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und e2 der Verbindungsebene E = gh dar. Auf dieselbe Weise kommt man zum Ziele, wenn Ex unendlich fern liegt, also g und h beide zur Achse parallel laufen.

56. Wird die Verbindungsebene E eines Punktes P und einer Geraden k gesucht, so wähle man auf k einen Hilfspunkt Q nach Willkür, ziehe die Gerade t = PQ in beiden Projektionen und bestimme wie oben E = ih. Insbesondere kann man die Hilfsgerade t durch P zu k parallel annehmen. — Ist k eine unendlich ferne Gerade, d. h. die Stellung einer Ebene K, so ist die Aufgabe: Durch einen Punkt P Die Spuren und also auch Zieht

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Fig. 44.

eine Parallelebene E zu K zu legen

die Hauptlinien von E sind parallel zu den Spuren von K. man also /' parallel zu kx durch P und ?' parallel zu x durch P",

so ist / eine erste Hauptlinie von E (Fig. 44). Durch ihren zweiten Spurpunkt L2 geht dann e2 parallel zu h2 und durch Ex = e2 x x geht ej parallel kv

57. Ist die Verbindungsebene E dreier Punkte A, B, C durch ihre Projektionen Ä, B', C, A", B ', C" gegeben (Fig; 45), so sind zugleich die Projektionen der drei auf E liegenden Geraden a = BC,b = CA,c= AB bekannt. Man kann ihre Spurpunkte aufsuchen und erhält die Spuren ex und e2 der gesuchten Ebene wiederum als deren Verbindungslinien = AxBxCv e2 = A2B2C2).

Die Parallelebene E zu einer Geraden g durch eine

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Gerade h zu legen erscheint als ein spezieller Fall der voranstehenden Aufgabe, indem einer der drei Punkte ins Unendliche rückt. Man ziehe durch einen beliebigen Punkt P auf h eine Parallele i zu g, wobei man der Einfachheit halber i"mit g zusammenfallen lassen kann (g'x A'= F, P" . auf h", {' || g" durch P'). Die Spuren der Ebene E verbinden alsdann die gleichnamigen Spurpunkte der Geraden h und i; man hat also ex = JrxHx unde2 = J252(Fig.46).

Einen weiteren Spezialfall bildet die Aufgabe: Durch einen Punkt P eine Ebene E parallel zu zwei gegebenen Geraden g und h zu legen. Zieht man durch P' die Parallelen i' und k! resp. zu g' und h', ebenso durch P" die Parallelen i" und k"

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Fig. 46.

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resp. zu g" und h", so sind i und k zwei Gerade durch P und resp. zu und h parallel, welche die gesuchte Ebene E bestimmen. Ihre Spuren sind ex = JxKx und e2 = J2K2 (Fig. 47).

58. Die Schnittlinie g zweier Ebenen A und B. Man findet die Spurpunkte von g als Schnittpunkte der gleichnamigen Spurlinien der gegebenen Ebenen (Fig. 48a), nämlich Gx = axx bx, G2 = a2x b2, weiter durch Lote auf die Achse £/' und G2, schließlich die Projektionen der Schnittlinie g' = GxG2 und g" = Gx" G2. — Sind zwei gleichnamige Spuren der Ebenen, etwa ax und Äj, parallel, so ist auch die Schnittlinie g zu ihnen parallel (Fig. 48 b); daher ist g" parallel zur Achse durch G2 = a2 x b2 und g' parallel zu aj durch G2 zu ziehen. — Sind beide Ebenen, also auch ihre

