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der Ebene und des Kegels zu finden, benutzen wir eine zu c senkrechte Hilfsebene, die wir um ihre Spur in die Zeichenebene niederlegen. Unser Kegel weist in der niedergelegten Hilfsebene als Spur den Kreis mit dem Mittelpunkt L und dem Radius LB0 auf und unsere Ebene V die Spur AP". Denn ein Punkt P von T, dessen Projektion P' = L ist, hat den Tafelabstand P"P' = PAP', wo PAP' Kathete des rechtwinkligen Dreiecks P^P'M ist. Eine in M zu a senkrechte Ebene schneidet nämlich V in der Geraden PM, deren Umlegung in die Tafel offenbar MP^ ist und mit MP' den Winkel a

einschließt. Spurkreis und Spurlinie AP" schneiden sich in B", dem Spurpunkt der gesuchten Kante b in der Hilfsebene, woraus sich sofort b' ergiebt. i_ B"LA = c und die wahre Größe der Seite ab = T erhält man durch Umlegen derselben um die Kante a. In der Figur ist zu diesem Zwecke zunächst P nach umgelegt, hierdurch AP° und auf dieser Geraden Bü bestimmt. Zur Kontrolle dient die Gleichheit von SB0 und SB0. Eine zweite Lösung liefert der Punkt -5/, d°cn ^ die weitere Durchführung derselben unterlassen, um die Figur nicht zu sehr zu komplizieren.

118. Konstruktion des Dreikants aus einer Seite B, einem anliegenden Winkel a und dem gegenüberliegenden Winkel b (Fig. 93).

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Lassen wir die Zeichenebene mit der gesuchten Seite V zusammenfallen und denken wir uns B in dieselbe niedergelegt. Alsdann drehen wir B um die Kante a, bis sie mit der Tafel den Winkel a einschließt; ganz wie früher erhalten wir so P' und c und P'PA als Tafelabstand des Punktes P. Durch c = SP ist nun eine Ebene zu legen, die mit der Tafel den Winkel b bildet. Die Spuren aller Ebenen durch P mit der Tafelneigung = b berühren nach 96 einen Kreis mit dem Mittelpunkt P'. Sein Radius ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks PAP'MA, dessen andere Kathete

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gleich dem Tafelabstand PP' ist und dem Winkel b gegenüberliegt.

Die Spur der gesuchten Seite A ist also die von S an unseren Kreis gelegte Tangente b. Die Tangente bx liefert in unserer Zeichnung ein Dreikant mit dem Winkel 2R a, dagegen liefert die Verlängerung von 6j über S hinaus, nämlich b2, mit a und c ein Dreikant, welches die gegebenen drei Stücke B, a, b besitzt. Es kann, ganz wie in der vorhergehenden Nummer, zwei oder keine oder eine Lösung geben, je nachdem S außerhalb, innerhalb oder auf dem Kreise um P' liegt. Mit b ist Seite ab = V gefunden, während sich die wahre Größe von A durch Niederlegen in die Tafel ergiebt. {MP° = MAPA. Kontrolle: SP0 = SP0.).

119. Konstruktion des Dreikants aus seinen drei Winkeln a, b, c. 1. Lösung (Fig. 94). Wir legen eine Seite, etwa A, in die Grundrißebene, und wählen die Aufrißebene senkrecht zur Kante c, so daß die Ebene der Seite B die Kante c zur ersten, die Gerade, die mit der x- Achse den Winkel c einschließt, zur zweiten Spur hat. Die gesuchte Seite V muß dann mit den Ebenen A resp. B die Winkel b resp. a einschließen, und kann noch durch einen beliebigen Punkt, etwa den Punkt P in TT2, gelegt werden. Da V mit A den Winkel b bildet, so muß sie den Kegel berühren, der durch Kotation von PQ um die Achse PP' entsteht (i_ PQP' = b). Ganz ebenso muß r den Kegel berühren, der durch Rotation von PR um die Achse PF entsteht (Z_ PRF = a, PF J_ CF). Es sind also die gemeinsamen Tangentialebenen der beiden Kegel mit den Achsen PF und PF zu bestimmen und wir verfahren dabei wie in 100.

