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Dreiecke M1B1 (mit den Katheten a und b) und MB。 (mit den Katheten r) in eine solche affine Lage zu bringen, daß M und M1 sich decken (Fig. 86a). Dazu ist nur nötig, daß ВB1 || 464, wird, die Affinitätsachse verbindet dann Л mit dem Punkt В ̧× B ̧. Lassen wir also ▲ MBB1 eine Drehung von 90o um M1 ausführen, so gelangt B, nach A, und B1 nach B' auf M14,1, zugleich ist B'A4, = R. Das liefert folgende Konstruktion. Man trage MB = MB an M4, an, beschreibe über B'A, einen Halbkreis und schlage um M, mit dem Radius r einen Kreis. Beide Kreise schneiden sich in dem gesuchten Punkt 4, während M, B = r senkrecht zu M1。 zu ziehen ist. Nun zeichne man noch die Affinitätsachse СD1 ein, die M1 mit АВ× ÂВ1 verbindet. Wie aber in Figur 86a MB, und MB, mit MC, die Winkel 9, resp. 41 einschließen, so müssen in Figur 86b MB, und M1B1 mit e1 die nämlichen Winkel Фо und 91 bilden. Man ziehe also MX unter dem Winkel gegen e, und MY senkrecht dazu, ziehe ferner M1X unter dem Winkel 1 gegen e1 und M1Y dazu senkrecht; so erhält man den Mittelpunkt M1 der gesuchten Ellipse und auf MX und MY ihre Scheitel 4, und B1 (MM1 || 4,41 || BB1). Damit ist unsere Aufgabe gelöst. Wird der Kreis ko in seine ursprüngliche Lage aufgedreht, so bleibt er durch Parallelprojektion auf die Ellipse bezogen.

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DRITTES KAPITEL.

Ebenflächige Gebilde, Körper.

Die körperliche Ecke; das Dreikant.

110. An einem ebenflächigen Gebilde) unterscheidet man Seitenflächen, Kanten und Ecken. Die Kanten sind in zweifacher Weise angeordnet; einerseits bilden sie ebene Vielecke, andererseits körperliche Ecken.

-Kant

Eine körperliche n-kantige Ecke oder kürzer ein nwird gebildet von n Strahlen und n Ebenen, die von einem Punkte ausgehen. Dieser Punkt heißt der Scheitel, jene Strahlen die Kanten und die zwischen ihnen liegenden Winkel die Seiten (Seitenflächen) der körperlichen Ecke. Jede Seite wird von zwei

Kanten begrenzt und kann daher auch als Kantenwinkel bezeichnet werden, in jeder Kante stoßen zwei Seiten aneinander und bilden die Flächenwinkel oder kurz die Winkel des n-Kants.

Zwei n-Kante, welche alle Seiten und alle Winkel entsprechend gleich haben, sind entweder kongruent oder symmetrisch. Dies erkennt man unmittelbar, wenn man die beiden n-Kante in eine solche gegenseitige Lage bringt, daß zwei aufeinanderfolgende Kanten des einen mit den entsprechenden des anderen zusammenfallen, wobei dann beide n-Kante sich entweder ganz decken oder sich in symmetrischer Lage in Bezug auf die gemeinsame Seitenfläche als Symmetrieebene befinden. Verlängert man die Kanten eines n-Kants über den Scheitel hinaus, so erhält man ein neues n-Kant, dessen Seiten die Scheitelwinkel der Seiten des ersteren sind; beide n-Kante sind symmetrisch.

