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man etwa zur Aufrißtafel parallel nehmen mag, lege man eine vertikale Hilfsebene TT und durch P eine Ebene N normal zu er,

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! i I x benen Kreisbogen. Trägt man daher an

a Q"P° in vorgeschriebenem Drehungs\\j; sinne den Winkel w = z_ P°Q"PA° an,

\ P,; so ist PA° die Seitenansicht des gedreh

. | ^ ten Punktes. Hieraus ergiebt sich der

tp' Aufriß PA", wenn PA°PA" normal zu n"

Fig. 74. gezogen, und der Grundriß PA', wenn

sein Abstand von a derselben Strecke gleichgemacht wird. Diese letzten Operationen entsprechen dem Wiederaufrichten der umgelegten Ebene N.

89. Der kürzeste Abstand zweier wiederschiefen Geraden ist diej[ jenige Strecke, die

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Fig. 75. auf E, so trifft

sie h in einem

Punkte Q und PQ ist der gesuchte Abstand. In der That, alle Punkte von h haben von E einerlei senkrechten Abstand d = PQ, folglich kann kein Punkt von ä um weniger als die Strecke d von g entfernt sein.

Aus dieser Überlegung ergiebt sich folgende Konstruktion (Fig. 75). Man ziehe durch einen Punkt von g die Gerade i parallel zu h etwa so, daß i mit h' zusammenfällt, und zeichne die Spurlinien ex und e2 der Ebene E = g i. Aus einem auf h beliebig angenommenen Punkte — in der Figur ist der Spurpunkt H2 benutzt — fälle man sodann das Lot auf E nach dem in 79 gegebenen Verfahren. Man lege nämlich durch H2 eine Ebene senkrecht zu e2, welche E in einer Falllinie schneidet; diese lege man um die zweite Spur der letztgenannten Ebene um und fälle von H2 das Lot H2auf sie, was von der Länge des kürzesten Abstandes d ist. Hieraus folgt dann auch der Aufriß H2K" und damit der Aufriß P"Q" des gesuchten gemeinsamen Lotes, das mit jenem parallel und gleich lang ist {K"P" \\ h", P" auf g", P"Q" ± c2). Aus P" und Q" ergeben sich die Grundrisse P' und auf g und h' und man hat zu beachten, daß P'Q' zur ersten Spur ex normal sein muß.

90. Die gemeinsame Normale zweier zu einer Tafel, etwa zu TT2, parallelen Geraden liegt zu dieser senkrecht; ihr Aufriß reduziert sich demgemäß „» auf den Schnittpunkt der zweiten Projektionen, während ihr Grundriß direkt den kürzesten Abstand angiebt. Wir erhalten daher eine zweite Lösung unserer Aufgabe, wenn wir durch Drehung den Parallelismus der Geraden g und h zur Aufrißtafel herbeiführen. — Man ziehe, wie oben, durch den Punkt G von g die Parallele i zu h (Fig. 76) und hierauf eine in der Ebene gi liegende, zur Aufrißtafel parallele Drehachse a. Um diese sind die gegebenen Geraden zu drehen, bis g und i, und folglich auch h zu

Röhn U. Papperitz. I. 2. Aufl. 5

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TT2 parallel werden. Die gedrehten Elemente bezeichne der Index A, die erforderlichen Seitenrisse (vergl. 88) der obere Index °. Zunächst wird G in die Lage GA gedreht (G° G" \\ a"± GA"G", G°G" = [G' _\ <z')); man erhält so <?A", #A" und ?'A". Der Seitenriß G°GA' der Bahnlinie von G ergiebt den Drehwinkel w. Hierauf drehen wir einen Punkt von h, am einfachsten den vertikal über der Drehachse a gelegenen Punkt H, um den gleichen Winkel <u und in gleichem Sinne. Im zugehörigen Seitenriß geht H" in die Lage Z/'A° über, wobei der beschriebene Bogen wieder zum Winkel ai gehört. In der Figur ist der letztere Seitenriß durch eine Umlegung im umgekehrten Sinne hergestellt, so daß die zu den Winkeln at gehörigen Bogen entgegengesetzten Drehsinn haben; das bietet den Vorteil, daß die Schenkel der Winkel m parallel werden. Die Strecke H^H^' giebt die kürzeste Entfernung d an. Ferner ergiebt sich AA" durch i/A" und parallel zu tA", sowie der Aufriß N = <7A" x äa" der gemeinsamen Normalen n nach der Drehung. Beim Zurückdrehen bewegt sich der Aufriß eines jeden Punktes von n auf der durch N gelegten Senkrechten zu a"; folglich findet man auf ihr n"= P"Q" und hier aus »' = P'Q'.

