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rechtwinkligen Dreiecks BB'B um eine Kathete B'B den Tafelabstand BB'=B°B' des Punktes B(B°B'\\tv auf dem Kreis). Die Hauptlinie durch B hat den gleichen Tafelabstand, also

liegt ihr zweiter Spurpunkt H2 senkrecht über h'x x im Abstand D°B'. Damit ist die zweite Spur t2 = OH2 von T gefunden.

Symmetrisch zu T in Bezug auf TTj liegt eine zweite gemeinsame Tangentialebene; ihre erste Spur ist wieder tv während ihre zweite Spur mit x den gleichen Winkel bildet wie t2. Ist O' der andere Ahnlichkeitspunkt der beiden um A und B beschriebenen Kreise, so ist öS die gemeinsame erste Spur zweier weiterer Tangentialebenen, die wiederum zu T\x symmetrisch sind. Ihre zweiten Spuren sind in der Figur eingetragen, jedoch ohne Konstruktion.

Die gegebenen Kegel haben nur dann vier verschiedene Tangentialebenen gemein, wenn die Linien OS und O'S beide außerhalb derselben liegen. Umschließen die Kegelflächen eine dieser Linien, oder beide, so kommen zwei resp. vier gemeinsame Tangentialebenen in Wegfall. Den Ubergang bilden die Fälle, wo die gegebenen Kegel einander längs einer Mantellinie berühren, die dann in TTj liegen muß.

Es mag noch erwähnt werden, daß die Bestimmung der gemeinsamen Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit derselben Spitze auch auf die der gemeinsamen Erzeugenden ihrer Polarkegel zurückgeführt werden kann (vergl. 94).

101. Das in 99 gegebene Verfahren läßt sich, natürlich mit gewissen Abkürzungen, auf die schon in 76 behandelte Aufgabe anwenden: die Geraden durch einen gegebenen Punkt P mit den Neigungswinkeln yx und y2 gegen die Tafeln zu ziehen. Die zum gegebenen Punkt P und den gegebenen Winkeln yx und y2 in TTj und TT2 gehörigen Neigungskreise und A2 bestimmen zwei Rotationskegel mit der Spitze P, deren gemeinsame Erzeugende die Lösungen des Problems bilden. Die Achsen PP' und PP" dieser Kegel liegen in einer zur Projektionsachse x senkrechten Ebene TT8, die als Seitenrißebene zu benutzen ist. Damit nimmt die Aufgabe, was die Darstellung der dritten Projektionen der gesuchten Geraden betrifft, dieselbe Form, wie in 99 für die ersten Projektionen an. Zur Auffindung der ersten und zweiten Projektionen dient hier die Bemerkung, daß die bezüglichen Spurpunkte auf den Neigungskreisen kx und h2 liegen.

102. Die in 78 erledigte Aufgabe: durch einen Punkt P die Ebenen mit den gegebenen Tafelneigungen £j und e2 zu legen, kann auch nach der in 100 dargelegten Methode behandelt werden. Diese Ebenen müssen die beiden Kegel gleichzeitig berühren, welche durch den Punkt P als Spitze und die zu ihr und zu den Winkeln ex und e2 in TJx und TT2 gehörigen Neigungskreise und k2 bestimmt sind. Man benutze wiederum die durch P gelegte Seitenrißebene TT8. Hat man in ihr, wie in 100 für TTj, die paarweise zusammenfallenden dritten Ebenenspuren gefunden, so hat man aus ihren Schnittpunkten mit den Nebenachsen y und z nur noch die Tangenten an die Kreise kx und k2 zu legen; diese sind die ersten und zweiten Spuren der gesuchten Ebenen. — Man kann die Aufgabe auch auf die in 99 gelöste zurückführen, indem man zuerst die Geraden durch P konstruiert, welche die Tafelneigungen (Jt — sj) und {R s2) haben und zu ihnen die Normalebenen durch P legt.

