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108. Ein Dreieck, dessen zweite Projektion Ä"B"C" gegeben ist, soll so bestimmt werden, dass es einem gegebenen Dreieck A2B2C2 ähnlich wird. . Auch diese Aufgabe ist in derselben Weise wie die vorige unbestimmt, indem eine Parallelverschiebung des Dreiecks in der zu TT2 senkrechten Richtung ohne Belang ist. Wir denken uns zunächst, daß ein unserer Aufgabe genügendes Dreieck ABC gefunden und durch Umlegung um die zweite Spur e2 seiner Ebene in seiner wahren Gestalt als

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Xv Av Bv Jj und richtet es dabei so ein, daß AxBx = A"B" wird, so wird zugleich Xx Ax = X"A" und ßx Yx = B"Y". Jetzt kann man das Dreieck Xx Yx samt den Punkten Ax und B, auf seiner Hypotenuse so verschieben, daß die Pnnkte XxAxBxYx sich mit den Punkten X" A"B" Y" der Reihe nach decken. Dabei mag nach Cx gelangt sein.

Das Dreieck A" Cx B" läßt sich aber unmittelbar aus den Daten unserer Aufgabe zeichnen, indem es die Seite A"B" besitzt und dem Dreieck A2C2B2 ähnlich ist. Die Punkte X" und Y" findet man dann dadurch, daß i_ X"C"Y" = i_ X"CxY" = R ist; ein Kreis durch C" und Cv dessen Centrum auf A"B" liegt, schneidet sie aus. Nun ist X" C'Y" die Projektion eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten auf einer Haupt- und einer Falllinie liegen und dessen Umlegung zu AX"CxY" ähnlich ist. Dabei ist zu beachten, daß die Kathete X" C" dieser Falllinie angehört, wenn X" C"< X" Cx ist. Man bringe demnach das letztgenannte Dreieck in eine solche Lage J^CoZj, daß seine Kathete X^ auf der Verlängerung von X"C" liegt, wobei seine Kathete C°Zj zu C"Y' parallel wird. Jetzt trage man C°Y°= C"Y" auf C°Yx auf und ziehe Y^0^^, so ist Ax°c°y° die Umlegung und A X"C"Y" die Projektion eines rechtwinkligen Dreiecks XCY. Ist E die Ebene dieses Dreiecks, so ist ihre Spur e2 parallel zu C"Y" und geht durch den Punkt V= X°Y° x X"Y". Ist U=e2xC°C", so ist die Tafelneigung von E so zu bemessen, daß C"U die orthogonale Projektion von CU = C°U wird; bildet man also aus C°U und C"U als Hypotenuse und Kathete ein rechtwinkliges Dreieck, so schließen sie den Winkel der Tafelneigung ein. Bestimmt man noch Ax und Bx auf XxYx, indem man XxAx = X"A" und YxBx = Y"B" macht, und schneidet die Geraden C°Ax und C°Bx mit X°7° in und B°, so sind A0 und die Umlegungen der Punkte A und B, deren Aufrisse A" und B" sind. Denn nach der Konstruktion gilt die Relation: X"A":A"B":B"Y"=X°A°, A°B0:B0Y°, damit werden aber A"A° und B "B° zu e2 senkrecht, w. z. b. w. Somit ist die Umlegung A°B°C° des gesuchten Dreiecks gefunden; in der Figur ist dann noch eine ^-Achse angenommen und der Grundriß, sowie die Spur ex aus Aufriß und Umlegung konstruiert.

109. Die schiefe Parallelprojektion eines gegebenen Kreises vom Radius r auf eine Ebene T\x soll so bestimmt werden, daß sein Bild eine Ellipse von gegebenen Halbachsen a und b wird. Der Kreis k werde um die Spur ex seiner Ebene in TTj niedergelegt. Seine Umlegung A0 (Fig. 86 b) und sein Bild, die Ellipse kx, müssen sich in Bezug auf ej als Achse in affiner Lage befinden; mithin muß dem zu ex parallelen Kreisdurchmesser C0B0 ein ihm gleicher und paralleler Ellipsendurchmesser ClBx entsprechen. Damit aber eine Ellipse mit den Halbachsen a und b einen Durchmesser von der Länge 2r habe, muß a^r^b sein. Diese Bedingung entscheidet über die Lösbarkeit unseres Problems; ist sie erfüllt, so giebt es im allgemeinen zwei Ellipsendurchmesser der geforderten Art symmetrisch zu den Achsen.

Sind M^Ax und die Halbachsen der Ellipse kx und schneiden sie die Spur ex in X und Y, so entsprechen ihnen beim affinen Kreis k0 zwei rechtwinklige Halbmesser M0A0 und M0B0, welche die Spur ex ebenfalls in I und Y schneiden (vergl. 19). In dieser affinen Beziehung zwischen und k0 entspricht dem MxMxBx das &A0M0B0. Nun bleiben zwei Figuren %0 und in affiner Lage, wenn man die eine in der Richtung der Afrinitätsstrahlen gegen die andere verschiebt. Sind nämlich h0 und ftj zwei zur Affinitätsachse ex parallele, sich entsprechende Gerade, so sind je zwei auf ihnen liegende, entsprechende Strecken einander gleich. Führt man also die gemeinte Verschiebung von g0 aus, so daß h0 und Äj sich decken, so fallen auf je zwei entsprechende Punkte zusammen, d. h. diese Gerade bildet nach der Verschiebung die Affinitätsachse, während die Affinitätsrichtung ersichtlich die frühere bleibt. Insbesondere bleiben die Dreiecke AxMxBx und A0M0B0 in affiner Lage, wenn man das letztere um die Strecke M0Mx verschiebt; dann deckt sich C0B0 mit GxDx und diese Gerade wird für die neue Lage der Dreiecke zur Affinitätsachse.

