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die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Ebene gegen eine der Tafeln wird der Neigungswinkel von irgend einer gleichnamigen Falllinie der Ebene verstanden. Er wird bestimmt, indem man ihn entweder (wie in 75) in die ungleichnamige Tafel, oder um den einen Schenkel in die gleichnamige Tafel umlegt. Um Sj zu finden, ziehen wir (Fig. 62) FxF2' normal zu 6j als Grundriß einer ersten Falllinie mit den Spurpunkten Fx und F2 und zeichnen nach dem früheren Verfahren sj ^LF^F^L_F^F,'. Um e2 zu bestimmen, normal als Aufriß einer

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zweiten Falllinie mit den Spurpunkten Gx und G2 und legen das Dreieck GxG2Gx" um seine Kathete G2G^' in die Aufrißebene als Dreieck G^G2G^' um, wodurch s2 = l_G^G2G{ erhalten wird (Gx"Gx = Gx"Gx °, G^'G^l. G^'Gt). Daß unter allen Geraden einer Ebene die Falllinien gegen die zugehörige Tafel den größten Neigungswinkel haben, ist schon oben (68) erwähnt worden. Erwägt man, daß der Neigungswinkel einer Ebene durch den gleichnamigen Neigungswinkel der Ebenennormale zu einem Rechten ergänzt wird, so folgt aus 75 für die Summe der Tafelneigungen einer Ebene die Beziehung: sj + s2 2: R.

78. Eine Ebene E mit den Neigungswinkeln 8j und «2 durch einen gegebenen Punkt Pzu legen. Durch einen Punkt A der Achse denken wir uns eine Gerade AB von beliebig gewählter Länge senkrecht zu E gezogen; sie besitzt die Neigungswinkel yx = R sx und y2 = R s2. Nun ziehen wir durch A senkrecht zur Achse zwei Gerade p und q, von denen die erste der Grundriß-, die zweite der Aufrißebene angehört (Fig. 63).

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Legen wir jetzt AB um p als Strecke ABb in die Ebene om und ebenso um q als Strecke AB" in die Ebene TT2, so schließen AB0 und AB0 mit der Achse die Winkel y2 resp. yx ein {AB°= AB0). Beim Rückwärtsdrehen von AB0 um p in die Raumlage AB beschreibt B0 einen Kreisbogen, sein Aufriß einen dazu kongruenten Kreisbogen und sein Grundriß eine Parallele zur Achse. Beim Bückwärtsdrehen von AB0 um q in die Raumlage AB beschreiben B0 und sein Grundriß kongruente Kreisbogen und sein Aufriß eine Parallele zur Achse. So ergeben, sich B' und B" als Schnittpunkte von je einem Kreisbogen und einer Parallelen zur Achse. (Es giebt wieder vier Lösungen wie in 76, die zu der in der Figur gezeichneten Lösung symmetrisch in Bezug auf die Tafelebenen sind.)

Die Spuren ex und e2 der gesuchten Ebene sind senkrecht zu AB' und AB". Zeichnet man eine in E liegende erste Hauptlinie h durch P und ihren Spurpuukt H2 (h" |[ x durch P', h' J_ AB' durch P'), so ist nur noch e2 durch H2 normal zu AB" und ex durch e2 x x normal zu AB' zu ziehen.

79. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Ebene E kann nach 69 in Verbindung mit 71 bestimmt

werden. Ebenso einfach ist folgender Weg. Ist l = PQ das gesuchte Lot, so lege man durch dasselbe eine Ebene N senkrecht zu TT2 (Fig. 64). Dann ist ihre Spur n2 = /" normal zu e2 und ihre Spur Hx normal zur Achse (n2 durch P", Bj x nj = iV auf x). Diese ~x Ebene N steht auf e2 senkrecht und schneidet E in einer Falllinie F2Fx {F2 = n2 x e2 und Fx = Wj x ej, die ebenfalls zu dem gesuchten Lot rechtwinklig ist. Legt man also N um Fig. 64. die Spur w2 in TT2 um, so

gelangt die Falllinie in die Lage F^F2 und P in die Lage P (NF^0 J_ n2 und =NFx, PP" ±n2 und = PPx). Jetzt ziehe man die Gerade ^°J_ Fx°F2, welche auf der letzteren den Punkt und auf n2 den Spurpunkt L2 ausschneidet. Aus der Umlegung des Fußpunktes Q findet man rückwärts Q" auf l" durch eine zu n2 normale Gerade Q°Q" und hieraus Q. Pnist die wahre Länge des Abstandes.

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80. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Umlegung in eine der Tafeln. Eine ebene Figur und ihre Projektion auf eine Tafel sind affin und in affiner Lage und bleiben es auch, wenn die erstere um die bezügliche Spur ihrer Ebene (d. i. um ihre Affinitätsachse) in die Tafel umgelegt wird (vergl. 10). Durch Benutzung dieses Umstandes werden die zur Umlegung nötigen Operationen vereinfacht. Es sei beispielsweise ein Dreieck ABC durch die Spuren ex und e2 seiner Ebene E und seinen Aufriß Ä'B'G" gegeben, woraus sich der Grundriß in bekannter Weise ergiebt (Fig. 65). Zur Ermittelung seiner wahren Gestalt lege man das Dreieck um e2 in die Aufrißebene um. Man denke sich in E durch den Punkt A eine Falllinie /' gezogen (/' e2, f" J_ e2\ Diese lege man, um zunächst ihre Länge zwischen den Spurpunkten Fx und F2 zu finden, wie in voriger Nummer um f seitwärts in die Aufrißebene nieder als f0 = F2Fx0; sodann lege man sie um e2 in TT2 um als f°=FtFx°. Hieraus ergiebt sich die Umlegung ex° = EJF.^ von ev Die Umlegung A°B0C° des Dreiecks ABC aber kann als die affine Figur zu A"B"C" gezeichnet werden, da man außer der Affinitätsachse e2 zwei einander entsprechende Punkte F^ und F^" kennt (vergl. 11); die Affinitätsstrahlen sind normal zu e2. So ist B°B' J_ e2 und die Parallelen durch B" und resp. zu x und ex° treffen sich in einem Punkte von e2\ denn bei unserer Affinität

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entsprechen sich der Aufriß der Spur ej, d. h. die Achse x und ihre Umlegung ej°. Ferner schneiden sich B"C" und auf e2 und treffen x resp. ex° in entsprechenden Punkten u. s. f. — Man kann, die Umlegung eines jeden Punktes auch mittels seines Abstandes von der Drehachse e2 konstruieren, indem man den Umstand benutzt, daß sich dieser Abstand zu seiner Projektion jedesmal wie Fx0F2 zu F1"F2 verhält. So schneidet eine Parallele zu e2 durch B" auf f0 die wahre Länge des Abstandes (B —l e2) ab.

Die oben ausgeführte Umlegung der Falllinie /' und ihres Spurpunktes Fx um e2 nach und Fj° in die Aufrißebene läßt sich durch folgende Überlegung noch einfacher gestalten. Der Abstand des Punktes F, von Em erscheint sowohl im Grundriß als auch in der Umlegung in wahrer Länge, also FxEc Fx0Ex. Deshalb liegt F.0 sowohl auf einem Kreis mit dem Centrum E und dem Radius ExFx, als auch auf einer durch Fx" senkrecht zu e2 gezogenen Geraden.

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81. Affinität zwischen Grund- und Aufriß einer ebenen Figur. Die beiden Projektionen einer ebenen Figur sind affin und befinden sich nach der Umlegung der einen Tafel in die andere in

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