103. Um die Geraden darzustellen, welche zwei gegebene windschiefe Gerade k und i unter gegebenen Winkeln a und ß schneiden, suche man zuerst die Richtungen derselben auf die folgende Art. Man ziehe durch einen beliebigen Punkt S auf k eine Parallele l zu t. Die Schnittlinien der Kegel $ und 2, die durch Rotation des Winkels a um den Schenkel k und des Winkels ß um den Schenkel l erzeugt werden, wenn die Scheitel dieser Winkel in S vereinigt liegen, geben die fraglichen Richtungen an. Man lege daher k und / in TTj um die Spur ihrer Ebene nieder (oder drehe sie zu TTx parallel), wende zur Bestimmung der gemeinsamen Mantellinien der mitgedrehten Kegel das Verfahren in 99 an und drehe hierauf zurück. Schließlich lege man durch k und i parallel zu einer der gefundenen Richtungen zwei Ebenen, die sich dann in einer der gesuchten gemeinsamen Sekanten von k und t schneiden.

104. In ähnlicher Weise erhält man die Ebenen durch einen gegebenen Punkt P, die mit zwei gegebenen Geraden h und i gegebene Neigungswinkel a und ß einschließen. Auch diese Aufgabe hat, wie die vorangehenden, im allgemeinen vier Lösungen. Ist wiederum l eine Parallele zu t, welche k schneidet, und sind $ und 2 die wie vorher bestimmten Kegel, so geben ihre gemeinsamen Tangentialebenen die Stellungen an, welche die unserer Aufgabe genügenden Ebenen haben. Letztere sind also durch P parallel zu jenen zu ziehen. Statt aber die fraglichen Berührungsebenen nach 100 zu bestimmen, empfiehlt es sich hier, die Polarkegel von ® und 2 miteinander zu schneiden und zu ihren gemeinsamen Erzeugenden durch P die Normalebenen zu legen. Man gelangt so kürzer zum Ziele.

105. Es sei die Aufgabe gestellt: in einer gegebenen Ebene E eine Gerade zu ziehen, die von zwei festen Punkten P und Q des Raumes vorgeschriebene Abstände p und q hat. Man denke sich um P und Q resp. mit den Radien p und q je eine Kugel beschrieben. Die gesuchten Geraden sind dann die in E liegenden gemeinsamen Tangenten beider Kugeln, oder — was dasselbe besagt — sie sind die gemeinsamen Tangenten

oder sich schneiden. Man führt die Konstruktion am besten mit Hilfe einer Seitenrißebene TT3 durch, die normal zur ersten Spur ex von E ist (Fig. 83). Man zeichne die Seitenrisse F" und Q"', sowie die Seitenrißspur e3; letztere erhält man mittels einer Hauptlinie h (A'Uej), durch deren SpurpunktH9 sie geht ((#SHy)~{E2_\ xjy Nun fälle man von P und Q auf E die Lote PM und QN, und schlage um ihre Fußpunkte M und N resp. die Kreise m und n. Um die Durchmesser dieser Kreise zu bestimmen, lege man durch P und Q Ebenen parallel zu TTS; sie schneiden die bezw. Kugeln in größten Kreisen und die Ebene E in Falllinien; auf diesen werden durch die letztgenannten Kreise die obengenannten Durchmesser AB und CB ausgeschnitten. Alle diese Dinge stellen sich in TT3 in wahrer Größe dar. Die gemeinsamen Tangenten von m

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der beiden Kreise m und n, welche E aus jenen Kugeln ausschneidet. Man erkennt hieraus, daß die Aufgabe keine

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Lösung besitzen kann, falls eine der beiden Kugeln die Ebene E nicht schneidet, daß sie aber — abgesehen von diesem Falle — keine, vier oder zwei Lösungen besitzt, je nachdem einer der beiden Kreise den anderen einschließt, oder beide sich gegenseitig ausschließen, und n findet man, indem man zunächst in der um ex in den Grundriß niedergelegten Ebene E die gemeinsamen Tangenten an tn0 und n0 zeichnet. Man suche M0, A0 und B0 auf der umgelegten Falllinie, deren Verlängerung durch P' geht, und ebenso AT0, C0 und B0 auf der umgelegten Falllinie, deren Verlängerung durch Q' geht. Dann kann man m0 und n0 und ihre gemeinsamen Tangenten, von denen g0 in der Figur eine ist, unmittelbar zeichnen. Daraus ergiebt sich g als Verbindungslinie des Spurpunktes Gx = g0x ex mit dem zu J0 = g0x h0 gehörigen Grundriß /' und hieraus sofort g".