Es gilt hiernach zwei der Größe nach bekannte rechtwinklige

Rohh u. Pappeeitz. I. 2. Aufl. 6

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Dreiecke AxMxBx (mit den Katheten a und b) und AnM0B0 (mit den Katheten r) in eine solche affine Lage zu bringen, daß M0 und ifj sich decken (Fig. 86a). Dazu ist nur nötig, daß B0Bx \\ A0Ax wird, die Affinitätsachse verbindet dann Mx mit dem Punkt A0B0 xA^Bv Lassen wir also A MxB0Bx eine Drehung von 90° um Mx ausführen, so gelangt B0 nach A0 und Bx nach B' auf MxAx, zugleich ist l_ B'A0Ax = R. Das liefert folgende Konstruktion. Man trage MiBx = MyB ' an MxAx an, beschreibe über B'Ax einen Halbkreis und schlage um Mx mit dem Radius r einen Kreis. Beide Kreise schneiden sich in dem gesuchten Punkt A0, während M1B0=r senkrecht zu MxA0 zu ziehen ist. Nun zeichne man noch die Affinitätsachse Cx1>x ein, die Mx mit A0B0 x AxBx verbindet. Wie aber in Figur 8öa MxB0 und MxBx mit MxCx die Winkel cp0 resp. <px einschließen, so müssen in Figur 86b M0B0 und MxBx mit ex die nämlichen Winkel cp0 und <px bilden. Man ziehe also M0X unter dem Winkel <p0 gegen ex und M0Y senkrecht dazu, ziehe ferner ü/jX unter dem Winkel cpx gegen ex und MxY dazu senkrecht; so erhält man den Mittelpunkt Mx der gesuchten Ellipse und auf MxX und MxY ihre Scheitel Ax und Bx (M0Mx \\ A0Ax || B0Bx). Damit ist unsere Aufgabe gelöst. — Wird der Kreis k0 in seine ursprüngliche Lage aufgedreht, so bleibt er durch Parallelprojektion auf die Ellipse bezogen.

DEITTES KAPITEL.

Ebenflächige Gebilde, Körper.

Die körperliche Ecke; das Dreikant.

110. An einem ebenflächigen Gebilde3) unterscheidet man Seitenflächen, Kanten und Ecken. Die Kanten sind in zweifacher Weise angeordnet; einerseits bilden sie ebene Vielecke, andererseits körperliche Ecken.

Eine körperliche n-kantige Ecke oder kürzer ein w-Kant wird gebildet von n Strahlen und n Ebenen, die von einem Punkte ausgehen. Dieser Punkt heißt der Scheitel, jene Strahlen die Kanten und die zwischen ihnen liegenden Winkel die Seiten (Seitenflächen) der körperlichen Ecke. Jede Seite wird von zwei Kanten begrenzt und kann daher auch als Kantenwinkel bezeichnet werden, in jeder Kante stoßen zwei Seiten aneinander und bilden die Flächenwinkel oder kurz die Winkel des K-Kants.

Zwei ra-Kante, welche alle Seiten und alle Winkel entsprechend gleich haben, sind entweder kongruent oder symmetrisch. Dies erkennt man unmittelbar, wenn man die beiden n-Kante in eine solche gegenseitige Lage bringt, daß zwei aufeinanderfolgende Kanten des einen mit den entsprechenden des anderen zusammenfallen, wobei dann beide w-Kante sich entweder ganz decken oder sich in symmetrischer Lage in Bezug auf die gemeinsame Seitenfläche als Symmetrieebene befinden. Verlängert man die Kanten eines n-Kants über den Scheitel hinaus, so erhält mau ein neues n-Kant, dessen Seiten die Scheitelwinkel der Seiten des ersteren sind; beide n-Kante sind symmetrisch.

111. Ein ra-Kant, bei dem jeder Flächenwinkel < 2 R ist, heißt konkav. Bei einem konkaven B-Kant ist die Summe der Seiten < AR, vorausgesetzt, daß sich die Seitenflächen nicht durchkreuzen. Schneidet man nämlich das w-Kant mit einer Ebene, die alle Kanten trifft, so entsteht ein Körper, den man als n-seitige Pyramide bezeichnet; derselbe wird begrenzt von einem «-Eck, der Basisüäche, und n Dreiecken, den Seitenflächen (vergl. Fig. 87). Nennt man die Ecken der

Basisfläche 1, 2, n und die nach

ihnen laufenden Kanten kx, h2, ... kn,
so kann man die Kantenwinkel durch
L AjA2, l_ k2k3 l_ knkv die Flächen-
winkel durch i_ kx, i_k2 , i_ kn be-
zeichnen. Bedenkt man, daß die Winkel-
summe in jedem der n Seitendreiecke
2R beträgt, so folgt:
L ä1ä2 + i_ k2ks +.... + i_ = 2nR
- ^512-L. Ä21 - Z_Ä23-z_532 ,

— ... — l_ Sn 1 — i_ S1 n. Nun ist der Punkt 2 Scheitel eines Dreikants mit den Kanten 21, 2 3, 2 S, und da in jedem Dreikant die Summe zweier Seiten größer als die dritte ist, hat man:

L S2 1 + i_ #23 > L_ 1 23. Indem man die analogen Resultate für die Ecken 3, 4, ..., n, 1 benutzt, geht die frühere Gleichung in die Ungleichung über: L V3 + i_ k2k3 + .... + AnÄj < 2n R - i_ 1 23 - L. 234 - ....

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