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Wir denken uns nämlich aus P' und F auf die gesuchte Tangentialebene die beiden Lote gefällt. Die Verbindungslinie ihrer Fußpunkte ist eine gemeinsame Tangente t beider Kegel, ihr Schnittpunkt H mit P'F ist ihr zweiter Spurpunkt und folglich PH die zweite Spurlinie der gesuchten Seite V. Um H wirklich zu konstruieren, suchen wir die um P'F niedergelegte Tangente t0, deren Abstände von P' und F gleich sind den Abständen dieser Punkte von den Geraden PQ und PR respektive. Die Kante b, d. h. die erste Spur der Seite f", findet man nun als Tangente aus B an den ersten Spurkreis des Kegels, der durch Rotation von PQ um die Achse PP' gebildet wurde; die Kante a = SA legt man noch um c resp. b nieder und erhält so die wahre Größe der Seiten B und T.

120. 2. Lösung (Fig. 95). Man zeichne zunächst'ein Dreikant mit den drei Seiten: Ax = 2 R a, = 2 R b, Vx = 2 R c, indem man ganz wie in 113 zu Werke geht. Dann wähle man auf den Kanten aj, bv cx desselben die Punkte L, M, N respektive, und errichte in ihnen Ebenen senkrecht zu den bezüglichen Kanten. Bei geeigneter Wahl von L, M, N liegt der Schnittpunkt S dieser

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Ebenen im Innern des Dreikantes ax bx cx; die Ebenen schneiden sich dann in den Kanten des Polardreikantes mit dem Scheitel S, das die vorgeschriebenen Winkel a, b, c besitzt. In der Figur ist die Spur AB der in N auf cx normalen Ebene wie früher bestimmt. Die Spuren der in L auf ax, und in M auf bx normalen Ebenen sind LK und MK\ sie schneiden aus den Seiten Qx resp. Vx die Geraden LH resp. MJ aus, die in den umgelegten Seiten zu LH0 und MJ° werden. Das gesuchte Dreikant hat den Scheitel S und die Kanten SJ, SH, SK, die auf den Seiten Ai, Bj, Vx respektive senkrecht stehen. Die Seitenflächen unseres Dreikantes sind HSJN, JSÄM und KSHL, deren wahre Größe wir durch Umlegen in die Zeichenebene finden. So erhält man KSAJAM., indem man SAK und JAJ' J_ KM zieht, JAM = J°M macht und SAJA durch den Spurpunkt von JS, d. h. durch AB x J'tf zieht; ganz ebenso findet man KSAHAL [L MJASA = R, i_ LHASA = R, £SA = XSA). Von dem

Vierecke SJNH kennt man die wahre Länge aller Seiten und die Winkel l_ SJN = R und Z_ SHN = R und kann also die wahre Größe SAJANAHA zeichnen (/AiVA = J°N°, HANA = H0W0, HASA = HASA). Damit ist dann a = i_ HASAK, b = i_ JASAK und c = Z_ JASAffA gefunden.

121. Wird ein Dreikant von einer koncentrischen Kugelääche geschnitten, so entsteht ein sphärisches Dreieck. Seine Ecken liegen auf den Kanten a, b, c. Seine Seiten (als Bogen größter Kreise auf der Kugel durch ihre Centriwinkel bestimmt)

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Fig. 96.

entsprechen den Seiten A, B, T des Dreikants und seine Winkel stimmen mit den Winkeln a, b, c desselben resp. überein.

Die gegebenen Dreikantskonstruktionen bilden daher das Äquivalent für die Berechnungen der sphärischen Trigonometrie und aus unseren Figuren müssen sich die Formeln der letzteren ablesen lassen.

In Fig. 96, die auf dieselbe Art wie Fig. 88 in 113 entsteht, ziehe man MQ ± a und die Verlängerung von PAP' bis R auf MQ. Ferner wähle man der Einfachheit halber den Kugelradius als Längeneinheit und setze dementsprechend: £P0 = SP0 = 1. Dann ist MP° = sin A, LP0 = sin B und P'PA = sin A sin P'PA = sin B. sin a. Die sofort erkennbare Gleichheit der beiden letzten Strecken giebt: sin A sin b = sin B sin a, oder allgemein die Formel: a) sin A: sin B : sin T = sin a: sin b : sin c.

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