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71. Die wahre Länge einer durch ihre Projektionen gegebenen Strecke. Eine Strecke AB bildet mit ihrer ersten Projektion A'B' und den projizierenden Geraden ihrer Endpunkte ein ebenes, bei A und B rechtwinkliges Viereck A'ABB'. Dieses Trapez kann in der Grundrißebene verzeichnet werden, indem man (Fig. 58) in den Endpunkten von A'B′ die Normalen A'A ̧ und B'B。 errichtet und resp. gleich den ersten Tafelabständen der Punkte A und B, also gleich A'A resp. B'B macht. Die vierte Seite A B giebt die wahre Länge der Strecke B an. - Das Trapez l'AВ ̧Ð ́ stellt eine der beiden Lagen dar, die das Trapez A'ABB' annehmen kann, wenn es durch Drehung um die Grundlinie A'B' in die erste Tafel umgelegt wird. Das geschilderte Verfahren bezeichnet man daher als Umlegung der Strecke in eine Tafel um ihre bezügliche Projektion.

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Fig. 58.

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B'-c'

72. Wird von einem Endpunkte A der vorgelegten Strecke ein Lot AC auf BB' gefällt, so entsteht das rechtwinklige Dreieck ABC, dessen Hypotenuse die zu bestimmende Strecke ist und dessen Katheten resp. parallel und normal zum Grundriß sind (Fig. 58) (C'B', A"C" ||x). Die Kathete AC erscheint im Grundriß A'C' und die Kathete BC im Aufriß B"C" in wahrer Größe. Trägt man daher an den Grundriß A'C' die Strecke C'B C"B" unter rechtem Winkel an, so giebt A'B' die Streckenlänge an. Das Dreieck A'B'C' stellt den Grundriß des durch Drehung um seine horizontale Kathete AC in horizontale Lage gebrachten Dreiecks ABC dar. Unser Verfahren ist also anzusehen als eine Drehung der Strecke bis zum Parallelismus mit einer Tafel und zwar um eine Gerade, die durch einen Endpunkt der Strecke zu ihrer bezw. Projektion parallel läuft.

=

73. Endlich kann man auch noch folgende dritte Methode in Anwendung bringen. Man trage (Fig. 59) an die Strecke B"C" im Aufriß als andere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ABC die Strecke C"A" B'A' horizontal an und ziehe die Hypotenuse A "B", welche die gesuchte Strecke darstellt. Das Dreieck "B"C" kann als Aufriß des um seine vertikale Kathete BC zur Aufriẞebene

=

Bogen und sein Aufriß A "A" eine

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parallel gedrehten Dreiecks ABC angesehen werden. Bei dieser Drehung behalten die Punkte B und C ihre Lagen bei, während der Punkt A einen Kreisbogen AA in horizontaler Ebene beschreibt. Der Grundriß A′ dieses Bogens ist also ein kongruenter ΙΔ Parallele zur Achse. Nach der Drehung muß die Strecke zu П, parallel sein, also B'A x. Dieses dritte Verfahren führt also eine Drehung der Strecke bis zum Parallelismus mit einer Tafel aus und zwar um das aus einem Endpunkt auf die andere Tafel gefällte Lot. - Bei jedem der drei Verfahren zur Streckenbestimmung hat man die Wahl, ob man vom Grund- oder Aufriß, vom einen oder anderen Endpunkt ausgehen, so

Fig. 59.

r

wie auch ob man die Drehung im einen oder anderen Sinne vornehmen will.

74. Die Teilung einer durch ihre Projektion gegebenen Strecke AB nach vorgeschriebenem Verhältnis erfolgt auf Grund des Satzes, daß sich parallele Strecken, also insbesondere die Teilstrecken einer Geraden, wie ihre Projektionen verhalten (vergl. 6 d). Man teilt demnach die Projektionen A'B' und A′′B" in dem verlangten Verhältnis. Handelt es sich darum, auf AB eine Teilstrecke AC von gegebener Länge aufzutragen, so müssen nach einer der in 71-73 gegebenen Methoden die wahre Größe von AB gezeichnet, auf ihr die Strecke AC aufgetragen und durch Zurückdrehung die Projektionen gefunden werden.

75. Die Neigungswinkel 1 71 und einer Geraden g gegen 72 die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene versteht man den spitzen Winkel, den sie mit ihrer senk

Fig. 60.

rechten Projektion auf die Ebene

einschließt. Man erhält den Winkel 71 =

GGG durch Um

legung der Winkelebene um ihre zweite Spur G2G, in die zweite

1

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Tafel. Hierbei beschreibt der Scheitel G1 in der Grundrißebene einen Kreisbogen G, G, um G2, der auf der Achse endigt, und es ist 1 = G2G1°G. Analog findet man den Winkel 71⁄2 = ≤ G1G2G1" durch Umlegen in die erste Tafel als G, G2°G," (Fig. 60). Unter allen Winkeln, die eine Gerade mit den Geraden einer Ebene einschließt, ist ihr Neigungswinkel gegen dieselbe am kleinsten. Für jede Lage von g ist daher 1⁄2 ≤ L G1 G2 G2 ; da andererseits LG2G2G2 = G1°G2G2 = R — 7, ist, so folgt für die Summe der Tafelneigungen einer Geraden die Relation: 71⁄2 + 1⁄2 ≤ R.

