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gemeinsamen Spitze S schneiden, so lege man sie mit ihrer Ebene um die zugehörige erste Spurlinie in die Grundrißebene nieder. Dann bestimme man für diese Lage der Achsen die gesuchten Schnittlinien und führe schließlich die der vorher genannten Niederlegung entgegengesetzte Bewegung aus (nach 82 u. 88). Dadurch gelangen die Achsen a und b wieder in ihre ursprüngliche Lage und zugleich nehmen die gefundenen Schnittlinien eine Lage ein, in der sie die Lösung der ursprünglich gestellten Aufgabe darstellen. Wir behandeln hier nur den Fall, wo

L

D2

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A

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B2

-X

1

2

4

die Achsen a und b in TT, liegen (Fig. 81), so daß П, die Kegel und 2 in je zwei Erzeugenden, K1K, KK und LL, LL schneidet. Eine um den Punkt S als Centrum beschriebene Kugel, die П1 in einem Kreise c schneidet, hat mit den Kegeln je zwei Kreise gemein, deren Ebenen resp. zu a und b normal sind. Diese Kreise projizieren sich deshalb als gerade Linien K, K2 und K, K1, resp. L12 und LL, und die Schnittpunkte A', B', C', D' der letzteren sind die Projektionen von je zwei symmetrisch zu П1 liegenden Schnittpunkten à ̧, А1⁄2, B ̧, B2, C1, C2, D1, D2 der ersteren. Den Abstand des einzelnen Schnittpunktes von der Grundrißebene (nach oben oder unten) entnimmt man aus der Umlegung eines der beiden ihn enthaltenden Kreise um seinen in П, liegenden DurchDaraus ergiebt sich dann sofort der Aufriß des fraglichen Punktes (44 (41" - x) u. s. w.), sowie die Aufrisse 4,"C", "C", B1"D2", B2"D" der gesuchten Schnittlinien und ihre paarweise sich deckenden Grundrisse A'C' und B'D'. — Je nachdem die vier Ecken des Parallelogramms A'B'C'D' alle vier innerhalb, oder außerhalb, oder teils inner-, teils außerhalb liegen, besitzen die beiden Kegel vier, keine oder zwei gemeinsame Erzeugenden. Fallen zwei gegenüberliegende Ecken auf den Kreis c, so berühren sich die Kegel in einer in П1 gelegenen Mantellinie.

DX

messer.

2

2

A

Fig. 81.

1

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100. Die gemeinsamen Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze. Wir nehmen wiederum die Kegelachsen a und b in П, an; als Erzeugende der Kegel und 2 seien SK1, SK, und SL1, SL, in П1 gegeben (Fig. 82). Es genügt, die Konstruktion für eine der vier im allgemeinen möglichen

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gemeinsamen Berührungsebenen der Kegel und £ durchzuführen, da sich die übrigen ganz ebenso zeichnen lassen.

Wir wählen auf a und b willkürlich zwei Punkte A und B, etwa die Schnittpunkte mit der Achse x, und denken uns aus ihnen auf die gesuchte Berührungsebene T die Lote AC und BD gefällt, deren Fußpunkte C und D auf den Berührungslinien liegen (vergl. 92). Die Verbindungslinie CD, die mit den parallelen Loten in einer Ebene liegt, trifft die Achse z in einem Punkte O. Durch O geht auch die um x in П1 umgelegte Gerade CD, die man in folgender Weise bestimmt. Alle von A auf die Mantellinien des Kegels gefällten Lote sind gleich, also AK1 = AС = AС (AK1 1 SK1), und AC da AC CO ist, ist auch AC1CO. Ganz ebenso findet man BL1 BD BD und BD, 1 OD, so daß die Gerade OC, D, die beiden Kreise berührt, welche um die Punkte A resp. B mit den Radien AK, resp. BL, beschrieben sind. Demnach ist O ein Ähnlichkeitspunkt dieser beiden Kreise (vergl. 4) und OS = t1 die erste Spurlinie der gesuchten Ebene T. Die Fußpunkte aller aus B auf die Mantellinien des Kegels 2 gefällten Lote liegen auf einem Kreise, dessen Projektion mit seinem in П1 liegenden Durchmesser LL1⁄2 zusammenfällt. Auf diesem findet man daher auch den zu D gehörigen Grundriß D'(D, D'1 x, BD'Lt) und durch Umlegen des