106. Durch einen Punkt P die Geraden zu legen, die in Bezug auf zwei gegebene Gerade a und b die vorgeschriebenen kürzesten Abstände p und q besitzen. Alle Geraden, die in Bezug auf a den kürzesten Abstand p aufweisen, berühren nach 96 einen Rotationscylinder ß mit der Achse a, dessen Normalschnitt ein Kreis vom Radius p ist. Ganz ebenso müssen die gesuchten Geraden einen Rotationscylinder 2 mit der Achse b berühren, dessen Normalschnitt ein Kreis vom Radius q ist. Man lege demgemäß durch P zwei Tangentialebenen, eine an den Cylinder $1 und eine an den Cylinder 2; ihre gemeinsame Schnittlinie ist eine von den gesuchten Geraden. Es giebt offenbar vier Lösungen unserer Aufgabe, da man von P aus sowohl an $\ als auch an 2 je zwei Tangentialebenen legen kann. Hieraus erkennt man auch, daß die Konstruktion nur dann, aber auch immer dann möglich ist, wenn die Abstände des Punktes P von den Geraden a und b größer als p und q respektive sind.

Die eigentliche Konstruktion gestaltet sich, wie folgt. Alle Tangentialebenen an den Cylinder St sind zu seiner Achse a parallel; die beiden durch P gehenden Tangentialebenen enthalten demnach eine Gerade c, die durch P parallel zu a gezogen wird. Legt man ferner durch P eine Normalebene zu a, so schneidet diese a in einem Punkte M und $} in einem Kreise m mit dem Centrum M und dem Radius p. Jede der beiden aus P an m gezogenen Tangenten bestimmt mit c zusammen eine der gemeinten Tangentialebenen an $1. Legt man ebenso durch P eine Normalebene zu b, welche b in N und den Cylinder 2 in einem Kreise n schneidet, so gehören die aus P an den Kreis n gelegten Tangenten- zwei Tangentialebenen des Cylinders 2 an, die außerdem eine Parallele d zu b durch P enthalten. Die Schnittlinien der letzteren und ersteren Tangentialebenen stellen die Lösungen unseres Problems dar.

Die Normalebene zu a bestimmt man durch zwei Hauptlinien g und h{g'\\x, h"\\x, g"±a", h ' ± d), die durch P gezogen sind, sucht ihren Schnittpunkt M mit a und dreht sie um g parallel zur Aufrißebene nach 85. Gelangt hierbei M nach MA, so schlage man um diesen Punkt mit dem Radius p den Kreis mA und lege aus P zwei Tangenten tA und uA an ihn; durch Zurückdrehen gewinnt man die Tangenten t und u. Man kann dazu die Affinität benutzen, für welche g" die Achse ist und MA und M" ein Paar entsprechender Punkte sind; t" und u" stellen die zu <A und uA affinen Geraden dar. Ihre Grundrisse ergeben sich ebenfalls nach 85. In gleicher Weise konstruiere man v", w" und v', w als die Projektionen der aus P an den Kreis n gelegten Tangenten. Zuletzt schneide man die Ebenen et und cu mit den Ebenen dv und dw, was die vier Lösungen liefert.

107. Ein Dreieck ABC, dessen erste Projektion gegeben ist, soll so bestimmt werden, daß seine zweite Projektion einem gegebenen Dreieck A^B-fi^ ähnlich wird.

wählt. Diese Gerade teile B'C im Punkte B' (Fig. 84). die entsprechende Strecke B"C" im Punkte B"; dann muß B"B":B"C = B'B1: B'C sein. Entspricht ferner im Dreieck AxBxCx dem Punkte B" der Punkt Bv so hat man wegen der vorausgesetzten Ähnlichkeit: BxBx-.DxCx = B"B" :B"C". Man teile daher die Seite ßxC^ durch den Punkt Bx im Verhältnis B'B': B'C, zeichne sodann £±AxBxCx in solcher Lage, daß Ax sich mit A" deckt, Dx auf A'A' und die Punkte B' und Bx auf dieselbe Seite von ÄA" zu liegen kommen. Zuletzt schneide man die Geraden A"Bx und A"Cx mit den Vertikalen durch B' und C in B" und C", womit der Aufriß A"B"C" des gesuchten Dreiecks gefunden ist.

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