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affiner Lage. In der That sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte parallel, nämlich senkrecht zur Achse; sie bilden die Affinitätsstrahlen; andererseits fallen Grund- und Aufriß der Geraden, in welcher die Ebene E der betrachteten Figur von der zweiten Halbierungsebene H2 geschnitten wird, in eine Gerade a (Fig. 66) zusammen; dies ist die Affinitätsachse. Die Gerade a geht durch den Achsenschnittpunkt Ex von E; einen zweiten Punkt auf ihr liefert der Durchschnitt B der beiden Projektionen von irgend einer in E gezogenen Geraden (vergl. 64). — Hiernach kann die Affinität benutzt werden, um von einer in gegebener Ebene Hegenden Figur aus einer Projektion die andere abzuleiten (wie dies in unserer Figur für das Dreieck ABC ausgeführt ist).

82. Der Winkel u zweier durch ihre Projektionen gegebenen Geraden g und h. Man kann annehmen, daß beide Gerade sich in einem Punkte S schneiden (indem man nötigenfalls die eine durch eine Parallele ersetzt). Den Scheitel S lege man um die Verbindungslinie der Spurpunkte der Schenkel in eine Tafel um, z. B. durch Drehung um GxRx (Fig. 67). Der niedergelegte Punkt S0 findet sich auf der aus S' zur Drehachse gezogenen Normalen ST; und seine Entfernung S0T von dieser ist nach früherem gleich S°T, wo S°S'T das um die Kathete S'T in den Grundriß umgelegte Dreieck SS'T bedeutet (S°S'={S"_\x)). Dann ist a L Gxsqhv

Die Halbierung des Winkels« kannnur nach seiner Darstellung in wahrer Größe gefunden werden. Die

umgelegte Halbierungslinie i0 schneidet

auf der Drehachse den ,
ersten Spurpunkt /x
aus, woraus sich dann 'jt
{ und i" ergeben.

83. Um denWinkel s zweier durch ihre Spuren gegebenen Ebenen A und B zu finden, zeichnen wir zunächst ihre Schnittlinie g mit ihren Spurpunkten G\ = aj x 6j und Oi = a2 x b2 (Fig. 68). Eine Normalebene N zu g schneidet A und B in den Schenkeln und g in dem Scheitel S des gesuchten Winkels s. Die zweite Spur w2 von N ist senkrecht zu g" und wir ziehen sie etwa durch G^'; dann sind R = n2x a2 und T = n2 x b2 die Spurpunkte der Schenkel. Legen wir jetzt den Winkel s = i_ RST um n2 in die Aufrißebene nieder, so gelangt sein Scheitel S in eine bestimmte Lage S0 auf g", denn S0S" muß senkrecht zur Drehachse n2 sein. Dabei ist G^'S das von G^" auf g gefällte Lot und G^'S^ ist seine wahre Länge. Diese finden wir, indem wir g um g" in die Aufrißebene als umlegen und von G^' das Lot G^'S0 auf fällen {Gx"Gx° = Gx"Gv G^ auf n2 J_ g"). Schließlich ist i_ RS0T der gesuchte Winkel oder dessen Nebenwinkel.

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Um die zu A und B gehörigen Winkelhalbierungsebenen T und A zu bestimmen, schneide man n2 mit den beiden Geraden, die den umgelegten Winkel s und seinen Nebenwinkel halbieren, in den Punkten U und V\ es sind dies die zweiten Spurpunkte der Winkelhalbierenden von s und seinem Nebenwinkel. Da die gesuchten Ebenen je eine dieser Geraden enthalten müssen, so ist c2= G2U und d2 = G2V, während cx und dx aus Gx nach ihren Schnittpunkten mit der Achse zu ziehen sind.

Der Winkel zweier Ebenen ist dem von ihren Normalen eingeschlossenen gleich. Man kann daher von einem beliebigen Punkte die Lote auf diese Ebene fällen und deren Winkel nach 82 bestimmen.

84. Der Neigungswinkel u einer Geraden g gegen eine Ebene E ergänzt den ^ Winkel zwischen g und der Ebenennormale zu einem Rechten. Man fälle daher aus irgend einem Punkte S von g auf E ein Lot n und bestimme die wahre Größe des Winkels ß = i_ gn nach dem in 82 dargelegten Verfahren (Fig. 69). Zu diesem Zweck lege man etwa S um die Verbindungslinie G2N2 der zweiten Spurpunkte

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von g und n in die zweite Tafel um. Mit ß ist auch der Winkel u = R ß bekannt.

