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um

c resp. b nieder und erhält so die wahre Größe der Seiten

B und г.

=

95). Man zeichne zunächst ein Drei

1

120. 2. Lösung (Fig. kant mit den drei Seiten: A, 2 Ra, B1 = 2 Rb, г1 = 2 Rc, indem man ganz wie in 113 zu Werke geht. Dann wähle man auf den Kanten a1, b1, c1 desselben die Punkte L, M, N respektive, und errichte in ihnen Ebenen senkrecht zu den bezüglichen Kanten. Bei geeigneter Wahl von L, M, N liegt der Schnittpunkt S dieser

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Ebenen im Innern des Dreikantes a, b, c,; die Ebenen schneiden sich dann in den Kanten des Polardreikantes mit dem Scheitel S, das die vorgeschriebenen Winkel a, b, c besitzt. In der Figur ist die Spur AB der in N auf c, normalen Ebene wie früher bestimmt. Die Spuren der in L auf a1, und in M auf b1 normalen Ebenen sind LK und MK; sie schneiden aus den Seiten B1 resp. г, die Geraden LH resp. MJ aus, die in den umgelegten Seiten zu LH, und MJ0 werden. Das gesuchte Dreikant hat den Scheitel S und die Kanten SJ, SH, SK, die auf den Seiten A1, B1, г1 respektive senkrecht stehen. Die Seitenflächen unseres Dreikantes sind HSJN, JSKM und KSHL, deren wahre Größe wir durch Umlegen in die Zeichenebene finden. So erhält man KSAJAM, indem man SAK und JJ' KM zieht, JAM J°M macht und SAJA durch den Spurpunkt von JS, d. h. durch AB × J'S' zieht; ganz ebenso findet man KSH ̧L ( MJ ̧§ ̧ = R, ▲ LH_SA

=

Δ

R, KS KS). Von dem

=

Vierecke SJNH kennt man die wahre Länge aller Seiten und die Winkel SJN R und L SHN R und kann also die wahre

Δ

=

Δ

=

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J°N°, HAND HN, HAS LHSK, b = L JASAK und c

Größe S JANHA zeichnen (JANA
HASA). Damit ist dann a
LJASHA gefunden.

=

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=

121. Wird ein Dreikant von einer koncentrischen Kugelfläche geschnitten, so entsteht ein sphärisches Dreieck. Seine Ecken liegen auf den Kanten a, b, c. Seine Seiten (als Bogen größter Kreise auf der Kugel durch ihre Centriwinkel bestimmt)

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entsprechen den Seiten A, B, des Dreikants und seine Winkel stimmen mit den Winkeln a, b, c desselben resp. überein.

Die gegebenen Dreikantskonstruktionen bilden daher das Äquivalent für die Berechnungen der sphärischen Trigonometrie und aus unseren Figuren müssen sich die Formeln der letzteren ablesen lassen.

In Fig. 96, die auf dieselbe Art wie Fig. 88 in 113 entsteht, ziehe man MQ a und die Verlängerung von PP' bis R auf MQ. Ferner wähle man der Einfachheit halber den Kugelradius als Längeneinheit und setze dementsprechend: SP, SPo 1. Dann ist MP0 sin A, LP, sin B und P'PA = sin A sin b, P'P sin B. sin a. Die sofort erkennbare Gleichheit der beiden letzten Strecken giebt: sin A sin b = sin B sin a, oder allgemein die Formel:

=

=

=

=

=

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Sodann ist

=

=

SM = cos A, SL = cos B, SQ = cos А cosг, MQ = cos A sin, MP' sin A cos b, RP' = MP' . sin ‍ sin A sin cos b, MR = LP.cos a = sin B cos a.

MP'. cos sin A coscos b, P'L

=

der Relation: SL = SQ + RP'

=

folgt daher:

P) cos B = cos A cos + sin A sin cos b.

Aus der Beziehung: MQ = MR + P'L folgt zunächst:

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Aus

dividiert man die Gleichung mit sin A und setzt dann (nach a) statt sin B sin A das Verhältnis sin b: sin a ein, so findet man:

7) cotg A sin [ = cos [ cos b + cotg a sin b.

Aus ) und 7) kann man gleichbedeutende Formeln entwickeln, indem man die Symbole der Seiten A, B, г, zugleich aber die Symbole a, b, c der ihnen gegenüberliegenden Winkel mit einander vertauscht. Bedenkt man noch, daß die abgeleiteten Gleichungen auch für das „Polardreieck" gelten müssen, das den Kugelschnitt eines „Polardreikantes" bildet und dessen Seiten und Winkel sich mit den Winkeln und Seiten unseres Dreikantes je zu 2 R ergänzen, sowie daß die Sinus supplementärer Winkel (Bogen) gleich, ihre Cosinus aber entgegengesetzt gleich sind, so findet man z. B. aus ) die Gleichung:

=

8) cos b cos a cos c + sin a sin c cos B. Die angeführten Gleichungen bilden die Grundlage der sphärischen Trigonometrie; aus ihnen läßt sich der ganze Formelapparat derselben entwickeln, worauf indessen hier nicht näher eingegangen werden soll.

