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schneidet. Aus der Umlegung Qo des Fußpunktes Q findet man rückwärts Q" auf l" durch eine zu n2 normale Gerade Q°Q" und hieraus Q. P"Q" ist die wahre Länge des Abstandes.

80. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Umlegung in eine der Tafeln. Eine ebene Figur und ihre Projektion auf eine Tafel sind affin und in affiner Lage und bleiben es auch, wenn die erstere um die bezügliche Spur ihrer Ebene (d. i. um ihre Affinitätsachse) in die Tafel umgelegt wird (vergl. 10). Durch

Benutzung dieses Umstandes werden die zur Umlegung nötigen Operationen vereinfacht. Es sei

beispielsweise

ein Dreieck ABC durch die Spuren e1 und e2 seiner Ebene E und seinen Aufriẞ A'B'C" gegeben, woraus sich der Grundriß in bekannter Weise ergiebt (Fig. 65). Zur Ermittelung seiner wahren Gestalt lege man das Dreieck um e, in die Aufriẞebene um. Man

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denke sich in E

2 1

Fig. 65.

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=

EF

x 1

durch den Punkt A eine Falllinie f gezogen (f 1 eg, f" 1 eg). Diese lege man, um zunächst ihre Länge zwischen den Spurpunkten F und F2 zu finden, wie in voriger Nummer um f" seitwärts in die Aufrißebene nieder als fo= F2F10; sodann lege man sie um e, in Ã1⁄2 um als fo= F2F. Hieraus ergiebt sich die Umlegung e von e. Die Umlegung 4oB°C des Dreiecks ABC aber kann als die affine Figur zu A"B"C" gezeichnet werden, da man außer der Affinitätsachse e2 zwei einander entsprechende Punkte F° und F" kennt (vergl. 11); die Affinitätsstrahlen sind normal zu e. So ist BOB", und die Parallelen durch B" und Bo resp. zu x und e treffen sich in einem Punkte von e; denn bei unserer Affinität

entsprechen sich der Aufriß der Spur e,, d. h. die Achse x und ihre Umlegung e. Ferner schneiden sich BC" und BoC auf e und treffen x resp. e° in entsprechenden Punkten u. s. f. — Man kann die Umlegung eines jeden Punktes auch mittels seines Abstandes von der Drehachse e, konstruieren, indem man den Umstand benutzt, daß sich dieser Abstand zu seiner Projektion jedesmal wie FloF zu FF verhält. So schneidet eine Parallele zu e, durch B" auf f die wahre Länge des Abstandes (Be) ab.

2

1

1 2

Die oben ausgeführte Umlegung der Falllinie f und ihres Spurpunktes F1 um e, nach fo und F° in die Aufrißebene läßt sich durch folgende Überlegung noch einfacher gestalten. Der Abstand des Punktes F, von E erscheint sowohl im Grundriß als auch in der Umlegung in wahrer Länge, also FEFE Deshalb liegt F° sowohl auf einem Kreis mit dem Centrum E und dem Radius EF, als auch auf einer durch F" senkrecht zu e, gezogenen Geraden.

1

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81. Affinität zwischen Grund- und Aufriß einer ebenen Figur. Die beiden Projektionen einer ebenen Figur sind affin und befinden sich nach der Umlegung der einen Tafel in die andere in

X

affiner Lage. In der That sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte parallel, nämlich senkrecht zur Achse; sie bilden die Affinitätsstrahlen; andererseits fallen Grund- und Aufriß der Geraden, in welcher die Ebene E der betrachteten Figur von der zweiten Halbierungsebene H2 geschnitten wird, in eine Gerade a (Fig. 66) zusammen; dies ist die Affinitätsachse. Die Gerade a geht durch den Achsenschnittpunkt E von E; einen zweiten Punkt auf ihr liefert der Durchschnitt D der beiden Projektionen von irgend einer in E gezogenen Geraden (vergl. 64). Hiernach kann die Affinität benutzt werden, um von einer in gegebener Ebene liegenden Figur aus einer Projektion die andere abzuleiten (wie dies in unserer Figur für das Dreieck ABC ausgeführt ist).

x

82. Der Winkel a zweier durch ihre Projektionen gegebenen Geraden g und h. Man kann annehmen, daß beide Gerade sich in einem Punkte S schneiden (indem man nötigenfalls die eine durch eine Parallele ersetzt). Den Scheitel S lege man um die Verbindungslinie der Spurpunkte der Schenkel in eine Tafel um, z. B. durch Drehung um G1H1 (Fig. 67). Der niedergelegte Punkt S findet sich auf der aus S' zur Drehachse gezogenen Normalen ST, und seine Entfernung ST von dieser ist nach früherem gleich ST, wo SS'T das um die Kathete S'T in den Grundriß umgelegte Dreieck SS'T bedeutet (SoS' = (S′′ --x)). Dann ist a GSH.