111. Ein n-Kant, bei dem jeder Flächenwinkel < 2 R ist, heißt konkav. Bei einem konkaven n-Kant ist die Summe der Seiten 4 R, vorausgesetzt, daß sich die Seitenflächen nicht durchkreuzen. Schneidet man nämlich das n-Kant mit einer Ebene, die alle Kanten trifft, so entsteht ein Körper, den man als n-seitige Pyramide bezeichnet; derselbe wird begrenzt von einem n-Eck, der Basisfläche, und n Dreiecken, den Seitenflächen (vergl. Fig. 87). Nennt man die Ecken der Basisfläche 1, 2,.... n und die nach ihnen laufenden Kanten k1, ką, ....... kņ so kann man die Kantenwinkel durch Lk kq, L kg kg.... kk, die Flächenwinkel durch k1, L ką ‚.......... Lk bezeichnen. Bedenkt man, daß die Winkelsumme in jedem der n Seitendreiecke 2 R beträgt, so folgt:

n

...

n

Z k2 kq + L kg kg + ... + 4k k2 = 2n R
-LS12-4 $21-$23 -

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$32

Nun ist der Punkt 2 Scheitel eines Drei

kants mit den Kanten 2 1, 23, 2 S, und

Fig. 87.

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da in jedem Dreikant die Summe zweier Seiten größer als die dritte ist, hat man:

LS21+2 S23 > 123.

Indem man die analogen Resultate für die Ecken 3, 4, ..., n, 1 benutzt, geht die frühere Gleichung in die Ungleichung über:

< kg kg + 2 kg kg +....+kk, < 2 n R▲ 123234....

oder, da die Winkelsumme im n-Eck (2n — 4) R beträgt, in:

< k2 kq + L kykg + ... + L k2 k2 < 4 R.

Fällt man von einem Punkt im Innern eines n-Kants der Reihc nach Lote auf seine Seitenflächen, so bestimmen die aufeinanderfolgenden Lote die Seitenflächen eines neuen n-Kants, des Polarn-kants. Daraus folgt sofort, daß auch die Kanten des ursprünglichen n-Kants auf den bezüglichen Seitenflächen seines Polar-n-kants senkrecht stehen; und es ist weiter ersichtlich, daß die Kantenwinkel eines jeden von ihnen die Supplemente der entsprechenden Flächenwinkel des anderen sind. Dabei sind solche Kanten und Seiten als entsprechend aufgefaßt, die aufeinander senkrecht stehen.

Die Summe der Winkel (Flächenwinkel) eines konkaven n-Kants ist > (2n - 4) R. Denn für das zugehörige Polar-n-kant, das ebenfalls konkav ist, ist nach dem vorangehenden Satze die Summe der Seiten < 4 R, also die Summe der zugehörigen Supplementwinkel > (2n−4) R; diese sind aber jenen Flächenwinkeln gleich.

112. Wie in der Ebene die Konstruktion der n-Ecke auf die der Dreiecke zurückgeführt wird, so wird im Raume die Konstruktion der n-Kante auf die der Dreikante reduziert. Wir werden uns deshalb weiterhin ausführlicher mit den Dreikanten zu beschäftigen haben. In einem Dreikant sind alle Winkel und alle Seiten 2 R. Seine Kanten sollen durchweg mit a, b, c, die gegenüberliegenden Seiten mit A, B, bezeichnet werden, so daß A = bc, B = =ca, ab und a= B x г, b =гx A, c = A X B ist.

A, B, bedeuten dann zugleich die Kantenwinkel, und a, b, c die Flächenwinkel des Dreikants. Nach den vorausgeschickten Untersuchungen haben wir die Ungleichungen:

0 <A+B+г< 4 R

und 2 Ra+b+c <6 R.

Hierzu kommen noch die Ungleichungen:

A+ Bг, B+г> A, г+A > B,

welche besagen, daß die Summe zweier Seiten größer als die dritte ist. Es ist hier nicht nötig, diese letzteren Ungleichungen zu beweisen, da sie bei der folgenden Konstruktion des Dreikants aus seinen drei Seiten sofort als richtig erkannt werden. Mit Hilfe des Polardreikants folgern wir aus den letzten Ungleichungen noch die weiteren:

a + b < 2R + c, b + c < 2 R + a, c + a < 2 R + b.