122. Nachdem wir Dreikante aus Seiten und Winkeln konstruiert haben, könnten wir solche auch aus anderen Bestimmungsstücken konstruieren. Hierbei wird es jedoch öfters geboten sein, die Formeln der sphärischen Trigonometrie zu benutzen, um zu solchen Bestimmungsstücken zu gelangen, die ein einfaches Zeichnen ermöglichen. Nicht jede Nicht jede drei beliebig gewählten Bestimmungsstücke führen zu einer Konstruktion. Die Aufgabe wird vielmehr häufig konstruktiv unlösbar, weil sie, analytisch formuliert, von Gleichungen höheren Grades abhängt. Um hier ein konstruierbares Beispiel zu geben, soll ein Dreikant aus einer Seite A, dem gegenüberliegenden Winkel a und dem Neigungswinkel a der Kante a gegen die Seite A gezeichnet werden.

Wir errichten in einem Punkte A der Kante a eine zu ihr senkrechte Ebene E, die die Kanten b und c resp. in B und C schneidet (Fig. 97). Verschiebt man A auf a, so verschiebt sich auch B aufb und C auf c, so daß durch geeignete Wahl von A die Linie

BC eine vorgeschriebene Länge erhält.
Zeichenebene zusammenfallen, nimmt in
legt die Ebene E um ihre
Spur BC um, so muß man
zwei Dreiecke CBS und
CBA, mit folgenden Eigen-
schaften erhalten. BSC
= A und L BAC = a;
die Lote aus A und S
auf BC treffen diese Linie
in dem gleichen Punkte F,
da a BC und FSA = α.
Man konstruiere also über
BC als Sehne zwei Kreise,
von denen der erstere
den Winkel A, der letz-
tere den Winkel a als Pe-
ripheriewinkel faßt. Dann
sind S und

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Ws

auf diesen

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Kreisen so zu bestimmen,

daß 48 BC und AF: SF

=

Fig. 97.

sina ist. Sind nun JL, und JK den gesuchten Strecken FA resp. FS gleich, so ist:

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MLM.J2 = NK2 — NJ2,

oder indem man die Differenz der Quadrate zerlegt:

LJ.LR= KJ. KQ,

wobei LR ML - MJ und KQ NK NJ ist.

=

=

Berücksichtigt man noch die Relation LJ: KJ = sin a, so folgt

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0

MR = MJ und NQ= NJ sind bekannt; es gilt also nur noch JL und JK mit Hilfe der letzten Gleichung zu finden. Trägt man aber im Punkte J die Strecke JR = JR so an, daß ▲ RoJB = a ist, zieht in Ro eine Senkrechte zu JRo und in eine Senkrechte zu JQ, die sich in O schneiden, so liegt K auf einer zu JRo durch O gezogenen Parallelen und Lo auf einem von K auf JR° gefällten

Lote. In der That ergiebt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke L°JK und QKO sofort:

sin α =

Hiermit ist FA,

=

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JL° bekannt und die Kanten des gesuchten

Dreikantes können unmittelbar gezeichnet werden.

Für das Umlegen der Seiten B und

genügt es zu bemerken, daß CA CA und CASA, sowie BABA und BA SA ist.

=

Allgemeines über Vielflache; reguläre Vielflache.

123. Unter einem Vielflach oder Polyeder ist ein räumliches Gebilde zu verstehen, das von ebenen Vielecken begrenzt wird und überall geschlossen ist, also ein ebenflächiger Körper. Jene ebenen Vielecke heißen die Seitenflächen oder kurz Seiten, ihre Seitenlinien die Kanten des Vielflachs. In jeder Kante stoßen zwei Seitenflächen aneinander. Die Eckpunkte jener ebenen Vielecke sind zugleich die Ecken des Vielflachs, in denen also mindestens drei Kanten und ebenso viele Seitenflächen stoßen. Zwei Vielflache, die in den bezüglichen Seitenflächen einerseits und in den bezüglichen körperlichen Ecken andererseits übereinstimmen, sind kongruent resp. symmetrisch.

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zusammen

Zwischen der Anzahl der Ecken, der Anzahl der Seitenflächen und der Anzahl der Kanten eines Vielflachs besteht eine Beziehung (Eulerscher Satz). Sie lautet: Bei jedem Vielflach ist die Zahl der Seiten vermehrt um die Zahl der Ecken gleich der Zahl der Kanten vermehrt um 2.

Zum Beweise gehen wir von einem Vielflach mit F Flächen, E Ecken und K Kanten aus, nehmen von demselben eine Seitenfläche nach der anderen weg, bis zuletzt nur noch eine einzige Fläche übrig bleibt, und sehen zu, welche Veränderung hierbei die Zahl: FE - K erfährt. Bei Beseitigung der ersten Fläche reduziert sich diese Zahl um eine Einheit. Es entsteht nämlich dadurch ein offenes Vielflach, das einen freien Rand besitzt; die Zahl der Flächen hat sich dabei um 1 vermindert, die der Kanten und Ecken jedoch nicht. Freilich gehören diese teilweise dem Rande des offenen Vielflachs an. Bei Beseitigung jeder weiteren Fläche reduziert sich jene Zahl nicht mehr. Denn beim Abtrennen einer Seitenfläche, die n aufeinanderfolgende Kanten des freien Randes enthält, vermindert sich F um 1, K um n und E um (n 1). Nach der Ausführung von (F1) Operationen wird also die obige Zahl sich nur um 1 vermindert haben, so daß sie dann

.

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