resp. zu h' und h" parallel zu ziehen sind. Zur Konstruktion von Gund G1" dient aber die Bemerkung, daß A, C, H1, H‚1⁄2′′, H2, H1⁄2 und A, B, G1, G12′′, G2, G2'

zweier ähnlicher und ähnlich liegender Figuren sind, folglich ihr Ähnlichkeitscentrum ist. Zieht man daher durch A einen beliebigen Strahl r. welcher b2 und c2 in B' und C' schneiden mag, so sind BG," und B'G' resp. zu C'H" und C'H' parallel und demgemäß G2 und G1” bestimmbar.

60. Schneiden sich die gegebenen Ebenen A und B in einem Punkte A der Achse (Fig. 50), so benutzt man am einfachsten eine senkrecht zum Grundriẞ (oder Aufriẞ) gestellte Hilfsebener. Zuerst sucht man ihre Schnittlinien h und i mit A und B (h' dann ist S hxi ein Punkt der

=

=

Schnittgeraden g. Demnach ver

bindet g" den Punkt A mit S"h" × i" und g' den Punkt A mit S' (S' auf c1).

Aus dem folgenden (62) ergiebt sich eine einfache Konstruktion der Schnittlinie g zweier Ebenen A und B, wenn diese je durch ein Dreieck oder was wesentlich

auf dasselbe hinauskommt durch je zwei Gerade gegeben sind.

61. Der Schnittpunkt P einer Ebene E und einer Geraden k. Um P = Ex k zu be

H

stimmen, lege man eine beliebige Hilfsebene K durch k, zeichne die Schnittlinie i KX E, dann ist Pk xi. Insbesondere kann man =

wiederum durch keine vertikale Hilfsebene gelegt, welche die Dreiecksebene in einer Geraden i schneidet, diese trifft dann die Gerade k in dem gesuchten Punkte Pkxi (Fig. 52). Die Gerade i, deren Grundriß sich mit k deckt, mag die Seiten a und b

Fig. 52.

62. Auf Grund des soeben erklärten Verfahrens wird auch die Schnittlinie 9 der Ebenen zweier gegebener Dreiecke ABC und DEF gefunden. Man suche nämlich ganz wie vorher die Schnittpunkte P und Q der Seiten d EF und e= DF des zweiten Dreiecks mit der Fläche des ersten Dreiecks, dann ist g"P"Q" und g' P'Q' (Fig. 53). Zur Darstellung des Schnittpunktes dreier Ebenen, P=AX BX г, konstruiere man zuerst die Schnittlinien g = A X B und h BX zweier Ebenenpaare und aus diesen den gemeinsamen Punkt P=gh nach einer der angeführten Methoden.

=

=

=

2

63. Für die Schnittpunkte S und T einer Geraden g mit den beiden Halbierungsebenen H, und H2 mag beiläufig eine einfache Konstruktion angegeben werden, die sich aus den besonderen Eigenschaften der letzteren ergiebt (vergl. 41). Der Grundriß S' und Aufriß S" liegen auf g' bezw. g' symmetrisch zur Achse (Fig. 54); hieraus folgt, daß sie der durch M = G1G2 Xx gezogenen Normalen zur Achse

=

2

an

gehören, was zu ihrer Konstruktion dient. In der That hat man: S"M: G2G2' = G1"M: G1"G2'=G1S': G1G2' ·MS': G2G2', d. h. S′′ M = MS'. Die beiden Projektionen T' und 7" von T liegen im Schnittpunkt g×g" vereinigt.

2

64. Durch einen Punkt P die gemeinsame Sekante s zweier Geraden g und h zu ziehen. Man konstruiere die Ebene E = Pg, schneide sie mit h in R, dann ist PR die gesuchte Sekante, die auch g in einem Punkte Q schneidet, da sie mit g in der gemeinsamen Ebene E liegt. Bei Ausführung der Konstruktion (Fig.55)zeichne man zuerst in beiden Projektionen die Parallele i zu g durch P und betrachte E als durch die parallelen Geraden g und gegeben, so daß i nach 61 konstruiert werden kann.

