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63, Für die Schnittpunkte S und T einer Geraden g

mit den beiden Halbierungsebenen
eine einfache Konstruktion
angegeben werden, die sich
aus den besonderen Eigen-
schaften der letzteren er-
giebt (vergl. 41). Der Grund-
riß S' und Aufriß S" liegen
auf g hezw. g" symmetrisch
zur Achse (Fig. 54); hieraus
folgt, daß sie der durch
M = GxG2 x x gezogenen
Normalen zur Achse an-
gehören, was zu ihrer Kon-
struktion dient. In der
Thathatman: S"M:G2G2
= Gx"M:Gx"G2'=G^S': GxG2
= MS': G2G2, d.h.S"M=MS\
Die beiden Projektionen T'
und T" von T liegen im
Schnittpunkt g' x g" ver-
einigt.

64. Durch einen
Punkt P die gemein-
same Sekante s zweier
Geraden g und h zu
ziehen. Man konstruiere
die Ebene E = Pg, schneide
sie mit h in R, dann ist
Pll die gesuchte Sekante,
die auch g in einem Punkte
Q schneidet, da sie mit g
in der gemeinsamen Ebene E
liegt. Bei Ausführung der
Konstruktion(Fig.55)zeichne
man zuerst in beiden Pro-
jektionen die Parallele i
zu g durch P und betrachte
E als durch die parallelen
Geraden g und i gegeben,
nach 61 konstruiert werden

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Fig. 54.

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so daß der Schnittpunkt R = h x gi kann. — Ist P ein unendlich ferner

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Punkt, d. h. ist die Richtung der gemeinsamen Sekante s von g und h gegeben, so ziehe man in dieser Richtung durch

irgend einen Punkt von g eine y' Gerade i und schneide wiederum

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Fig. 55. und dergleichen mehr.

Gerade und Ebenen in rechtwinkliger Stellung. Abstände und Winkel, Die Umlegung in eine Tafel und die Drehung um die Parallele zu einer Tafel.

66. Die Grundlage unserer nächsten Entwickelungen bildet folgender Satz:

Ist ein Schenkel eines rechten Winkels zu einer Tafel parallel, so ist auch seine orthogonale Projektion auf dieselbe ein rechter Winkel. Sind nämlich g und h die Schenkel, und ist g \\ Wx und / das Lot aus dem Scheitel auf TTj, so ist g J_ l; da zugleich g ±h, so ist auch g ±hl und ebenso g' ± hl, da g || g ist. Wenn aber g auf der Ebene hl senkrecht steht, ist sie zu jeder in der Ebene liegenden Geraden rechtwinklig, also auch zu der Geraden h'= hl x T\v — Offenbar kann der Satz in der allgemeineren Form ausgesprochen werden. Zwei normal zu einander gerichtete (windschiefe oder sich schneidende) Gerade g und h haben zu einander rechtwinklige Projektionen, wenn eine von ihnen zu der betreffenden Projektionsebene parallel ist.

67. Hieraus folgt weiter: Steht eine Gerade g auf einer Ebene E senkrecht, so sind ihre Projektionen zu den gleichnamigen Spuren der Ebene rechtwinklig. Es ist nämlich g, wie zu allen Geraden der Ebene E, so insbesondere zu ihren Spuren ex und e2 normal, also nach dem vorigen Satze g' ± ex und g" X. e2

68. Die in einer Ebene E rechtwinklig zu ihren ersten (zweiten) Hauptlinien gezogenen Geraden werden als erste (zweite) Falllinien bezeichnet, insofern sie unter allen Geraden von E die größte Neigung (oder den stärksten Fall) gegen die bezügliche Tafel haben. Die eine Projektion einer Falllinie steht senkrecht auf der gleichnamigen Ebenenspur, was unmittelbar aus dem Satze in 66 folgt.

Dies vorausgeschickt, können wir zur Besprechung der in der Uberschrift dieses Abschnittes bezeichneten Fundamentalaufgaben und der zu ihrer Lösung erforderlichen besonderen Methoden übergehen.

69. Das aus einem Punkte P auf eine Ebene E gefällte Lot l wird nach 67 gefunden, indem man seine Projektionen V und l"

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resp. durch P' und P" und senkrecht zu ex und e2 zieht. Sein Fußpunkt Q ergiebt sich als Schnittpunkt l x E nach dem'früher (61) entwickelten Verfahren (Fig. 56). Ein anderer Weg zur Darstellung, auf dem man zugleich die Länge des Lotes oder Abstandes (P _\ E) erhält, findet sich in 75.