Von den sechs Bestimmungsstücken (drei Seiten und drei Winkeln) eines Dreikants genügt es irgend drei zu kennen, um

das zugehörige Dreikant konstruktiv zu bestimmen. Soll die Konstruktion nicht unmöglich werden, so dürfen die gegebenen Stücke den angeführten Ungleichungen nicht widersprechen. Es ergeben sich nun die folgenden 6 Aufgaben:

Ein Dreikant zu konstruieren

1. aus: A, B,гseinen drei Seiten,

2. aus: A, B, c zwei Seiten und dem eingeschlossenen

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Winkel,

zwei Seiten und dem einer von ihnen gegenüberliegenden Winkel,

einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln,

einer Seite, einem anliegenden und einem gegenüberliegenden Winkel,

seinen drei Winkeln.

Diese Aufgaben lassen sich unter Benutzung des Polardreikants paarweise aufeinander zurückführen. Die Aufgaben 3. und 5. lassen, wie wir später sehen werden, eventuell zwei Lösungen zu, alle anderen jedoch stets nur eine Lösung, abgesehen davon, daß es zu jeder Lösung eine symmetrische giebt.

113. Konstruktion des Dreikants aus seinen drei Seiten A, B, г. Wir denken uns das Dreikant mit der Seitenfläche in der Zeichenebene liegend, trennen es längs der Kante c auf und legen die Seiten Abe und B = ac um die bezüglichen Kanten b und a in die Zeichen

ebene nieder, so daß die gegebenen Seiten am Scheitel S nebeneinander zu liegen kommen (vergl. Fig. 88). Gehen wir von dieser Lage aus, so gewinnen wir das Dreikant, indem wir die Seiten A und B um die Kanten b und a zurückdrehen, bis die Kanten co und co in c со zusammenfallen. Dann

fällt auch P mit Po

S

Fig. 88.

-C

=

in P zusammen, wenn wir SP, SP0 wählen. Bei dieser Drehung beschreibt P einen Kreisbogen um a als Achse, d. h. die Projektion

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=

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dieses Punktes bewegt sich auf einer Senkrechten zu a; ebenso bewegt sich bei der Drehung von P0 um b seine Projektion auf einer Senkrechten zu b. Der Schnittpunkt P' dieser Senkrechten ist die Projektion des Raumpunktes P, also c' SP' die Projektion der Kante c. Legt man die Ebenen jener Kreisbogen PP und PoP in die Zeichenebene um, so erhält man die Kreisbogen PP und PP▲, wobei PPP'P。 und P'P▲ P'P0 ist. Zugleich giebt P'P =P'P^=P'P die Höhe des Punktes P über der Zeichenebene an, und ferner ist: P'MPA = b und P'LP = La. Um noch C zu erhalten, errichte man in P auf der Kante c eine senkrechte Ebene, die die Kanten a und bin A und B schneidet, dann ist LAPB = L c. Hiernach stehen PA und PB auf e senkrecht, also ist PoB co und PA co, und AB c' als Spur einer zu c senkrechten Ebene. Legt man das Dreieck APB um seine Seite AB in die Zeichenebene um, so kommt P* - die umgelegte Ecke auf c ́ zu liegen und es ist P*A = P ̧A, P*B = PoB_und_▲ AP*B

= L C.

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Natürlich giebt es zwei Dreikante, die symmetrisch in Bezug auf die Zeichenebene liegen. Die ganze Aufgabe stimmt in ihrem Wesen mit der in 99 behandelten überein. Auch erkennt man leicht, daß es nur dann eine Lösung giebt, wenn A + B > ist, was zwei analoge Relationen nach sich zieht.

114. Konstruktion des Dreikants aus zwei Seiten A, B und dem eingeschlossenen Winkel c (Fig. 89).

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Man lege die Seiten nebeneinander in

die Zeichenebene und drehe dann die eine A um die Kante c, bis sie mit B den gegebenen Winkel c einschließt. Ein Punkt Po auf b beschreibt hierbei wieder einen Kreisbogen um C als Achse und seine

Projektion

0

eine

Senkrechte zu C.

Durch Umlegen des Kreisbogens in die Zeichenebene ergiebt sich

=

der Bogen PP, dessen Centriwinkel 2 Rc ist.

Lotet man

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