=

=

rechtwinkligen Dreiecks DD'B um eine Kathete D'B den Tafelabstand DD' D'D' des Punktes D (D°D' || t1, D° auf dem Kreis). Die Hauptlinie h(t) durch D hat den gleichen Tafelabstand, also liegt ihr zweiter Spurpunkt H, senkrecht über h'xx im Abstand D'D'. Damit ist die zweite Spur t2 = OH2 von T gefunden.

2

Symmetrisch zu T in Bezug auf П1 liegt eine zweite gemeinsame Tangentialebene; ihre erste Spur ist wieder t,, während ihre zweite Spur mit den gleichen Winkel bildet wie tą. Ist O' der andere Ähnlichkeitspunkt der beiden um A und B beschriebenen Kreise, so ist O'S die gemeinsame erste Spur zweier weiterer Tangentialebenen, die wiederum zu П, symmetrisch sind. Ihre zweiten Spuren sind in der Figur eingetragen, jedoch ohne Konstruktion.

Die gegebenen Kegel haben nur dann vier verschiedene Tangentialebenen gemein, wenn die Linien OS und O'S beide außerhalb derselben liegen. Umschließen die Kegelflächen eine dieser Linien, oder beide, so kommen zwei resp. vier gemeinsame Tangentialebenen in Wegfall. Den Übergang bilden die Fälle, wo die gegebenen Kegel einander längs einer Mantellinie berühren, die dann in П1 liegen muß.

Es mag noch erwähnt werden, daß die Bestimmung der gemeinsamen Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit derselben Spitze auch auf die der gemeinsamen Erzeugenden ihrer Polarkegel zurückgeführt werden kann (vergl. 94).

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101. Das in 99 gegebene Verfahren läßt sich, natürlich mit gewissen Abkürzungen, auf die schon in 76 behandelte Aufgabe anwenden: die Geraden durch einen gegebenen Punkt P mit den Neigungswinkeln 7, und 72 gegen die Tafeln zu ziehen. Die zum gegebenen Punkt P und den gegebenen Winkeln 7, und 72 in П1 und П2 gehörigen Neigungskreise k, und k, bestimmen zwei Rotationskegel mit der Spitze P, deren gemeinsame Erzeugende die Lösungen des Problems bilden. Die Achsen PP' und PP" dieser Kegel liegen in einer zur Projektionsachse x senkrechten Ebene П„, die als Seitenrißebene zu benutzen ist. Damit nimmt die Aufgabe, was die Darstellung der dritten Projektionen der gesuchten Geraden betrifft, dieselbe Form, wie in 99 für die ersten Projektionen an. Zur Auffindung der ersten und zweiten Projektionen dient hier die Bemerkung, daß die bezüglichen Spurpunkte auf den Neigungskreisen k und k liegen.

102. Die in 78 erledigte Aufgabe: durch einen Punkt P die Ebenen mit den gegebenen Tafelneigungen &, und & zu legen, kann auch nach der in 100 dargelegten Methode be

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handelt werden. Diese Ebenen müssen die beiden Kegel gleichzeitig berühren, welche durch den Punkt P als Spitze und die zu ihr und zu den Winkeln &, und & in П, und П, gehörigen Neigungskreise k, und k2 bestimmt sind. Man benutze wiederum die durch P gelegte SeitenriBebene П,. Hat man in ihr, wie in 100 für TT,, die paarweise zusammenfallenden dritten Ebenenspuren gefunden, SO hat man aus ihren Schnittpunkten mit den Nebenachsen y und z nur noch die Tangenten an die Kreise k1 und k2 zu legen; diese sind die ersten und zweiten Spuren der gesuchten Ebenen. - Man kann die Aufgabe auch auf die in 99 gelöste zurückführen, indem man zuerst die Geraden durch P konstruiert, welche die Tafelneigungen (R — ɛ) und (R — ɛ) haben und zu ihnen die Normalebenen durch P legt.