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-

1

76. Durch einen Punkt P eine Gerade g mit den Neigungswinkeln 1 und 72 gegen die Tafeln zu legen.

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=

Man ziehe zunächst durch P eine Gerade 7 parallel zur Aufrißebene mit dem Neigungswinkel gegen die Grundrißebene. Ist L, ihr erster Spurx punkt, so ist also P"L"P=71 und P'L1 || x (Fig. 61). Dreht man nun / um die Vertikale PP', so behält sie ihren Neigungswinkel 7 gegen П, bei, während ihr Spurpunkt L1 einen Kreisbogen e in ПT, um P' beschreibt. Insbesondere kann durch eine solche Drehung in die Lage der gesuchten Geraden g übergeführt werden, deren Spurpunkt G1 muß also auf dem genannten Kreise liegen. Hierbei ist

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er so zu bestimmen, daß der Aufriß von PG, die Länge P'G," PG.cos 72 PL. cos y1⁄2= P"L". cos 72 erhält. Man zeichne demgemäß über P′′L," als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Kathete P"Q mit 7" den Winkel 71⁄2 einschließt, und schlage um P" mit dem Radius P"Q einen Kreisbogen, so schneidet dieser die Achse in G"; denn dann ist P"G," P"Q=P"L". cos 72 wie verlangt. Der Spurpunkt G1 liegt auf c senkrecht unter G,". Es giebt offenbar vier Lösungen unserer Aufgabe, nämlich die Geraden g, h, i und k, deren Spurpunkte G1, H1, J1 und K1 auf dem Kreise c liegen und die Endpunkte zweier in Bezug auf l' symmetrischer Durchmesser bilden. Eine andere Lösung ist in 78 enthalten.

=

77. Die Neigungswinkel &, und & einer Ebene E gegen

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die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Ebene gegen eine der Tafeln wird der Neigungswinkel von irgend einer gleichnamigen Falllinie der Ebene verstanden. Er wird bestimmt, indem man ihn entweder (wie in 75) in die ungleichnamige Tafel, oder um den einen Schenkel in die gleichnamige Tafel umlegt. Um ε, zu finden, ziehen wir (Fig. 62) F1F2 normal zu e als Grundriß einer ersten Falllinie mit den Spurpunkten Fund F und zeichnen nach dem früheren Verfahren & = < F2F, F,' = L F2F°F. Um E2 zu bestimmen, E2 ziehen wir G,G," normal zu e, als Aufriß einer

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1

0

2

2

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=

Fig. 62.

2

zweiten Falllinie mit den Spurpunkten G1 und G2 und legen das Dreieck G,G,G," um seine Kathete G,G," in die Aufrißebene als Dreieck G1°G,G," um, wodurch & G1°G,G," erhalten wird (G1"G1 = G1"G1°, G1"G1° G1"G2). Daß unter allen Geraden einer Ebene die Falllinien gegen die zugehörige Tafel den größten Neigungswinkel haben, ist schon oben (68) erwähnt worden. Erwägt man, daß der Neigungswinkel einer Ebene durch den gleichnamigen Neigungswinkel der Ebenennormale

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= R

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Β'

Nun ziehen wir

von beliebig gewählter Länge senkrecht zu E gezogen; sie besitzt die Neigungswinkel y1 = R & R& und 72 durch A senkrecht zur Achse zwei Gerade P und von denen die erste der Grundriß-, die zweite der Aufrißebene angehört (Fig. 63).

um

Legen wir jetzt AB um p als Strecke AB in die Ebene П, om und ebenso um q als Strecke ABo in die Ebene П2, so schließen AB。 und ABo mit der Achse die Winkel 7, resp. 71 ein (ABo= AB。). Beim Rückwärtsdrehen von AB, um p in die Raumlage AB beschreibt B einen Kreisbogen, sein Aufriß einen dazu kongruenten Kreisbogen und sein Grundriß eine Parallele zur Achse. Beim Rückwärtsdrehen von ABo um q in die Raumlage AB beschreiben Bo und sein Grundriß kongruente Kreisbogen und sein Aufriß eine Parallele zur Achse. So ergeben, sich B' und B" als Schnittpunkte von je einem Kreisbogen und einer Parallelen zur Achse. (Es giebt wieder vier Lösungen wie in 76, die zu der in der Figur gezeichneten Lösung symmetrisch in Bezug auf die Tafelebenen sind.)

Die Spuren e, und e, der gesuchten Ebene sind senkrecht zu AB' und AB". Zeichnet man eine in E liegende erste Hauptlinie h durch P und ihren Spurpunkt H2 (h" || x durch P", h' AB′ durch P'), so ist nur noch ег durch H2 normal zu AB" und e1 durch

eXx normal zu AB' zu ziehen.

79. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Ebene E kann nach 69 in Verbindung mit 71 bestimmt

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werden. Ebenso einfach ist
folgender Weg. Ist = PQ
das gesuchte Lot, so lege
man durch dasselbe eine
Ebene N senkrecht zu TT,
(Fig. 64). Dann
Dann ist ihre
Spur n," normal zu e
und ihre Spur n1 normal
zur Achse (n2 durch P",
n, x n = N auf 2). Diese
Ebene N steht auf e2 senk-
recht und schneidet E in
einer Falllinie F2F1 (F2
= n2 e2 und F1 = n1 × e1),
×
die ebenfalls zu dem ge-
suchten Lot rechtwinklig
ist. Legt man also N um
die Spur 7 in П, um, so
"2
gelangt die Falllinie in die

1

Lage FF und P in die Lage Po (NF ̧° 1 n2 und = NF1, PoP′′ ¦ n2 und PP). Jetzt ziehe man die Gerade 10 FF2, welche auf der letzteren den Punkt Q° und auf n den Spurpunkt L2 aus

=

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