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Spur e

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senkrecht zur Axe x wird. Dann verbindet der Aufriß g" der gedrehten Geraden g▲ den Punkt B" mit e1 × x, und das von A auf die gedrehte Ebene E gefällte Lot hat den Aufriẞ "C" und erscheint in wahrer Länge, da AC parallel zu П, ist. Aus dem gleichen Grunde ist (C1 - a′′) = (C1a); weil aber C1 seinen Ab

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stand von a bei der Rückwärtsdrehung nicht ändert, hat man C'A' senkrecht zu e, zu ziehen und = (C1"a") zu machen. Jetzt verschiebt man wieder A'C' wie vorher und erhält zunächst den Grundriß P' und sodann den Aufriß P"Q".

Lösung verschiedener stereometrischer Aufgaben durch
Projektionsmethoden.

Wir wenden im Folgenden die bisher entwickelten Methoden der Projektion auf eine Reihe einfacher stereometrischer Probleme an, deren Lösung in späteren Untersuchungen von Nutzen sein wird. Zu diesem Zwecke aber bedarf es der Feststellung einiger Vorbegriffe.

92. Dreht sich eine Gerade g um eine sie schneidende feste Achse a, so beschreibt sie eine Fläche, die man als Rotations

S

kegel oder geraden Kreiske gel bezeichnet. Der Schnittpunkt Sgxa heißt die Spitze, die Linie a die Achse des Kegels, die auf ihm liegenden Geraden seine Erzeugenden oder Mantellinien (Kanten). Die vollständige Fläche besteht aus zwei in der Spitze zusammenhängenden Teilen oder Mänteln, die man auch durch die Benennung als Kegel und Gegenkegel unterscheidet. Jede zur Achse a senkrechte Ebene schneidet den Kegel in einem Kreise. Eine durch die Spitze gelegte Ebene hat mit dem Kegel zwei Mantellinien, eine oder keine Mantellinie gemein, je nachdem ihre Spurlinie in irgend einer Normalebene zur Achse den bezüglichen Spurkreis des Kegels in zwei Punkten schneidet, in einem Punkte berührt, oder gar nicht trifft. Eine Ebene, die mit dem Kegel nur eine Erzeugende gemein hat, heißt Berührungs- oder Tangentialebene und die fragliche Erzeugende ihre Berührungslinie. Ist k der Spurkreis des Kegels in einer beliebigen Normalebene zur Achse a (siehe die schiefe Ansicht in Fig. 78), M sein Mittelpunkt und 7 sein Berührungspunkt mit der Spurlinie t der Ebene T, welche den Kegel längs der Erzeugenden g = ST berührt, so ist sowohl MT als auch a = MS zu t rechtwinklig. Folglich ist die Ebene MST, welche die Achse a mit der Berührungslinie g verbindet, zu t und zur Tangentialebene T normal. Ein aus einem Achsenpunkt auf g gefälltes Lot, wie MN oder PQ, liegt in MST und steht daher auf der Tangentialebene T senkrecht. Umgekehrt liegt der Fußpunkt eines jeden aus einem Achsenpunkt auf die Tangentialebene T gefällten Lotes auf ihrer Berührungslinie g.

Fig. 78.

t

93. Ein vollständiger Rotationskegel wird von einer um seine Spitze beschriebenen Kugel in zwei gleich großen Kreisen geschnitten. Zwei Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze haben im allgemeinen vier Erzeugende gemein. Denn eine um die gemeinsame Spitze beschriebene Kugel schneidet aus jedem der beiden Kegel ein Paar Kreise aus und jeder Kreis des einen Paares schneidet jeden Kreis des anderen Paares in zwei Punkten (als Kreise auf der nämlichen Kugelfläche). Es entstehen so acht Schnittpunkte, die sich paarweise diametral gegenüberliegen und so

vier gemeinsame Erzeugende liefern. Diese vier Geraden können paarweise in je eine Berührungslinie der Kegel zusammenrücken, bezw. in Wegfall kommen.

94. Denkt man sich durch die Spitze S eines Rotationskegels zu jeder Berührungsebene T eine Normale g1 gezogen, so erzeugen diese einen zweiten um dieselbe Achse a beschriebenen (koaxialen) Rotationskegel R,, den sogenannten Polarkegel. Legt man umgekehrt in der Mantellinie g1 91 an den Polarkegel die Tangentialebene T, und zieht durch die Spitze S eine Normale g zu ihr, so ist g eine Mantellinie des ursprünglichen Kegels und T die zugehörige Tangentialebene. Ist nämlich Ist nämlich g die Berührungslinie von T, so ist die Ebene ga normal zu T, folglich enthält die Ebene ga auch die Gerade g, (als Normale von T) und zwar sind g und g, rechtwinklig. Die Ebene T, steht aber auf der Ebene gagi senkrecht und die auf ihr errichtete Normale fällt demnach mit g zusammen. Die Beziehung zwischen einem Kegel und seinem Polarkegel ist umkehrbar, die Erzeugenden eines jeden sind die Normalen zu den Tangentialebenen des anderen.

Den gemeinsamen Erzeugenden zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze entsprechen die gemeinsamen Tangentialebenen ihrer Polarkegel. Hieraus folgt: zwei Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze haben im allgemeinen vier gemeinsame Berührungsebenen. Im besonderen kann ihre Zahl sich vermindern, indem sie paarweise zusammenfallen oder ganz fortfallen.