=

Die Halbierung

des Winkelsa kann nur nach seiner Darstellung in wahrer Größe gefunden werden. Die umgelegte Halbierungslinie i schneidet auf der Drehachse den ersten Spurpunkt J1 aus, woraus sich dann und ergeben.

83. Um den Win

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und B zu finden, zeichnen wir zunächst ihre Schnittlinie g mit ihren Spurpunkten G1 = a, × b1 und G2 = a, × b2 (Fig. 68). Eine

2

Normalebene N zu g schneidet A und B in den Schenkeln und g in dem Scheitel S des gesuchten Winkels ε. Die zweite Spur n2 von N ist senkrecht zu g′′ und wir ziehen sie etwa durch G1"; dann sind R = na und T = n, × b2 die Spurpunkte der Schenkel. Legen wir jetzt den Winkel = RST um n2 in die Aufrißebene nieder, so gelangt sein Scheitel S in eine bestimmte Lage S auf g", denn SS" muß senkrecht zur Drehachse n2 sein. Dabei ist G1"S das von G," auf g gefällte Lot und G," So ist seine wahre Länge. Diese finden wir, indem wir g um g" in die Aufrißebene als go umlegen und von G," das Lot G1"S0 auf go fällen (G1"G1°= G1′′ G1, RST der gesuchte Winkel oder

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G1o auf në g′′). Schließlich ist dessen Nebenwinkel.

1 0

1

Um die zu A und B gehörigen Winkelhalbierungsebenen und ▲ zu bestimmen, schneide man n, mit den beiden Geraden, die den umgelegten Winkel & und seinen Nebenwinkel halbieren, in den Punkten U und V; es sind dies die zweiten Spurpunkte der Winkelhalbierenden von & und seinem Nebenwinkel. Da die gesuchten Ebenen je eine dieser Geraden enthalten müssen, so ist c2 und d2 = G2, während c, und d1 aus G1 nach ihren Schnittpunkten Imit der Achse zu ziehen sind.

2

=

G2 U

2

Der Winkel zweier Ebenen ist dem von ihren Normalen ein

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geschlossenen gleich. Man kann daher von einem beliebigen Punkte die Lote. auf diese Ebene fällen und deren Winkel nach 82 bestimmen.

84. Der Neigungswinkel a einer Geraden 9 gegen eine Ebene E ergänzt den Winkel zwischen g und der Ebenennormale zu einem Rechten. Man fälle daher aus irgend einem Punkte S von g auf E ein Lot n und bestimme die wahre Größe des Winkels B = gn nach dem in Zu diesem Zweck lege man

etwa 8 um die Verbindungslinie G.N2 der zweiten Spurpunkte

2 2

von g und n in die zweite Tafel um. Mit ist auch der Winkel α = R B bekannt.

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Di

A

99

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85. Die Bestimmung der wahren Gestalt eines in beiden Projektionen gegebenen Dreiecks ABC durch Paralleldrehung seiner Ebene zu einer Tafel. Man schneide die Dreiecksebene mit einer zur Aufrißtafel parallelen Hilfsebene π in der Hauptlinie a = DE, die als Achse der Drehung dienen soll. Die Paralleldrehung zu П2 kann man dann als Umlegung um a in die Ebene П auffassen. Der Aufriß des gedrehten Dreiecks ABCA wird seine wahre Gestalt zeigen, der Grundriß in die Gerade a fallen (Fig. 70). Der Eckpunkt A beschreibt einen Kreisbogen, dessen Ebene auf a normal steht und dessen Aufriẞ folglich in die zu a' senkrechte Gerade "G" fällt. Der Radius dieses Bogens ist das von A BK auf a gefällte Lot AG und bildet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit

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B

B

Fig. 70.

-a'

E

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den Katheten AF = (ATT) und FG = (Fa); erstere erscheint mit ihrer wahren Länge im Grundriß 'F", letztere im Aufriß F"G" (A'F" a', F"G" I a", F"A"). Dieses rechtwinklige Dreieck AFG sowie die Bahnkurve AA des Punktes A zeichnen wir, um FG in die Hilfsebene П umgelegt, im Aufriß als Dreieck "F"G" und Kreisbogen "A". Da man nun A′′ kennt, kann die weitere Konstruktion mit Benutzung der Affinität erfolgen; a" ist die Affinitätsachse und 4" und " sind ein Paar entsprechender affiner Punkte (A"B" × Â ̧"B ̧ ̧" auf a", B′′В ̧"l a′′).

Nach dem auseinandergesetzten Verfahren kann die wahre Gestalt jeder durch ihre Projektionen gegebenen ebenen Figur ermittelt werden.

86. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Geraden g. P und g seien durch ihre Projektionen gegeben. Ein erster Weg zur Ermittelung des Abstandes PQ = (P−g) ist folgender. Man bestimme mittels zweier Hauptlinien h1 und h2

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