Δ = = von P▲ auf PM, so erhält man P' und damit b'. Dreht man die Seite ba um die Kante a, so beschreibt die Projektion von P eine Senkrechte zu a und es gelangt P nach Po, wobei SP SPO ist. Auch kann man LP0 LPA aus dem rechtwinkligen Dreieck PAP'L, dessen Katheten PAP' = PP' und P'L man kennt, bestimmen. Hiermit ist und a= PALP' gefunden; der dritte Winkel des Dreikants bestimmt sich wie vorher. = 115. Konstruktion des Dreikants aus einer Seite A und den beiden anliegenden Winkeln b und c. Die Seite A lege man in die Zeichenebene und durch ihre Kanten b resp. c lege man Ebenen, die mit ihr den Winkel b resp. c einschließen; die Schnittlinie dieser Ebenen ist die gesuchte Kante a. Um a zu konstruieren, ziehe man in den Ebenen ab = [ und ac = B Hauptlinien, die in einer Parallelebene zur Zeichenebene liegen. In = Fig. 90. Fig. 90 sind Q'P' und R'P' die Projektionen solcher Hauptlinien, wenn QQ RAR' ist. Denn offenbar ist R' die Projektion eines Punktes R der Ebene ac = B, dessen Abstand von der Tafelebene gleich RR ist; analoges gilt für Q. Der Schnittpunkt P unserer Hauptlinien ergiebt die Kante a = SP. Durch Umlegen der Seiten ac und ab in die Zeichenebene erhält man B und in wahrer Größe. Die entsprechende Konstruktion ist nach den bereits behandelten Aufgaben 113 und 114 leicht zu verstehen. 116. Konstruktion des Dreikants aus zwei Seiten A, B und dem der Seite A gegenüberliegenden Winkel a. 1. Lösung (Fig. 91). Wir breiten die beiden Seiten A und B nebeneinander in die Zeichenebene aus, die wir mit der gesuchten Seite zusammenfallen lassen. Nun drehen wir die Seite B um die Kante a, bis sie mit der Tafelebene den Winkel a einschließt. Indem wir dabei genau wie in 113 vorgehen, gewinnen wir P' und damit c' und erkennen, daß P den Tafelabstand PP' PP' besitzt. Das von P auf die gesuchte Kante b gefällte Lot PM hat die Länge P.Moo, woraus sich das Lot P'M als Kathete eines Dreiecks mit der Hypotenuse PMA PM und der Kathete PAP' ergiebt. Man braucht also nur um P' einen Kreis mit dem Radius P'M zu ziehen, die gesuchte Kante b muß dann diesen Kreis berühren. = 0 = = Damit ist ab und b = L PAMP gefunden. Zur Kontrolle dient: SM = SMOO 00 Ist, wie im vorliegenden Beispiel, A < B, folglich P.Moo< PL und PM<PAL, so schneidet der Kreis um P' die Kante a nicht und es giebt zwei ganz verschiedene Dreikante (abc und ab,c), oder gar keines, wenn PoMoo<PAP' ist. Ist dagegen A > B, so schneidet der Kreis um P' die Kante a und es giebt immer ein Dreikant, so lange A <B +г. 00 117. 2. Lösung (Fig. 92). Wir lassen jetzt die Seite B mit der Zeichenebene zusammenfallen. Durch die Kante a legen wir eine Ebene mit dem Neigungswinkel a und um die Kante c als Achse einen Rotationskegel, indem wir die Seite A um ihre Kante c sich drehen lassen. Die gesuchte Kante b muß dann gleichzeitig auf jener Ebene und diesem Kegel liegen. Um die Schnittlinie der Ebene und des Kegels zu finden, benutzen wir eine zu e senkrechte Hilfsebene, die wir um ihre Spur in die Zeichenebene niederlegen. Unser Kegel weist in der niedergelegten Hilfsebene als Spur den Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius LB auf und unsere Ebene die Spur AP". Denn ein Punkt P von г, dessen Projektion P' L ist, hat den Tafelabstand