95. Dreht sich eine Gerade g um eine zu ihr parallele feste Achse a, so beschreibt sie einen Rotationscylinder, oder geraden Kreiscylinder, den man auch als Rotationskegel mit unendlich. ferner Spitze auffassen kann. Die auf ihm liegenden Geraden heißen wieder Erzeugende oder Mantellinien und a die Achse des Cylinders. Alle Ebenen normal zur Achse schneiden den Cylinder in gleich großen Kreisen. Eine Parallelebene zur Achse des Cylinders schneidet ihn entweder in zwei Mantellinien, oder berührt ihn längs einer Mantellinie, oder hat keine mit ihm gemein. Eine gegen die Achse geneigte Ebene schneidet den Cylinder in einer Kurve, die zu dem Kreise des Normalschnittes affin ist, also in einer Ellipse. Zwei Rotationscylinder mit parallelen Achsen haben entweder zwei getrennte, oder zwei vereinte, oder keine Erzeugende gemein.

96. Es mag daran erinnert werden, daß, ebenso wie die Punkte einer Kugel, auch ihre Tangenten und Tangentialebenen, da sie

normal zu den Radien nach ihren Berührungspunkten stehen, einerlei Abstand vom Centrum haben.

Analog haben die Punkte, Tangenten und Tangentialebenen eines Rotationscylinders einerlei senkrechten Abstand von seiner Achse. Denn jede Tangentialebene steht senkrecht auf der Ebene, die durch ihre Berührungslinie und die Achse gelegt wird; ihr Abstand von der Achse ist also gleich dem der Mantellinien von der Achse. Jede Tangente des Cylinders liegt in einer Tangentialebene, ihr Berührungspunkt auf deren Berührungslinie; der kürzeste Abstand einer Tangente von der Achse ist also gleich dem der sie enthaltenden Tangentialebene von der Achse, sein Endpunkt auf der Tangente ist ihr Berührungspunkt.

Der geometrische Ort aller Geraden, die man durch einen Punkt S unter gegebenem Neigungswinkel 7 gegen eine Ebene E, mithin unter dem Winkel (R-7) gegen das von S auf E gefällte Lot a ziehen kann, ist der durch Rotation des Winkels (R7) um seinen Schenkel a erzeugte Kegel mit seiner Spitze S. Der vom Kegel auf E ausgeschnittene Kreis mag als der zur Spitze S und zum Winkel gehörige Neigungskreis jener Ebene bezeichnet werden; sein Centrum ist der Fußpunkt des von S auf E gefällten Lotes, er enthält die Spurpunkte der oben definierten Geraden. Den in Rede stehenden Kegel müssen andererseits alle durch S unter dem Neigungswinkel gegen, E (oder dem Winkel (R-7) gegen a) gelegten Ebenen berühren, weil der Neigungswinkel einer Tangentialebene des Kegels gegen seine Achse mit dem ihrer Berührungslinie identisch ist. Die Spurlinien der fraglichen Ebenen in E berühren sonach den Neigungskreis.

97. Gerade von gegebener Tafelneigung in gegebener Ebene. Es sollen die Geraden durch einen Punkt P in der Ebene E dargestellt werden, welche mit П, den Winkel 1 71 bilden. Damit die Aufgabe Lösungen habe, darf 7, nicht größer als die erste Tafelneigung von E sein; ist dies der Fall, so genügen ihr zwei Gerade g und h. Sie erscheinen als Schnittlinien der Ebene E mit einem Rotationskegel, dessen Spitze P, dessen Achse PP' ist und dessen Mantellinien mit ihr den Winkel (R-71) einschließen (Fig. 79). Wir zeichnen zunächst die zu П, parallele Mantellinie PQ des Kegels, deren Aufriß P"Q" die Achse x unter dem Winkel, in Q" schneidet. Dann geht sein in TT, liegender Spurkreis k durch Q und hat den Punkt P zum Centrum; er schneidet e, in den Spurpunkten G1 und H, der gesuchten Geraden. Berührt e, den Neigungskreis k, so fallen g und h in eine Falllinie von E zusammen.

2

98. Ebenen von gegebener Tafelneigung durch eine gegebene Gerade. Durch eine Gerade g mögen die Ebenen

gelegt werden, welche mit

П, den Winkel & einschließen, was nur möglich ist, wenn nicht kleiner ε1

e

als die erste Tafelneigung
von g
ist. Man wähle
auf g irgend einen Punkt
(Fig. 80), etwa den zweiten
Spurpunkt G2, als Spitze
eines Kegels und das von
ihm auf П, gefällte Lot
GG als seine Achse.
Seine in der Aufrißebene
liegendeMantellinie schnei-
det x unter dem Winkel
81.
Dann geht der Spurkreis k
des Kegels durch den (auf
r liegenden) Spurpunkt der
verzeichneten Mantellinie
und G2 ist sein Centrum.
(Ist der auf g gewählte
Punkt beliebig, so zeichne
man die zu П1⁄2 parallele
Mantellinie, deren Aufriß
mit a den Winkel &, bildet).
Die von G, an k gelegten
Tangenten d1 und e̟, sind
die ersten Spurlinien der
gesuchten Ebenen, deren
zweite Spuren durch G2
gehen. In der That be-
rühren diese Ebenen den
genannten Kegel, besitzen
also die gleiche Tafel-
neigung gegen П1 wie
seine Mantellinien.

1

2

99. Die Schnitt

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linien zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze. Sind a und die Achsen der beiden Kegel, die sich in der

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