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und ʼn findet man, indem man zunächst in der um e̟ in den Grundriß niedergelegten Ebene E die gemeinsamen Tangenten an m。 und no zeichnet. Man suche M, A und B auf der umgelegten Falllinie, deren Verlängerung durch P' geht, und ebenso N, Co und D auf der umgelegten Falllinie, deren Verlängerung durch Q' geht. Dann kann man m und n und ihre gemeinsamen Tangenten, von denen go in der Figur eine ist, unmittelbar zeichnen. Daraus ergiebt sich g' als Verbindungslinie des Spurpunktes G1 = 90 X 1 mit dem zu J= g。 × h。 gehörigen Grundriß J und hieraus sofort g".

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106. Durch einen Punkt P die Geraden zu legen, die in Bezug auf zwei gegebene Gerade a und b die vorgeschriebenen kürzesten Abstände p und q besitzen. Alle Geraden, die in Bezug auf a den kürzesten Abstand p aufweisen, berühren nach 96 einen Rotationscylinder mit der Achse a, & dessen Normalschnitt ein Kreis vom Radius Р ist. Ganz ebenso müssen die gesuchten Geraden einen Rotationscylinder 2 mit der Achse berühren, dessen Normalschnitt ein Kreis vom Radius q ist. Man lege demgemäß durch P zwei Tangentialebenen, eine an den Cylinder und eine an den Cylinder 2; ihre gemeinsame Schnittlinie ist eine von den gesuchten Geraden. Es giebt offenbar vier Lösungen unserer Aufgabe, da man von P aus sowohl an als auch an L je zwei Tangentialebenen legen kann. Hieraus erkennt man auch, daß die Konstruktion nur dann, aber auch immer dann möglich ist, wenn die Abstände des Punktes P von den Geraden a und b größer als p und q respektive sind.

Die eigentliche Konstruktion gestaltet sich, wie folgt. Alle Tangentialebenen an den Cylinder sind zu seiner Achse a parallel; die beiden durch P gehenden Tangentialebenen enthalten demnach eine Gerade c, die durch P parallel zu a gezogen wird. Legt man ferner durch P eine Normalebene zu a, so schneidet diese a in einem Punkte M und in einem Kreise m mit dem Centrum M und dem Radius p. Jede der beiden aus P an m gezogenen Tangenten bestimmt mit c zusammen eine der gemeinten Tangentialebenen an . Legt man ebenso durch P eine Normalebene zu b, welche b in N und den Cylinder 2 in einem Kreise n schneidet, so gehören die aus P an den Kreis n gelegten Tangenten zwei Tangentialebenen des Cylinders 2 an, die außerdem eine Parallele d zu b durch P enthalten. Die Schnittlinien der letzteren und ersteren Tangentialebenen stellen die Lösungen unseres Problems dar.

Die Normalebene zu a bestimmt man durch zwei Hauptlinien g und hgx, h" ||x, g" 1 a", ha), die durch P gezogen sind, sucht ihren Schnittpunkt M mit a und dreht sie um g parallel zur Aufrißebene nach 85. Gelangt hierbei M nach M, so schlage man um diesen Punkt mit dem Radius Р den Kreis ΜΔ und lege aus P zwei Tangenten t und u an ihn; durch Zurückdrehen gewinnt man die Tangenten t und u. Man kann dazu die Affinität benutzen, für welche g" die Achse ist und M und M" ein Paar entsprechender Punkte sind; t" und u" stellen die zu t und u affinen Geraden dar. Ihre Grundrisse ergeben sich ebenfalls nach 85. In gleicher Weise konstruiere man v", w" und v', w' als die Projektionen der aus P an den Kreis n gelegten Tangenten. Zuletzt schneide man die Ebenen et und cu mit den Ebenen dv und dw, was die vier Lösungen liefert.

