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die Normalebene N zu g, welche den Punkt P enthält, indem man als Projektionen von h1 und h, durch P' resp. P" je eine Parallele

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zur Achse und eine Normale zur gleichnamigen Projektion von g zieht (Fig. 71). Hierauf schneide man N mit g nach dem in 61 erklärten Verfahren in Q und bestimme die wahre Länge von PQ = (Pg) nach der in 73 angeführten Methode als PQ'.

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Wir geben eine zweite Lösung der vorigen Aufgabe an, welche auf der in 85 entwickelten Methode beruht. P und liegen in einer Ebene, die wir um eine Achse a parallel zum Aufriß drehen. Als Drehachse a diene die zweite Hauptlinie durch P(a' || x), welche die Gerade g im Punkte im Punkte A trifft (Fig. 72). Um dieselbe werde die Gerade g und mit ihr das von P auf sie gefällte Lot PQ gedreht, bis sie zum Aufriß parallel werden. Die gedrehte Gerade g und das gedrehte Lot PQ erscheinen im Aufriß zu einander rechtwinklig und letzteres in wahrer Länge. Die Drehung selbst wird an einem auf g beliebig gewählten Punkte B (genau wie in 85) vorgenommen, hierauf g1"= A′′ B ̧" und ΒΔ' senkrecht dazu P"Q" gezogen. Q" findet man durch Zurückdrehen in die ursprüngliche Lage, wobei der von Q beschriebene Kreisbogen sich als Senkrechte zu a" projiziert. Aus dem Aufriß ergiebt sich der Grundriß Q' und die beiden Projektionen von PQ.

Ferner

87. Das in 79 angegebene Verfahren, um Lote auf eine durch ihre Spurlinien gegebene Ebene zu fällen, läßt sich umgekehrt anwenden, um auf ihr die Normale in einem ihrer Punkte. zu errichten. Wir führen gegenwärtig eine Modifikation desselben an, die zur Errichtung einer Normalen von gegebener Länge 7 auf einer Dreiecksebene in vorgeschriebenem Punkte P dient. Man denke sich durch P parallel zur Aufrißebene eine Hilfsebene П gelegt und zeichne die Hauptlinie h, die sie aus der Dreiecksebene ABC ausschneidet (Fig. 73). denke man sich zu h eine Normalebene N durch P, welche ABC in einer Falllinie fschneidet; es wird dann f" h′′ sein. Die gesuchte Normale liegt in N und steht auff senkrecht. Man drehe also die Ebene N um ihre in П liegende Hilfsspur n, bis sie mit П zur Deckung kommt; dabei ist zu beachten, daß der Grundriß n' dieser Hilfsspur mit h', der Aufriß n" mit f" zusammenfällt. Man erhält zuerst durch Drehung eines Punktes der Falllinie, etwa F auf AB, die Lage von

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= (Fn')), sodann den Aufriß der gedachten Normalen

B

R

B

Fig. 73.

>R

"(1f"), dem die Länge 1 = P'Q" zu erteilen ist. Beim Zurückdrehen um n beschreibt der Aufriß des Endpunktes die Strecke Q"Q"; senkrecht unter Q" und um dieselbe Strecke von n' entfernt findet man Q'. Hierbei ist zu erwägen, daß Fund Q in der Ebene N auf verschiedenen Seiten von n liegen, wie man aus der gedrehten Ebene erkennt, und daß deshalb auch F" und Q' im Grundriß auf verschiedenen Seiten von n' liegen müssen. Die zu PQ entgegengesetzt gerichtete Normale sei PR, R liegt mit F auf der nämlichen Seite von n und ebenso müssen sich ihre Grundrisse R und F" in Bezug auf n' verhalten.

88. Für spätere Anwendungen ist die Lösung der Aufgabe von Wichtigkeit:, einen Punkt P um eine Tafelparallele a durch einen gegebenen Winkel @ zu drehen. Durch die Achse a, die

.

man etwa zur Aufrißtafel parallel nehmen mag, lege man eine vertikale Hilfsebene П und

n

P

Fig. 74.

gleichgemacht wird.

durch P eine Ebene N normal zu a, welche die Bahnlinie dieses Punktes enthält. N schneidet in П die Hilfsspurn aus (n" 1 a′′, n' = a′) (Fig. 74). Eine Seitenansicht, die man durch Umlegen von N in П gewinnt, zeigt die Bahnlinie in ihrer wahren Gestalt, nämlich als den um Q"= n" × a" durch die Seitenansicht Po von P beschriebenen Kreisbogen. Trägt man daher an Q"Po in vorgeschriebenem Drehungssinne den Winkel = L P°Q"P° an, so ist P° die Seitenansicht des gedrehten Punktes. Hieraus ergiebt sich der Aufriß P", wenn P°P" normal zu n' gezogen, und der Grundriß P, wenn sein Abstand von a' derselben Strecke Diese letzten Operationen entsprechen dem

X

-a'

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wiederschiefen Geraden ist diejenige Strecke, die auf beiden senkrecht steht. Es werde durch die eine Gerade 9 eine Parallelebene E zur anderen h gelegt, dann h auf E senkrecht pro

jiziert und g mit dieser Projektion im Punkte P geschnitten. Errichtetman schließlich in P die Normale auf E, so trifft sie h in einem

=

PQ,

und PQ ist der gesuchte Abstand. In der That, alle Punkte von h haben von E einerlei senkrechten Abstand d

Punkte

folglich kann kein Punkt von h um weniger als die Strecke d von g entfernt sein.