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

s

Punkt, d. h. ist die Richtung der gemeinsamen Sekante von g und h gegeben, so ziehe man in dieser Richtung durch irgend einen Punkt von g eine Gerade i und schneide wiederum die Ebene E = gi mit h in R. Die durch R gezogene Parallele zu ist die fragliche gemeinsame Sekante.

Fig. 55.

R

65. Auf Grund der vorangehenden Entwickelungen kann leicht entschieden werden, ob drei Punkte in einer Geraden oder vier Punkte in einer Ebene liegen, ob drei Ebenen durch eine Gerade oder vier Ebenen durch einen Punkt gehen, ob eine Gerade zu einer Ebene parallel liegt und dergleichen mehr.

Gerade und Ebenen in rechtwinkliger Stellung. Abstände und Winkel. Die Umlegung in eine Tafel und die Drehung um die Parallele zu einer Tafel.

66. Die Grundlage unserer nächsten Entwickelungen bildet folgender Satz:

Ist ein Schenkel eines rechten Winkels zu einer Tafel parallel, so ist auch seine orthogonale Projektion auf dieselbe ein rechter Winkel. Sind nämlich g und h die Schenkel, und ist g|| П1 und 7 das Lot aus dem Scheitel auf П1, so ist g¦ 7; da zugleich gh, so ist auch ghl und ebenso g' hl, da g' || g ist. Wenn aber g auf der Ebene hl senkrecht steht, ist sie zu jeder in der Ebene liegenden Geraden rechtwinklig, also auch zu der Geraden h' hlx πT1. Offenbar kann der Satz in der allgemeineren Form ausgesprochen werden. Zwei normal zu einander gerichtete (windschiefe oder sich schneidende) Gerade g und h haben zu einander rechtwinklige Projektionen, wenn eine von ihnen zu der betreffenden Projektionsebene parallel ist.

=

67. Hieraus folgt weiter: Steht eine Gerade g auf einer Ebene E senkrecht, so sind ihre Projektionen zu den gleichnamigen Spuren der Ebene rechtwinklig. Es ist

nämlich g, wie zu allen Geraden der Ebene E, so insbesondere zu ihren Spuren e, und es normal, also nach dem vorigen Satze gle1 und g′′ 1. 2.

68. Die in einer Ebene E rechtwinklig zu ihren ersten (zweiten) Hauptlinien gezogenen Geraden werden als erste (zweite) Falllinien bezeichnet, insofern sie unter allen Geraden von E die größte Neigung (oder den stärksten Fall) gegen die bezügliche Tafel haben. Die eine Projektion einer Falllinie steht senkrecht auf der gleichnamigen Ebenenspur, was unmittelbar aus dem Satze in 66 folgt.

Dies vorausgeschickt, können wir zur Besprechung der in der Überschrift dieses Abschnittes bezeichneten Fundamentalaufgaben und der zu ihrer Lösung erforderlichen besonderen Methoden übergehen.

69. Das aus einem Punkte P auf eine Ebene E gefällte Lot 7 wird nach 67 gefunden, indem man seine Projektionen l' und l′′

resp. durch P' und P" und senkrecht zu e, und e, zieht. Sein Fußpunkt ergiebt sich als Schnittpunkt x E nach dem früher (61) entwickelten Verfahren (Fig. 56). Ein anderer Weg zur Darstellung, auf dem man zugleich die Länge des Lotes oder Abstandes (PE) erhält, findet sich in 75.

durch

70. Die Normalebene N zu einer Geraden g einen Punkt P. Die Spurlinien n1 und n, der gesuchten Ebene müssen rechtwinklig zu g' und g" liegen. Legt man also durch P eine erste Hauptlinie h unserer Ebene, so ist h' durch P' senkrecht. zu g und h" durch P" parallel zur Achse zu ziehen. Durch den Spurpunkt H2 von h geht dann die Spur n, und durch n2 × r die Spur n1 (n2 1 g′′, n1 1 g') (Fig. 57).

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