107. Ein Dreieck ABC, dessen erste Projektion gegeben ist, soll so bestimmt werden, daß seine zweite Projektion einem gegebenen Dreieck

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B11 ähnlich wird. Die Aufgabe läßt die Lage des Dreiecks ABC insofern unbestimmt, als eine Parallelverschiebung ben in der Richtung senkrecht zu П, belanglos ist. Man darf daher den ersten Tafelabstand eines Eckpunktes, etwa A, willkürlich fixieren, indem man A" auf der durch A' senkrecht zur Achse X gezogenen Geraden irgendwie

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wählt. Diese Gerade teile B'C' im Punkte D' (Fig. 84), die entsprechende Strecke B"C" im Punkte D"; dann muß B"D" : D"C" = B'D': D'C' sein. Entspricht ferner im Dreieck A,B,C, dem Punkte D' der Punkt D1, so hat man wegen der vorausgesetzten Ähnlichkeit: BD, DC1 = B"D" : D"C". Man teile daher die Seite B,C, durch den Punkt D, im Verhältnis B'D': D'C', zeichne sodann ABC1 in solcher Lage, daß 4, sich mit A′′ deckt, D1 auf d'A'' und die Punkte B' und B1 auf dieselbe Seite von AẨ′′ zu liegen kommen. Zuletzt schneide man die Geraden A′′B1 und A′′C1 mit den Vertikalen durch B' und C in B" und C", womit der Aufriß A"B"C" des gesuchten Dreiecks gefunden ist.

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2 2

108. Ein Dreieck, dessen zweite Projektion "B"C" gegeben ist, soll so bestimmt werden, dass es einem gegebenen Dreieck A, B, C2 ähnlich wird. Auch diese Aufgabe ist in derselben Weise wie die vorige unbestimmt, indem eine Parallelverschiebung des Dreiecks in der zu П, senkrechten Richtung ohne Belang ist. Wir denken uns zunächst, daß ein unserer Aufgabe genügendes Dreieck ABC gefunden und durch Umlegung um die zweite Spur e, seiner Ebene in seiner wahren Gestalt als

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▲ A B°C° dargestellt sei (Fig. 85). Dann kann man durch C eine Haupt- und eine Falllinie ziehen, welche die Dreiecksseite AB in zwei Punkten Y und X schneiden werden. Im Aufriß und in der Umlegung ergeben sich so zwei rechtwinklige Dreiecke X"C" Y" und X°Co Yo, deren Katheten C"Y" und Co Y gleich lang und parallel sind und deren Katheten X"C" und X°C0 auf der nämlichen Geraden liegen. Zugleich besteht die Relation: X°A°: AoBo: Bo Yo = X"A": "B": B"Y". Schneidet man also die Seiten CoXo, Coo, C° B, Co Yo mit einer Parallelen zu 4° B° bezüglich in den Punkten

= A"B" wird, B"Y". Jetzt kann man

X1, А1, В1, Y1 und richtet es dabei so ein, daß A B1 so wird zugleich X11 X"Ẩ′′ und B11

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das Dreieck X, COY, samt den Punkten 4, und B, auf seiner Hypotenuse so verschieben, daß die Punkte X1111 sich mit den Punkten X" A" B" Y" der Reihe nach decken. Dabei mag Co nach C1 gelangt sein.

