = sin A sin T cos b, MR = MP'. cos r = sin A cos V cos b, P'L LP^. cos a = sin B cos a. Aus der Relation: SL = SQ + PP' folgt daher:

ß) cos B = cos A cos T + sin A sin V cos b. Aus der Beziehung: MQ = jtfü! + P'L folgt zunächst: cos A sin T = sin A cos r cos b + sin B cos a; dividiert man die Gleichung mit sin A und setzt dann (nach a) statt sin B: sin A das Verhältnis sin b: sin a ein, so findet man:

y) cotg A sin T = cos T cos b + cotg a sin b. Aus ß) und y) kann man gleichbedeutende Formeln entwickeln, indem man die Symbole der Seiten A, B, T, zugleich aber die Symbole a, b, c der ihnen gegenüberliegenden Winkel mit einander vertauscht. Bedenkt man noch, daß die abgeleiteten Gleichungen auch für das „Polardreieck" gelten müssen, das den Kugelschnitt eines „Polardreikantes" bildet und dessen Seiten und Winkel sich mit den Winkeln und Seiten unseres Dreikantes je zu 2 R ergänzen, sowie daß die Sinus supplementärer Winkel (Bogen) gleich, ihre Cosinus aber entgegengesetzt gleich sind, so findet man z. B. aus ß) die Gleichung:

S) cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B. Die angeführten Gleichungen bilden die Grundlage der sphärischen Trigonometrie; aus ihnen läßt sich der ganze Formelapparat derselben entwickeln, worauf indessen hier nicht näher eingegangen werden soll.

122. Nachdem wir Dreikante aus Seiten und Winkeln konstruiert haben, könnten wir solche auch aus anderen Bestimmungsstücken konstruieren. Hierbei wird es jedoch öfters geboten sein, die Formeln der sphärischen Trigonometrie zu benutzen, um zu solchen Bestimmungsstücken zu gelangen, die ein einfaches Zeichnen ermöglichen. Nicht jede drei beliebig gewählten Bestimmungsstücke führen zu einer Konstruktion. Die Aufgabe wird vielmehr häufig konstruktiv unlösbar, weil sie, analytisch formuliert, von Gleichungen höheren Grades abhängt. Um hier ein konstruierbares Beispiel zu geben, soll ein Dreikant aus einer Seite A, dem gegenüberliegenden Winkel a und dem Neigungswinkel u der Kante a gegen die Seite A gezeichnet werden.

Wir errichten in einem Punkte A der Kante a eine zu ihr senkrechte Ebene E, die die Kanten b und c resp. in B und C schneidet (Fig. 97). Verschiebt man A auf a, so verschiebt sich auch B auf b und C auf c, so daß durch geeignete Wahl von A die Linie

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Lote. In der That ergiebt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke L°JK und QKO sofort:

sin a = L0J: JK = QK: KO = QK: L0R0.

Hiermit ist FA0 = JL° bekannt und die Kanten des gesuchten Dreikantes können unmittelbar gezeichnet werden.

Für das Umlegen der Seiten B und T genügt es zu bemerken, daß CA*=CA0 und CA* ± SA*, sowie BAA = BA0 und BA^ J_ SAA ist.

Allgemeines über Vielflache; reguläre Vielflache.

123. Unter einem Vielflach oder Polyeder ist ein räumliches Gebilde zu verstehen, das von ebenen Vielecken begrenzt wird und überall geschlossen ist, also ein ebenflächiger Körper. Jene ebenen Vielecke heißen die Seitenflächen oder kurz Seiten, ihre Seitenlinien die Kanten des Vielflachs. In jeder Kante stoßen zwei Seitenflächen aneinander. Die Eckpunkte jener ebenen Vielecke sind zugleich die Ecken des Vielflachs, in denen also mindestens drei Kanten — und ebenso viele Seitenflächen — zusammenstoßen. Zwei Vielflache, die in den bezüglichen Seitenflächen einerseits und in den bezüglichen körperlichen Ecken andererseits übereinstimmen, sind kongruent resp. symmetrisch.

Zwischen der Anzahl der Ecken, der Anzahl der Seitenflächen und der Anzahl der Kanten eines Vielflachs besteht eine Beziehung (Eulerscher Satz). Sie lautet: Bei jedem Vielflach ist die Zahl der Seiten vermehrt um die Zahl der Ecken gleich der Zahl der Kanten vermehrt um 2.

Zum Beweise gehen wir von einem Vielflach mit F Flächen, E Ecken und K Kanten aus, nehmen von demselben eine Seitenfläche nach der anderen weg, bis zuletzt nur noch eine einzige Fläche übrig bleibt, und sehen zu, welche Veränderung hierbei die Zahl: F+E K erfährt. Bei Beseitigung der ersten Fläche reduziert sich diese Zahl um eine Einheit. Es entsteht nämlich dadurch ein offenes Vielflach, das einen freien Rand besitzt; die Zahl der Flächen hat sich dabei um 1 vermindert, die der Kanten und Ecken jedoch nicht. Freilich gehören diese teilweise dem Rande des offenen Vielflachs an. Bei Beseitigung jeder weiteren Fläche reduziert sich jene Zahl nicht mehr. Denn beim Abtrennen einer Seitenfläche,. die n aufeinanderfolgende Kanten des freien Randes enthält, vermindert sich F um 1, K um n und E um (n — 1). Nach der Ausführung von (F — 1) Operationen wird also die obige Zahl sich nur um 1 vermindert haben, so daß sie dann gleich F + E K — 1 ist. Es ist aber jetzt nur noch ein Seitenpolygon vom ganzen Vielflach übrig, so daß die Zahl der Ecken nun gleich der Zahl der Kanten ist, mithin muß

F + E - K - 1 = 1, oder: F + E = K + 2 sein.