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Spuren, sowie die Schnittlinie'zur Achse parallel, so schneide man sie mit einer beliebigen Hilfsebene E, die man etwa senkrecht zum Grundriß annehmen kann. Von den Schnittlinien h = A x E und i=BxE fallen die ersten Projektionen mit zusammen (Fig. 48 c); aus den zweiten Projektionen ergiebt sich der Aufriß ihres Schnittpunktes S = h x i und aus ihm der Grundriß aufer Die Projektionen g und g" der gesuchten Schnittgeraden sind nun durch S' resp. S" parallel zur Achse zu ziehen. 59. Liegen die Spurpunkte Gx = ax x bx und G2 = a2 x b2 der Schnittlinie g = A x B außerhalb der Zeichnungsfläche (Fig. 49), so lege man eine Hilfsebene T parallel zu einer der gegebenen, etwa zu B, so daß ihre Spuren cx und c2 die von A in erreichbaren Punkten und H2 schneiden. Dann zeichne man die Schnittlinie h = A x T in Grund- und Aufriß und suche auf der Achse die Punkte G2 und Gx, durch welche die Projektionen g' und g"

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resp. zu h' und h" parallel zu ziehen sind. Zur Konstruktion von G2 und Gj" dient aber die Bemerkung, daß A, C, Hx, H^', HQ, ff,' und A, B, Gv G{, G2, G2' entsprechende Punkte zweier ähnlicher und ähnlich liegender Figuren sind, folglich A ihr Ähnlichkeitscentrum ist. Zieht man daher durch A einen beliebigen Strahl r. wel

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C schneiden mag, so sind B Gx" und B ' G2 resp. zu Cfli" und CH2 parallel und demgemäß G2 und G^' bestimmbar.

60. Schneiden sich die gegebenen Ebenen A und B in einem Punkte A der Achse (Fig. 50), so benutzt man am einfachsten eine senkrecht zum Grundriß (oder Aufriß) gestellte Hilfsebene f". Zuerst sucht man ihre Schnittlinien h und i mit A und B (h' = i = Cj), dann ist S h x i ein Punkt der Schnittgeraden g. Demnach verbindet g" den Punkt A mit S" = h" x i" und g den Punkt A mit S' (S' auf Cj).

Aus dem folgenden (62) ergiebt sich eine einfache Konstruktion der Schnittlinie g zweier Ebenen A und B, wenn diese je durch ein Dreieck oder — was wesentlich auf dasselbe hinauskommt — durch je zwei Gerade gegeben sind.

61. Der Schnittpunkt P einer Ebene E und einer Geraden k. Um P = E x k zu be

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stimmen, lege man eine beliebige Hilfsebene K durch k, zeichne die Schnittlinie i=KxE, dann ist P = k x i. Insbesondere kann man

die Ebene K senkrecht zum Grundriß wählen, so daß ihre erste Spur mit k' zusammenfällt und ihre zweite Spur senkrecht zur Achse wird (Fig. 51); dann ist P' = i" x k" und P' liegt senkrecht darunter auf k = i.

Ist die Ebene E durch ein Dreieck ABC mit den Seiten AB=c, BC a, C'A = b gegeben, so denke man sich Hilfsebene gelegt, welche die schneidet, die3e trifft dann die

Die

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Fig. 51.

wiederum durch k eine vertikale Dreiecksebene in einer Geraden

Gerade k in dem gesuchten Punkte P = k x i (Fig. 52). Gerade i, deren Grundriß i sich mit K deckt, mag die Seiten a und b

in Q und R schneiden, also Q'=ä' X i und R' = b' x i, ferner Q" auf a" und R" auf b". Hiermit ist i" = Q"R" und auch P = i" x k" gefunden, der zugehörige Grundriß P' liegt senkrecht darunter auf k'. — Die gleiche Konstruktion führt auch zum Ziel, wenn die Ebene E durch zwei parallele Gerade bestimmt ist.

62. Auf Grund des soeben erklärten Verfahrens wird auch die Schnittlinie g der Ebenen zweier gegebener Dreiecke ABC und BEF gefunden. Man suche nämlich ganz wie vorher die Schnittpunkte P und Q der Seiten d = EF und e = BF des zweiten Dreiecks mit der Fläche des ersten Dreiecks, dann ist g" = P" Q" und (/' = P'Q' (Fig. 53). — Zur Darstellung des Schnittpunktes dreier Ebenen, P=A x B x V, konstruiere man zuerst die Schnittlinien g = A x B und h = B x V zweier Ebenenpaare und aus diesen den gemeinsamen Punkt P gxh nach einer der angeführten Methoden.

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