Abbildungen der Seite
PDF

bestimmt, wo a die Größe der Verschiebung der Punkte von Ex bezeichnet. Geht nämlich (Fig. 2) Ax, das Bild eines beliebigen Punktes A, bei der im Raume vollführten Parallelverschiebung von Ej in A2 über, so schneidet die Gerade A2A die durch O gezogene Parallele zu AxA2 in einem Punkte O', welcher durch die obigen Angaben bestimmt ist; dies gilt für jedes Paar entsprechender Punkte. — Insbesondere bleibt der Charakter unserer Abbildung erhalten, wenn Ex durch eine geeignete Parallelverschiebung mit E selbst zur Deckung gebracht wird. Diese Operation, bei der ein bestimmter Punkt von Ex in einen beliebigen Punkt von E verschoben werden kann, liefert ähnliche und ähnlich liegende Gebilde in einer Ebene. In die Ebene E fällt auch das Centrum O' und die projizierenden Strahlen. Die drei oben genannten Eigenschaften bleiben für die so erhaltene ähnliche Beziehung in der Ebene unverändert bestehen. Sie ist eindeutig bestimmt durch Angabe des Centrums und zweier einander entsprechender Punkte, oder durch ein Paar paralleler entsprechender Strecken.

3. Der vorige Satz ist ein Spezialfall des folgenden: Sind im Raume zwei Figuren zu einer dritten ähnlich und ähnlich gelegen, so sind sie es auch zu einander. Das neue Ähnlichkeitscentrum liegt mit den beiden gegebenen in gerader Linie. Sind nämlich A, B und Ax, Bx (Fig. 3) entsprechende Punkte zweier ähnlicher und ähnlich gelegener Figuren, sowie O das zugehörige Ahnlichkeitscentrum, gilt ferner dasselbe von A, B, A2, B2 und O', so liegen AxA2 und BiB2 in einer Ebene, weil AxBx\\AB\\A2B2 ist. Weiter liegt der Strahl AxA2 in der Ebene AOO' und schneidet OO' in einem Punkte O". In demselben Punkte wird OO' von BxB2 ge

[graphic]

Fig. 3.

schnitten; denn BxB2 und OO' müssen sich in einem Punkte schneiden, da sie in einer Ebene liegen; das muß aber der Schnittpunkt von O0' mit der Ebene AxBxA2B2, also O" sein. O" ist das neue Ähnlichkeitscentrum. Der Satz gilt auch für Figuren in einerlei Ebene.

4. Von den Folgerungen, die man unmittelbar aus diesen Betrachtungen ziehen kann, mag als beachtenswert diese hervorgehoben

werden, daß jede zu einem Kreise ähnliche Figur wiederum ein Kreis ist, und daß je zwei Kreise einer Ebene in doppelter Weise als in ähnlicher Lage befindlich angesehen werden können. Da nämlich die Mittelpunkte M und Mx einander entsprechen (Fig. 4) und entsprechende Radien parallel und gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind, so ergeben sich auf MMx zwei Ahnlichkeitscentren O und O' (ein äußeres und ein inneres), für welche die Verhältnisgleichung OM: OMx = r: rx = O'M: O'Mx besteht. Die Verbindungslinien der Endpunkte von parallelen, gleichgerichteten Radien gehen durch O, von entgegengesetzt gerichteten Radien aber durch O'. Durch O und O' gehen auch die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise, deren es im allgemeinen vier giebt.

Parallelprojektion einer ebenen Figur auf eine andere Ebene.

5. Die zu projizierenden Gebilde seien in der Ebene E gelegen; als Bildebene nehmen wir irgend eine zweite Ebene Ex an. Werden durch die Punkte und Geraden einer in der Ebene E befindlichen Figur in einer festgewählten Richtung projizierende Strahlen resp. Ebenen gezogen und mit Ex geschnitten, so entsteht eine zweite Figur, die mit ihren Punkten und Geraden der vorgelegten eindeutig zugeordnet ist. Das Dreieck AxBxCx in Ex geht z. B. auf diese Weise aus dem Dreieck ABC in E hervor (Fig. 5). Das benutzte Verfahren wird im allgemeinen als schiefe, im besonderen, wenn die Projektionsrichtung zur Bildebene Ej senkrecht steht, als orthogonale Parallelprojektion bezeichnet. Die geometrische Abhängigkeit zwischen den entsprechenden Figuren heißt Affinität bei affiner Lage; die projizierenden Strahlen werden Affinitätsstrahlen, ihre Richtung Affinitätsrichtung, die Schnittlinie a = E x Ej wird Affinitätsachse genannt.

[graphic]

6. Aus der Definition ergeben sich die Eigenschaften affiner und affin gelegener ebener Figuren.

a) Jeder Punkt
der Affini-
tätsachse a
entsprichtsich
selbst; ent-
sprechende
Gerade g und
gi schneiden Fig. 5.

sich auf a, und

insbesondere ist gx\\a, wenn g\\a angenommen wird.

ß) Parallelen Geraden g und h entsprechen parallele Gerade <jx und Ar

y) Einem Winkel y entspricht im allgemeinen ein von ihm verschiedener Winkel cpv Es existiert aber an je zwei affinen Punkten P und Px ein Paar entsprechender rechtwinkliger Strahlen.

S) Das Verhältnis je zweier Strecken auf der nämlichen oder auf parallelen Geraden ist dem ihrer Bilder gleich.