P"P' = PP', wo PP' Kathete des rechtwinkligen Dreiecks PP'M ist. Eine in M zu a senkrechte Ebene schneidet nämlich in der Geraden PM, deren Umlegung in die Tafel offenbar MP ist und mit MP' den Winkel a = einschließt. = Fig. 92. Spurkreis und Spurlinie AP" schneiden sich in B", dem Spurpunkt der gesuchten Kante b in der Hilfsebene, woraus sich sofort b' ergiebt. B"LA = c und die wahre Größe der Seite ab erhält man durch Umlegen derselben um die Kante a. In der Figur ist zu diesem Zwecke zunächst P nach Po umgelegt, hierdurch AP0 und auf dieser Geraden Bo bestimmt. Zur Kontrolle dient die Gleichheit von SB und SBo. Eine zweite Lösung liefert der Punkt B1", doch ist die weitere Durchführung derselben unterlassen, um die Figur nicht zu sehr zu komplizieren. 118. Konstruktion des Dreikants aus einer Seite B, einem anliegenden Winkel a und dem gegenüberliegenden Winkel b (Fig. 93). Lassen wir die Zeichenebene mit der gesuchten Seite zusammenfallen und denken wir uns B in dieselbe niedergelegt. Als gleich dem Tafelabstand PP' ist und dem Winkel b gegenüberliegt. с Die Spur der gesuchten Seite A ist also die von S an unseren Kreis gelegte Tangente b. Die Tangente b, liefert in unserer Zeichnung ein Dreikant mit dem Winkel 2 R-a, dagegen liefert die Verlängerung von b1 über S hinaus, nämlich b2, mit a und ein Dreikant, welches die gegebenen drei Stücke B, a, b besitzt. Es kann, ganz wie in der vorhergehenden Nummer, zwei oder keine oder eine Lösung geben, je nachdem S außerhalb, innerhalb oder auf dem Kreise um P' liegt. Mit b ist Seite ab gefunden, r während sich die wahre Größe von A durch Niederlegen in die Tafel ergiebt. (MPo = MP ̧· Kontrolle: SP, SPo.). = = 119. Konstruktion des Dreikants aus seinen drei Win keln a, b, c. 1. Lösung (Fig. 94). Wir legen eine Seite, etwa A, in die Grundrißebene, und wählen die Aufrißebene senkrecht zur Kante c, so daß die Ebene der Seite B die Kante c zur ersten, die Gerade, die mit der x-Achse den Winkel c einschließt, zur zweiten Spur hat. Die gesuchte Seite г muß dann mit den Ebenen A resp. B die Winkel b resp. a einschließen, und kann noch durch einen be = liebigen Punkt, etwa den Punkt P in П2, gelegt werden. Da ■ mit A den Winkel b bildet, so muß sie den Kegel berühren, der durch Rotation von PQ um die Achse PP' entsteht (PQP' - b). Ganz ebenso muß den Kegel berühren, der durch Rotation von PR um die Achse PF entsteht (PRF = a, PF | CF). Es sind also die gemeinsamen Tangentialebenen der beiden Kegel mit den Achsen PP' und PF zu bestimmen und wir verfahren dabei wie in 100. На Wir denken uns nämlich aus P' und Fauf die gesuchte Tangentialebene die beiden Lote gefällt. Die Verbindungslinie ihrer Fußpunkte ist eine gemeinsame Tangente t beider Kegel, ihr Schnittpunkt H mit P'F ist ihr zweiter Spurpunkt und folglich PH die zweite Spurlinie der gesuchten Seite г. Um H wirklich zu konstruieren, suchen wir die um P'F niedergelegte Tangente to, deren Abstände von P' und F gleich sind den Abständen dieser Punkte von den Geraden PQ und PR respektive. Die Kante b, d. h. die erste Spur der Seite г, findet man nun als Tangente aus B an den ersten Spurkreis des Kegels, der durch Rotation von PQ um die Achse PP' gebildet wurde; die Kante a = = SA legt man noch |