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2

2

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Das Dreieck A" C1B" läßt sich aber unmittelbar aus den Daten unserer Aufgabe zeichnen, indem es die Seite A"B" besitzt und dem Dreieck A,C,B2 ähnlich ist. Die Punkte X" und Y′′ findet man dann dadurch, daß ▲ X"C"Y" = X"C1Y" = R ist; ein Kreis durch C" und C1, dessen Centrum auf A" B" liegt, schneidet sie aus. Nun ist X"C"Y" die Projektion eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten auf einer Haupt- und einer Falllinie liegen und dessen Umlegung zu ▲ X"C1Y" ähnlich ist. Dabei ist zu beachten, daß die Kathete X"C" dieser Falllinie angehört, wenn X"C"< X" C, ist. Man bringe demnach das letztgenannte Dreieck in eine solche Lage XC°Y1, daß seine Kathete XC auf der Verlängerung von X"C" liegt, wobei seine Kathete CoY, zu C"Y" parallel wird. Jetzt trage man CYo C"Y" auf C°Y, auf und ziehe Y°X° || YX, so ist ▲ X°C°Y0 die Umlegung und ▲ X"C"Y" die Projektion eines rechtwinkligen Dreiecks XCY. Ist E die Ebene dieses Dreiecks, so ist ihre Spur e, parallel zu C"Y" und geht durch den Punkt V = Ꮴ ; X°Y0 X X"Y". Ist U Ist U e2 X C°C", so ist die Tafelneigung von E so zu bemessen, daß C"U die orthogonale Projektion von CUCU wird; bildet man also aus CU und C"U als Hypotenuse und Kathete ein rechtwinkliges Dreieck, so schließen sie den Winkel der Tafelneigung ein. Bestimmt man noch 41 und B1 auf X11, indem man X,4, = X"A" und Y,B1 Y"B" macht, und schneidet die Geraden CA, und CoB, mit X°Y° in 4° und Bo, so sind Ao und Bo die Umlegungen der Punkte A und B, deren Aufrisse " und B" sind. Denn nach der Konstruktion gilt die Relation: X"A" : A"B" : B"Y" = X°A°, AoBo: BoY°, damit werden aber A′′Ão und B"B0 zu e, senkrecht, w. z. b. w. Somit ist die Umlegung AB°C des gesuchten Dreiecks gefunden; in der Figur ist dann noch eine x-Achse angenommen und der Grundriß, sowie die Spur e aus Aufriß und Umlegung konstruiert.

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109. Die schiefe Parallelprojektion eines gegebenen Kreises vom Radius r auf eine Ebene П, soll so bestimmt werden, daß sein Bild eine Ellipse von gegebenen Halbachsen a und b wird. Der Kreis k werde um die Spur e, seiner Ebene in П1 niedergelegt. Seine Umlegung k。 (Fig. 86b) und sein

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Bild, die Ellipse k1, müssen sich in Bezug auf e, als Achse in affiner Lage befinden; mithin muß dem zu e, parallelen Kreisdurchmesser CD ein ihm gleicher und paralleler Ellipsendurchmesser CD1 entsprechen. Damit aber eine Ellipse mit den Halbachsen a und b einen Durchmesser von der Länge 2r habe, muß arb sein. Diese Bedingung entscheidet über die Lösbarkeit unseres Problems; ist sie erfüllt, so giebt es im allgemeinen zwei Ellipsendurchmesser der geforderten Art symmetrisch zu den Achsen.

Sind MA, und M1B1 die Halbachsen der Ellipse k, und schneiden sie die Spur e, in X und Y, so entsprechen ihnen beim affinen Kreis ko zwei rechtwinklige Halbmesser MA und M.Bo welche die Spur e, ebenfalls in I und Y schneiden (vergl. 19). In dieser affinen Beziehung zwischen k, und ko entspricht dem ▲AMB1 das ▲ AMB. Nun bleiben zwei Figuren Fo und F in affiner Lage, wenn man die eine in der Richtung der Affinitätsstrahlen gegen die andere verschiebt. Sind nämlich h, und

h1 zwei zur Affinitätsachse e parallele, sich entsprechende Gerade, so sind je zwei auf ihnen liegende, entsprechende Strecken einander gleich. Führt man also

A,

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D

a)

A.

M

A

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Fig. 86.

die gemeinte Verschiebung von Jo aus, so daß h。 und h1 sich decken, so fallen auf h je zwei entsprechende Punkte zusammen, d. h. diese Gerade bildet nach der Verschiebung die Affinitätsachse, während die Affinitätsrichtung ersichtlich die frühere bleibt. Insbesondere bleiben die Dreiecke 4, M1B1 und 4MB, in affiner Lage, wenn man das letztere um die Strecke MM, verschiebt; dann deckt sich CD mit CD1 und diese Gerade wird für die neue Lage der Dreiecke zur Affinitätsachse.

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Es gilt hiernach zwei der Größe nach bekannte rechtwinklige

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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