91. Wir führen noch eine dritte Lösung desselben Problems an, um dadurch die Bedeutung verschiedener Methoden hervortreten zu lassen. Wiederum ziehen wir durch einen Punkt von g eine Parallele i zu h, etwa so, daß i' = h' wird, und zeichnen dann die Spur ex = /j Gx der Ebene E = ig. Hierauf wählen wir eine Ebene TT3 senkrecht zu e3, die wir als Seitenrißebene benutzen und um ihre Spur y in die Grundrißebene niederlegen (Fig. 77). Im Seitenriß konstruieren wir nun g"'=i"' und h"' \\ i"' und fällen von einem Punkte A von h das Lot A C auf E. Dieses Lot ist gleich der Länge des gesuchten kürzesten Abstandes d und erscheint im Seitenriß Ä"C" in wahrer Größe und normal zu g", während sein Grundriß ÄC zu senkrecht ist. In der Figur fällt Ä mit B'= g'x h' zusammen (B g x i). Zuletzt verschieben wir ÄC parallel mit sich selbst in der Richtung von h', bis der eine Endpunkt auf g' gelangt, indes der andere auf h' bleibt. Die so erhaltene Strecke P'Q' stellt den Grundriß des gesuchten kürzesten Abstandes von g und h dar, woraus der Aufriß unmittelbar folgt . Der hier verwendete Seitenriß läßt sich entbehren, wenn man die Figur einer gewissen Drehung unterwirft. Man drehe nämlich g und h um die vertikale Achse a, welche die Geraden in B und A resp. schneidet, deren Grundriß also Ä=B'=g'x h' ist, und zwar richte man die Drehung so ein, daß die gedrehte Ebene E=gi senkrecht zu n2, d. h. ihre Spur ejA senkrecht zur Axe x wird. Dann verbindet der Aufriß g^' der gedrehten Geraden gA den Punkt B" mit ejA x x, und das von A auf die gedrehte Ebene E gefällte Lot hat den Aufriß A"CA" und erscheint in wahrer Länge, da parallel zu TT2 ist. Aus dem

gleichen Grunde ist (CA _\ a") = (CA _\ a); weil aber CA seinen Ab

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stand von a bei der Rückwärtsdrehung nicht ändert, hat man senkrecht zu ex zu ziehen und = (CA l a") zu machen. Jetzt verschiebt man wieder ÄC wie vorher und erhält zunächst den Grundriß Fq und sodann den Aufriß P"Q".

Lösung verschiedener stereometrischer Aufgaben durch
Projektionsmethoden.

Wir wenden im Folgenden die bisher entwickelten Methoden der Projektion auf eine Reihe einfacher stereometrischer Probleme an, deren Lösung in späteren Untersuchungen von Nutzen sein wird. Zu diesem Zwecke aber bedarf es der Feststellung einiger Vorbegriffe.

92. Dreht sich eine Gerade g um eine sie schneidende feste Achse a, so beschreibt sie eine Fläche, die man als Rotationskegel oder geraden Kreiskegel bezeichnet. Der Schnittpunkt S = g x a heißt die Spitze, die Linie a die Achse des Kegels, die auf ihm liegenden Geraden seine Erzeugenden oder Mantel linien (Kanten). Die vollständige Fläche besteht aus zwei in der Spitze zusammenhängenden Teilen oder Mänteln, die man auch durch die Benennung als Kegel und Gegenkegel unterscheidet. Jede zur Achse a senkrechte Ebene schneidet den Kegel in einem Kreise. Eine durch die Spitze gelegte Ebene hat mit dem Kegel zwei Mantellinien, eine oder keine Mantellinie gemein, je nachdem

ihre Spurlinie in irgend einer Normalebene zur Achse den bezüglichen Spurkreis des Kegels in zwei Punkten schneidet, in einem Punkte berührt, oder gar nicht trifft. Eine Ebene, die mit dem Kegel nur eine Erzeugende gemein hat, heißt Berührungs- oder Tangentialebene und die fragliche Erzeugende ihre Berührungslinie. Ist k der Spurkreis des Kegels in einer beliebigen Normalebene zur Achse a (siehe die schiefe Ansicht in Fig. 78), M sein Mittelpunkt und T sein Berührungspunkt mit der Spurlinie t der Ebene T, welche den Kegel längs der Erzeugenden g = ST berührt, so ist sowohl MT als auch a = MS zu t rechtwinklig. Folglich ist die Ebene MST, welche die Achse a mit der Berührungslinie g verbindet, zu t und zur Tangentialebene T normal. Ein aus einem Achsenpunkt auf g gefälltes Lot, wie MN oder PQ, liegt in MST und steht daher auf der Tangentialebene T senkrecht. Umgekehrt liegt der Fußpunkt eines jeden aus einem Achsenpunkt auf die Tangentialebene T gefällten Lotes auf ihrer Berührungslinie g.

93. Ein vollständiger Rotationskegel wird von einer um seine Spitze beschriebenen Kugel in zwei gleich großen Kreisen geschnitten. Zwei Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze haben im allgemeinen vier Erzeugende gemein. Denn eine um die gemeinsame Spitze beschriebene Kugel schneidet aus jedem der beiden Kegel ein Paar Kreise aus und jeder Kreis des einen Paares schneidet jeden Kreis des anderen Paares in zwei Punkten (als Kreise auf der nämlichen Kugelfläche). Es entstehen so acht Schnittpunkte, die sich paarweise diametral gegenüberliegen und so

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