Bei dieser Beweisführung wurde vorausgesetzt, daß jedesmal die Seitenfläche, die man abtrennt, an den freien Band grenzt, aber nur mit einer Anzahl aufeinanderfolgender Kanten. Würde dagegen eine Seitenfläche entfernt, die an zwei getrennten Stellen — mit Kanten, die nicht aufeinander folgen — an den Rand des offenen Vielflachs grenzt, so würden zwei getrennte Ränder entstehen. Das kann vermieden werden, wenn nicht zuletzt alle Seitenflächen an zwei Stellen an den freien Rand angrenzen; dann gilt der obige Satz nicht mehr, vielmehr müssen Modifikationen angebracht werden, auf die jedoch hier nicht eingegangen werden soll. Läßt sich auf einem Vielflach keine geschlossene Folge von Kanten angeben, ohne daß das Vielflach in zwei getrennte Teile zerfällt wenn man es längs dieser Kantenfolge aufschneidet, so sind die oben geschilderten Operationen immer möglich und der Satz ist gültig.

124. Legen wir uns jetzt die Frage vor: wie viele Bestimmungsstücke (Konstanten) besitzt ein Vielflach? Offenbar ist ein Vielflach durch die Wahl seiner Eckpunkte völlig bestimmt. Die Lage eines Raumpunktes hängt aber von der Wahl dreier Konstanten ab — etwa seiner Abstände von drei festen Ebenen Die Annahme sämtlicher Eckpunkte ergiebt demnach 3 E Konstanten» An dieser Konstantenzahl sind indes noch zwei Korrektionen anzubringen. Erstens ist durch die Annahme der Eckpunkte im Raume nicht nur die Gestalt des Vielflachs an sich, sondern auch seine, räumliche Lage fixiert. Die Bestimmung der räumlichen Lage eines Gegenstandes erfordert aber 6 Konstanten. Denn einen Punkt desselben kann man an eine bestimmte Stelle im Raume bringen, das bedingt 3 Konstanten, einer Achse durch jenen Punkt kann man eine bestimmte Richtung geben, das bedingt . zwei weitere Konstanten, und um jene Achse kann man den Gegenstand noch drehen, was noch eine Konstante erheischt. Die Zahl 6 ist also von der ursprünglich gefundenen Zahl zu subtrahieren. Zweitens können nicht alle Eckpunkte ganz beliebig angenommen werden, wenn die Seitenflächen nicht lauter Dreiecke sind. Ist z. B. eine Seite des Vielflachs ein Viereck, so können nur drei Ecken desselben beliebig im Raume angenommen werden, die vierte muß dann in der Ebene der drei ersten liegen. Jedes Viereck, das dem Vielflach angehört, vermindert also die Zahl der Konstanten um 1.

Eons u. Papperitz. I. 2. Aufl. 7

Ebenso vermindert jedes Fünfeck die Zahl der Konstanten um 2, da die vierte und die fünfte Ecke in der Ebene der drei ersten liegen müssen, u. s. w.

Die Gesamtzahl aller Seitenflächen hatten wir F genannt, und wir wollen nun mit Fs, Fi, Fs, .... die Anzahl der dreieckigen, viereckigen, fünfeckigen .... Seiten bezeichnen, so daß: F=FS + Fi + F5+ .... ist.

Die Zahl der willkürlichen Konstanten eines Vielflachs ist nun:

3 E - Fi - 2 Fs - 3 Fe - - 6.

Mit Berücksichtigung der Relation: F + F = Ä' + 2 wird sie:

3K-3F- Fi -2F5-SF6- ,

oder: 3K- [3 F3 + 4 #4 + 5 Fs + 6 F, + . . . .].

Der Klammerausdruck ist aber = 2 Ä', da jede dreieckige Fläche drei, jede viereckige vier Kanten liefert u. s. f., wobei dann jede Kante zweimal gezählt ist. Wir erkennen also: Jedes Vielflach enthält ebenso viele willkürliche Konstanten als Kanten.

Daraus folgt, daß, wenn die Kanten eines Vielflachs sowie ihre Verteilung in die Seitenflächen gegeben sind, im allgemeinen nur eine endliche Zahl entsprechender Vielflache existieren kann.

125. Aus dem Eulerschen Satze können wir eine Reihe weiterer Schlüsse ziehen, wenn wir bestimmte Voraussetzungen über die Art der Seitenflächen und der Ecken eines Vielflachs machen. Nehmen wir an, daß alle Seitenflächen des Vielflachs Dreiecke und alle Ecken Dreikante sind, so ergiebt sich das Vierflach mit 4 Ecken. Sind die Flächen Dreiecke, aber die Ecken vierkantig, so erhält man das Achtflach mit 6 Ecken; sind endlich die Flächen Dreiecke, aber die Ecken fünfkantig, so entsteht das Zwanzigflach mit 12 Ecken. Für alle diese Fälle ist

nämlich K = ^ also F = 2 E — 4, und ferner K = ^p, wo n = 3,

resp. 4, resp. 5 zu nehmen ist. Vielflache, deren Seitenflächen Dreiecke sind, können nicht lauter sechskantige und mehrkantige Ecken aufweisen, wie sich direkt aus dem Eulerschen Satze ergiebt.

Nehmen wir nun an, ein Vielflach besitze lauter viereckige Seitenflächen, so daß K = 2 F, und E = F + 2 ist, und seine Ecken seien Dreikante, dann ist es ein Sechsflach mit 8 Ecken. Wollte man voraussetzen, alle Ecken seien Vierkante, Fünfkante u. s. w., so würde der Eulersche Satz wieder zu einem Widerspruch führen.

Ein Vielflach kann auch lauter fünfeckige Seitenflächen be

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