85. Die Bestimmung der wahren Gestalt eines in beiden Projektionen gegebenen Dreiecks ABC durch Paralleldrehung seiner Ebene zu einer Tafel. Man schneide die Dreiecksebene mit einer zur Aufrißtafel parallelen Hilfsebene FT in der Hauptlinie a = BE, die als Achse der Drehung dienen soll. Die Paralleldrehung zu TT2 kann man dann als Umlegung um a in die Ebene TT auffassen. Der Aufriß des gedrehten Dreiecks AABACA wird seine wahre Gestalt zeigen, der Grundriß in die Gerade d fallen (Fig. 70). Der Eckpunkt A beschreibt einen Kreisbogen, dessen Ebene auf a normal steht und dessen Aufriß folglich in die zu a" senkrechte Gerade A"G" fällt. Der Radius dieses Bogens ist das von A auf a gefällte Lot AG und bildet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit

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den Katheten AF = (A _\ TT) und FG = {F _\ a); erstere erscheint mit ihrer wahren Länge im Grundriß A'F', letztere im Aufriß F"G" {ÄF' _l d, F"G" ± a", F" = A"). Dieses rechtwinklige Dreieck AFG sowie die Bahnkurve AAA des Punktes A zeichnen wir, um FG in die Hilfsebene TT umgelegt, im Aufriß als Dreieck A0"F"G" und Kreisbogen A0"AA". Da man nun AA" kennt, kann die weitere Konstruktion mit Benutzung der Affinität erfolgen; a" ist die Affinitätsachse und AA" und A" sind ein Paar entsprechender affiner Punkte (A"B" x AA"BA" auf a", B"BA" J_ a").

Nach dem auseinandergesetzten Verfahren kann die wahre Gestalt jeder durch ihre Projektionen gegebenen ebenen Figur ermittelt werden.

86. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Geraden g. P und g seien durch ihre Projektionen gegeben. Ein erster Weg zur Ermittelung des Abstandes PQ = (P_]g) ist folgender. Man bestimme mittels zweier Hauptlinien hx und h2 die Normalebene N zu g, welche den Punkt P enthält, indem man

als Projektionen von Aj und h2

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durch P' resp. P" je eine Parallele zur Achse und eine Normale zur gleichnamigen Projektion von g zieht (Fig. 71). Hierauf schneide man N mit g. nach dem in 61 erklärten Verfahren in Q und bestimme die wahre Länge von PQ = (P H g) nach der in 73 angeführten Methode als PAQ'.

Wir geben eine zweite Lösung der vorigen Aufgabe an, welche auf der in 85 entwickelten Methode beruht. P und g liegen in einer Ebene, die wir um eine Achse a parallel zum Aufriß drehen. Als Drehachse a diene die zweite Hauptlinie durch P (a || x), welche die Gerade g im Punkte A trifft (Fig. 72). Um dieselbe werde die Gerade g und mit ihr das von P auf sie gefällte Lot PQ gedreht, bis sie zum Aufriß parallel werden. Die gedrehte Gerade <?A und das gedrehte Lot PQA erscheinen im Aufriß zu einander rechtwinklig und letzteres in wahrer Länge. Die Drehung selbst wird an einem auf g beliebig gewählten Punkte B (genau wie in 85) vorgenommen, hierauf gA"= A"B^" und senkrecht dazu P"QA" gezogen. Q" findet man durch Zurückdrehen in die ursprüngliche Lage, wobei der von Q beschriebene Kreisbogen sich als Senkrechte zu a" projiziert. Aus dem Aufriß ergiebt sich der Grundriß Q' und die beiden Projektionen von PQ.

87. Das in 79 angegebene Verfahren, um Lote auf eine durch ihre Spurlinien gegebene Ebene zu fällen, läßt sich umgekehrt anwenden, um auf ihr die Normale in einem ihrer Punkte zu errichten. Wir führen gegenwärtig eine Modifikation desselben an, die zur Errichtung einer Normalen von gegebener Länge / auf einer Dreiecksebene in vorgeschriebenem Punkte P dient. Man denke sich durch P parallel zur Aufrißebene eine Hilfsebene TT gelegt und zeichne die Hauptlinie h, die sie aus der Dreiecksebene ABC ausschneidet (Fig. 73). Ferner denke man sich zu h eine Normalebene N . durch P, welche ABC in einer Falllinie f schneidet; es wird dann f" J_ h" sein. Die gesuchte Normale liegt in N und steht auf f senkrecht. Man drehe also die Ebene N um ihre in TT liegende Hilfsspur n, bis sie mit TT zur Deckung kommt; dabei ist zu beachten, daß der Grundriß n dieser Hilfsspur mit h', der Aufriß n" mit f" zusammenfällt. Man erhält zuerst durch Drehung eines Punktes der Falllinie, etwa F auf AB, die Lage von fA" und von fA" (F"FA" = (F' H ra')), sodann den Aufriß der gedachten Normalen /&"(_!_ /a"), dem die Länge / = P"QA' zu erteilen ist. Beim Zurückdrehen um n beschreibt der Aufriß des Endpunktes die Strecke QA"Q"', senkrecht unter Q" und um dieselbe Strecke von n entfernt findet man Q'. Hierbei ist zu erwägen, daß F und Q in der Ebene N auf verschiedenen Seiten von n liegen, wie man aus der gedrehten Ebene erkennt, und daß deshalb auch F' und Q' im Grundriß auf verschiedenen Seiten von n liegen müssen. — Die zu PQ entgegengesetzt gerichtete Normale sei PR, R liegt mit F auf der nämlichen Seite von n und ebenso müssen sich ihre Grundrisse R und F' in Bezug auf n verhalten.

88. Für spätere Anwendungen ist die Lösung der Aufgabe von Wichtigkeit:, einen Punkt P um eine Tafelparallele a durch einen gegebenen Winkel m zu drehen. Durch die Achse a, die

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