Die unter y) angeführten entsprechenden rechten Winkel erkennt man aus folgender Konstruktion. Man lege durch die Mitte der Strecke PPx eine zu ihr rechtwinklige Ebene A und um deren Achsenschnittpunkt M= a x A eine Kugelfiäche, welche P und also auch Px enthält. Schneidet diese die Achse a in X und Y, so sind l_ XPY und l_ XPj Y einander entsprechende und, weil sie über dem Kugeldurchmesser stehen, zugleich rechte Winkel.

Liegen die in S) erwähnten Strecken auf der nämlichen Geraden g, also ihre Bilder auf der affinen Geraden gv so werden die gegebenen und ihre Bildstrecken auf den Schenkeln des i_ gg^ durch Parallelen ausgeschnitten, woraus der eine Teil des Satzes unmittelbar folgt. Der allgemeinere Fall zweier paralleler Strecken AB und CB wird auf den vorigen zurückgeführt, in dem man (Fig. 6) AB um die Strecke BE = CD verlängert. Dem Parallelogramm BCBE entspricht nach ß) ein affines Parallelogramm BxCxBxEv wo BxEx = CxBx die Verlängerung von AxBx bildet.

[graphic]

7. Umgekehrt sind zwei ebene Figuren affin und affin gelegen, wenn ihre Punkte und Geraden einander so entsprechen, daß die unter a), ß) und S) aufgeführten Eigenschaften erfüllt sind. Aus «) und ß) folgt 8), ebenso kann man aus «) und d) die Eigenschaft ß) folgern. Denn sind A, B, C, (siehe Fig. 5) irgend drei Punkte der einen, Av Bv Cx die entsprechenden Punkte der andern Figur, so schneiden nach a) die Geraden BC, CA, AB ihre Bilder in Punkten P, Q, R der Schnittlinie a = ABC x A1BxCv Da ferner nach S):RA:AB = RAx: AxBx sein soll, so ist AAx|| BBv u. s. f.

[ocr errors][graphic][merged small]

8. Es seien g, gj und g2 drei Figuren, deren Ebenen E, Ex und E2 sich in einer Geraden a schneiden; ferner gehe g2 aus g und gj aus g2 durch eine Parallelprojektion hervor. Dann ist auch gj eine Parallelprojektion von g, d. h. es besteht der Satz: Sind iu Bezug auf eine und dieselbe Achse zwei ebene Figuren zu einer dritten affin und affin gelegen, so sind sie es auch zu einander. Es genügt den Satz für irgend zwei Punkte und ihre beiderlei Bilder zu führen. Den Punkten A, B in g mögen Av B2 in g2 und diesen Ax, Bx in gj entsprechen (Fig. 7). Die Geraden AB, AxBv A2B2 schneiden sich in einem Punkte R auf a. Da aber zugleich AA2\\BB2 und AxA2\\BxB2 ist, so sind die Dreiecke AAxA2 und BBxB2 ähnlich und ähnlich gelegen (aus dem Ähnlichkeitscentrum B), folglich ist AAx \\ BBv u. 8. f.

9. Wenn man die bisherigen Annahmen spezialisiert, indem man die Ebene Ej als mit E zusammenfallend betrachtet, so gelangt man zu einer indirekten Definition affiner und affin gelegener Figuren % und %x in einer Ebene, nämlich durch Vermittelung zweier nacheinander angewandter beliebiger Parallelprojektionen, welche zuerst g in g2 und dann g2 in gj überführen. In der Folge wird die direkte Abhängigkeit zwischen g und gx ohne Zuhilfenahme räumlicher Konstruktion untersucht. Der obige Satz läßt aber bereits erkennen, daß die Bedeutung der Affinitätsachse a als der Linie sich selbst entsprechender Punkte erhalten bleibt, sowie daß die Strahlen AAv BBv u. s. w., die jetzt gleichfalls der Ebene E angehören, parallel sind; dagegen kann das Bild eines Punktes nicht mehr als Spur seines projizierenden Strahles in der Bildebene erklärt werden. Die Parallelprojektion in der Ebene bedarf also besonderer Erklärung, da die im Raume anwendbaren Operationen beim Übergang zu Gebilden einer Ebene aufhören einen bestimmten Sinn zu haben.

10. Wird eine ebene Figur um eine in ihrer Ebene enthaltene Achse gedreht, so beschreiben die Punkte der Figur Kreisbögen, deren Sehnen parallel sind. Mithin folgt aus obigem Satze als Korollar: Zwei affine und affingelegene ebene Figuren bleiben in affiner Lage, wenn eine von ihnen um die Affinitätsachse beliebig gedreht wird. Insbesondere kann hiernach für die betrachteten Figuren auf doppelte Art die affine Lage in einer Ebene herbeigeführt werden, indem man die Bildebene durch Drehung nach der einen oder der anderen Seite mit der Originalebene zur Deckung bringt. Dreht man umgekehrt von zwei in einer Ebene affingelegenen Figuren die eine beliebig um die Achse aus der Ebene heraus, so wird sie in der neuen Lage eine Parallelprojektion der anderen darstellen.

Affine und affingelegene Figuren einer Ebene.

11. Zufolge der im vorigen Abschnitt enthaltenen indirekten Definition müssen zwei Figuren g und %x derselben Ebene, wenn zwischen ihnen Affinität bei affiner Lage bestehen soll, folgende Eigenschaften aufweisen:

a) JederPunkt der Affinitätsachse entspricht sich selbst. ß) Den Punkten einer Geraden entsprechen wieder

Punkte einer Geraden. y) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind

parallel.

« ZurückWeiter »