103. Um die Geraden darzustellen, welche zwei gegebene windschiefe Gerade k und i unter gegebenen Winkeln und schneiden, suche man zuerst die Richtungen derselben auf die folgende Art. Man ziehe durch einen beliebigen Punkt S auf k eine Parallele 7 zu i. Die Schnittlinien der Kegel und 2, die durch Rotation des Winkels a um den Schenkel k und des Winkels ẞ um den Schenkel erzeugt werden, wenn die Scheitel dieser Winkel in S vereinigt liegen, geben die fraglichen Richtungen an. Man lege daher k und 7 in П, um die Spur ihrer Ebene nieder (oder drehe sie zu П1 parallel), wende zur Bestimmung der gemeinsamen Mantellinien der mitgedrehten Kegel das Verfahren in 99 an und drehe hierauf zurück. Schließlich lege man durch kundi parallel zu einer der gefundenen Richtungen zwei Ebenen, die sich dann in einer der gesuchten gemeinsamen Sekanten von k und schneiden.

104. In ähnlicher Weise erhält man die Ebenen durch einen gegebenen Punkt P, die mit zwei gegebenen Geraden kund i gegebene Neigungswinkel a und einschließen. Auch diese Aufgabe hat, wie die vorangehenden, im allgemeinen vier Lösungen. Ist wiederum 7 eine Parallele zu i, welche k schneidet, und sind und 2 die wie vorher bestimmten Kegel, so geben ihre gemeinsamen Tangentialebenen die Stellungen an, welche die unserer Aufgabe genügenden Ebenen haben. Letztere sind also durch P parallel zu jenen zu ziehen. Statt aber die fraglichen Berührungsebenen nach 100 zu bestimmen, empfiehlt es sich hier, die Polarkegel von f und 2 miteinander zu schneiden und zu ihren gemeinsamen Erzeugenden durch P die Normalebenen zu legen. Man gelangt so kürzer zum Ziele.

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105. Es sei die Aufgabe gestellt: in einer gegebenen Ebene E eine Gerade eine Gerade zu ziehen, die von zwei festen Punkten P und Q des Raumes vorgeschriebene Abstände p und q hat. Man denke sich um P und Q resp. mit den Radien p und q je eine Kugel beschrieben. Die gesuchten Geraden sind dann die in E liegenden gemeinsamen Tangenten beider Kugeln, oder was dasselbe besagt sie sind die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise m und n, welche E aus jenen Kugeln ausschneidet. Man erkennt hieraus, daß die Aufgabe keine Lösung besitzen kann, falls eine der beiden Kugeln die Ebene E nicht schneidet, daß sie aber abgesehen von diesem Falle

H2

M

B

y

ND

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g"

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Fig. 83.

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X

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oder sich schneiden. Man führt die Konstruktion am besten mit Hilfe einer Seitenrißebene П, durch, die normal zur ersten Spur e von E ist (Fig. 83). Man zeichne die Seitenrisse P'" und Q"", sowie die Seitenrißspur e,; letztere erhält man mittels einer Hauptlinie h (h'e,), durch deren Spurpunkt H, sie geht ((H ̧− y)=(H2 − x)). Nun fälle man von P und Q auf E die Lote PM und QN, und schlage um ihre Fußpunkte M und N resp. die Kreise m und n. Um die Durchmesser dieser Kreise zu bestimmen, lege man durch P und Q Ebenen parallel zu П; sie schneiden die bezw. Kugeln in größten Kreisen und die Ebene E in Falllinien; auf diesen werden durch die letztgenannten Kreise die obengenannten Durchmesser AB und CD ausgeschnitten. Alle diese Dinge stellen sich in П in wahrer Größe dar. Die gemeinsamen Tangenten von m

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