Aus dieser Überlegung ergiebt sich folgende Konstruktion (Fig. 75). Man ziehe durch einen Punkt von g die Gerade i parallel zu h etwa so, daß i mit h' zusammenfällt, und zeichne die Spurlinien e1 und eg der Ebene Egi. Aus einem auf h beliebig angenommenen Punkte in der Figur ist der Spurpunkt H2 benutzt fälle man sodann das Lot auf E nach dem in 79 gegebenen Verfahren. Man lege nämlich durch H2 eine Ebene senkrecht zu e, welche E in einer Falllinie schneidet; diese lege man um die zweite Spur der letztgenannten Ebene um und fälle von H2 das Lot H2K° auf sie, was von der Länge des kürzesten Abstandes dist. Hieraus folgt dann auch der Aufriß H,K" und damit der Aufriß P"Q" des gesuchten gemeinsamen Lotes, das mit jenem parallel und gleich lang ist (K"P" || h", P" auf g′′, P"Q" 1 e2). Aus P" und Q′′ ergeben sich die Grundrisse P' und Q' auf g' und h' und man hat zu beachten, daß P'Q' zur ersten Spur e normal sein muß.

90. Die gemeinsame Normale zweier zu einer Tafel, etwa zu П,, parallelen Geraden liegt zu dieser senkrecht; ihr Aufriß reduziert sich demgemäß

auf den Schnittpunkt der zweiten Projektionen, während ihr Grundriß direkt den kürzesten Abstand angiebt. Wir erhalten daher eine zweite Lösung unserer Aufgabe, wenn wir durch Drehung den Paral

lelismus der Geraden g und h zur Aufrißtafel herbeiführen.— Man ziehe, wie oben, durch den Punkt G von g die Parallele i zu h (Fig. 76) und hierauf eine in der

Ebene gi liegende,

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zur Aufriẞtafel parallele Drehachse a. Um diese sind die gegebenen Geraden zu drehen, bis g und i, und folglich auch h zu

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

5

2

A

=

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П2 parallel werden. Die gedrehten Elemente bezeichne der Index die erforderlichen Seitenrisse (vergl. 88) der obere Index. Zunächst wird G in die Lage GA gedreht (G°G" || a" G "G", G°G" (G'a')); man erhält so G", 9" und i". Der Seitenriß G°G der Bahnlinie von G ergiebt den Drehwinkel w. Hierauf drehen wir einen Punkt von h, am einfachsten den vertikal über der Drehachse a gelegenen Punkt H, um den gleichen Winkel ∞ und in gleichem Sinne. Im zugehörigen Seitenriß geht H" in die Lage H ̧° über, wobei der beschriebene Bogen wieder zum Winkel o gehört. In der Figur ist der letztere Seitenriß durch eine Umlegung im umgekehrten Sinne hergestellt, so daß die zu den Winkeln gehörigen Bogen entgegengesetzten Drehsinn haben; das bietet den Vorteil, daß die Schenkel der Winkel w parallel werden. Die Strecke HH" giebt die kürzeste Entfernung d an. Ferner ergiebt sich h" durch H" und parallel zu i", sowie der Aufriß N = 9" x h" der gemeinsamen Normalen n nach der Drehung. Beim Zurückdrehen bewegt sich der Aufriß eines jeden Punktes von n auf der durch N gelegten Senkrechten zu a"; folglich findet man auf ihr n": P"Q" und hier aus n' P'Q'.

=

=

=

91. Wir führen noch eine dritte Lösung desselben Problems an, um dadurch die Bedeutung verschiedener Methoden hervortreten zu lassen. Wiederum ziehen wir durch einen Punkt von g eine Parallele i zu h, etwa so, daß i'h' wird, und zeichnen dann die Spur e̟1 = J1G1 der Ebene Eig. Hierauf wählen wir eine Ebene П ̧ senkrecht zu e1, die wir als Seitenrißebene benutzen und um ihre Spur y in die Grundrißebene niederlegen (Fig. 77). Im Seitenriẞ konstruieren wir nun g""i"" und h" || ¿""' und fällen von einem Punkte A von h das Lot AC auf E. Dieses Lot ist gleich der Länge des gesuchten kürzesten Abstandes d und erscheint im Seitenriß A"C"" in wahrer Größe und normal zu g'", während sein Grundriß A'C' zu e̟ senkrecht ist. In der Figur fällt A′ mit B' = g'× h' zusammen (B = gx i). Zuletzt verschieben wir 'C' parallel mit sich selbst in der Richtung von h', bis der eine Endpunkt auf g' gelangt, indes der andere auf h' bleibt. Die so erhaltene Strecke P'Q' stellt den Grundriß des gesuchten kürzesten Abstandes von g und h dar, woraus der Aufriß unmittelbar folgt. Der hier verwendete Seitenriß läßt sich entbehren, wenn man die Figur einer gewissen Drehung unterwirft. Man drehe nämlich g und h um die vertikale Achse a, welche die Geraden in B und A resp. schneidet, deren Grundriß also A' = B'g'x h' ist, und zwar richte man die Drehung so ein, daß die gedrehte Ebene E = gi senkrecht zu П2, d. h. ihre

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