70. Die Normalebene N zu einer Geraden g durch einen Punkt P. Die Spurlinien und n2 der gesuchten Ebene müssen rechtwinklig zu g und g" liegen. Legt man also durch P eine erste Hauptlinie h unserer Ebene, so ist h' durch P' senkrecht zu g und h" durch P" parallel zur Achse zu ziehen. Durch den Spurpunkt H2 von h geht dann die Spur n2 und durch n2 x x die Spur nx{n2 ± g", nx ± g') (Fig. 57).

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71. Die wahre Länge einer durch ihre Projektionen gegebenen Strecke. Eine Strecke AB bildet mit ihrer ersten Projektion AB ' und den projizierenden Geraden ihrer Endpunkte ein ebenes, bei A und B ' rechtwinkliges Viereck ÄABB'. Dieses Trapez kann in der Grundrißebene verzeichnet werden, indem man (Fig. 58) in den Endpunkten von AB' die Normalen AA0 und B'B0 errichtet und resp. gleich den ersten Tafelabständen der Punkte A und B, also gleich A"Ax resp. B"Bx macht. Die vierte Seite A0Bo giebt die wahre Länge der Strecke AB an. — Das Trapez A'A0B0B'

stellt eine der beiden Lagen dar, die das Trapez AABB' annehmen kann, wenn es durch Drehung um die Grundlinie AB' in die erste Tafel umgelegt wird. Das geschilderte Verfahren bezeichnet man daher als Umlegung der Strecke in eine Tafel um ihre bezügliche Projektion.

72. Wird von einem Endpunkte A der vorgelegten Strecke^ ein Lot AC auf BB' gefällt, so entsteht das rechtwinklige Dreieck ABC, dessen Hypotenuse die zu bestimmende Strecke ist und dessen Katheten resp. parallel und normal zum Grundriß sind (Fig. 58) (C = B', A"C" || x). Die Kathete AC erscheint im Grundriß AC und die Kathete BC im Aufriß B"C" in wahrer Größe. Trägt man daher an den Grundriß AC die Strecke CBA' = C"B" unter rechtem Winkel an, so giebt ABA die Streckenlänge an. Das Dreieck ÄBAC stellt den Grundriß des durch Drehung um seine horizontale Kathete AC in horizontale Lage gebrachten Dreiecks ABC dar. Unser Verfahren ist also anzusehen als eine Drehung der Strecke bis zum Parallelismus mit einer Tafel und zwar um eine Gerade, die durch einen Endpunkt der Strecke zu ihrer bezw. Projektion parallel läuft.

73. Endlich kann man auch noch folgende dritte Methode in Anwendung bringen. Man trage (Fig. 59) an die Strecke B"C" im Aufriß als andere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ABC die Strecke C"AA = B'Ä horizontal an und ziehe die Hypotenuse AA"B", welche die gesuchte Strecke darstellt. Das Dreieck AA"B"C" kann als Aufriß des um seine vertikale Kathete BC zur Aufrißebene

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parallel gedrehten Dreiecks ABC angesehen werden. Bei dieser Drehung behalten die Punkte B und C ihre Lagen bei, während der Punkt A einen Kreisbogen AAA in horizontaler Ebene beschreibt. Der Grundriß AAdieses Bogens ist also ein kongruenter Bogen und sein Aufriß AA"A" eine Parallele zur Achse. Nach der Drehung muß die Strecke zu T72 parallel sein, also B'AA' || x. Dieses dritte Verfahren führt also eine Drehung der Strecke bis zum Parallelismus mit einer Tafel aus und zwar um das aus einem Endpunkt auf die andere Tafel gefällte Lot. — Bei jedem der drei Verfahren zur Streckenbestimmung hat man die Wahl, ob man vom Grund- oder Aufriß, vom einen oder anderen Endpunkt ausgehen, sowie auch ob man die Drehung im einen oder anderen Sinne vornehmen will.

74. Die Teilung einer durch ihre Projektion gegebenen Strecke AB nach vorgeschriebenem Verhältnis erfolgt auf Grund des Satzes, daß sich parallele Strecken, also insbesondere die Teilstrecken einer Geraden, wie ihre Projektionen verhalten (vergl. 6 8). Man teilt demnach die Projektionen ÄB ' und A"B" in dem verlangten Verhältnis. Handelt es sich darum, auf AB eine Teilstrecke AC von gegebener Länge aufzutragen, so müssen nach einer der in 71—73

gegebenen Methoden die wahre Größe von AB gezeichnet, auf ihr die Strecke AC aufgetragen und durch Zurückdrehung die Projektionen gefunden werden.

75. Die Neigungswinkel yx und y2 einer Geraden g gegen die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene versteht man den spitzen Winkel, den sie mit ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene einschließt. Man erhält den Winkel yx = l_ G2GxG2 durch Umlegung der Winkelebene um ihre zweite Spur G2G2' in die zweite

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