52. Die in einer Ebene E parallel zur ersten oder zweiten Tafel, folglich auch parallel zu den gleichnamigen Spuren gezogenen Geraden heißen erste oder zweite Hauptlinien (Streichlinien) von E. Die eine Projektion einer Hauptlinie ist parallel zur gleichnamigen Spur (und zu ihr selbst), die andere zur Achse. Die Hauptlinien vertreten oft bei Konstruktionen die Spuren; letztere sind Hauptlinien von spezieller Lage. 53. Wie zu einer Projektion eines auf gegebener Geraden g gelegenen Punktes die andere Projektion, oder zu einer Spur einer durch g gehenden Ebene E die andere Spur gefunden wird, ist aus dem Vorhergehenden unmittelbar zu entnehmen. Die Aufgaben: Aus einer Projektion eines Punktes P und den 2 2 2 2 durch den Spurpunkt H2 auf e2 geht (H2 = h' × x, H'H2 | x); P" liegt dann auf h''. Im anderen Falle sei neben P' und P" die Spur e, gegeben. Man lege auch hier eine erste Hauptlinie h durch P, ziehe also h' durch P' parallel zu e, und h" durch P" parallel zu x; dann liegt H2 senkrecht über l' × ≈ und die gesuchte Spur e verbindet H2 und E Statt der Hauptlinie h kann man in beiden Fällen auch eine beliebige in E durch P gezogene Gerade benutzen. Zieht man z. B. durch P' parallel r, so ist J, Xe, der erste Spurpunkt einer in E liegenden Geraden i. Der zu J, gehörige Aufriß liegt auf der Achse, durch diesen zieht man " und zwar im ersten Falle parallel zu e2 und im zweiten durch P'', woraus sich dann entweder P" oder e, ergiebt. = Auf Grund der angeführten Sätze können eine Reihe von Fundamentalaufgaben gelöst werden, welche sich darauf beziehen, Punkte, Gerade und Ebenen, durch ihre Projektionen, resp. Spuren darzustellen, wenn dieselben ursprünglich auf andere Weise definiert sind. = = 54. Die Verbindungslinie g zweier Punkte P und Q. Sind P und endliche Punkte, so hat man nur g' P'Q' und g": P"Q" zu ziehen. - Liegt einer der Punkte, etwa Q, unendlich fern, d. h. bildet er die Richtung einer gegebenen Geraden q, so lautet die Aufgabe: Eine Gerade g parallel zu einer Geraden g durch einen Punkt P zu legen. Hier zieht man g' parallel zu g durch P und g" parallel q′′ durch P". 55. Die Verbindungsebene E zweier sich schneidender oder paralleler Geraden g und h. Aus den Projektionen von g 2 und h findet man zuerst deren Spurpunkte G1, G2, H1, H2, hierauf die Spuren der Verbindungsebene E = gh als e1 = G1 H1 und e1 1 e2 e2 = G2H2 (Fig. 36, 37 u. 38). Liegen die Spurpunkte teilweise oder sämtlich außerhalb der Zeichnungsfläche, so benutzt man zwei Hilfsgeraden i und k (Fig. 42), welche g und h gleichzeitig schneiden, bestimmt deren Spurpunkte J, J, K1, K2 und erhält hierauf die Spuren der Verbindungsebene E=gh = ik als e1 = JK, und e=JK. Eventuell genügt schon eine Hilfsgerade i Ähnlich kann man verfahren, wenn sich die gegebenen Geraden auf der Achse in E schneiden. Man zieht eine beide Gerade schneidende Hilfsgerade i in beiden Projektionen und verbindet ihre Spurpunkte J, und J mit E (Fig. 43). Diese Verbindungslinien stellen die Spuren e1 und e2 der Verbindungsebene Egh dar. Auf dieselbe Weise kommt man zum Ziele, wenn E, unendlich fern liegt, also 9 und h beide zur Achse parallel laufen. x 56. Wird die Verbindungsebene E eines Punktes P und einer Geraden k gesucht, so wähle man auf keinen Hilfspunkt nach Willkür, ziehe 57. Ist die Verbindungsebene E dreier Punkte A, B, C durch ihre Projektionen A', B, C, A", B", C" gegeben (Fig. 45), so sind zugleich die Projektionen der drei auf E liegenden Geraden α = BC, b = CA, c = AB bekannt. Man kann ihre Spurpunkte aufsuchen und erhält die Spuren e und e2 der gesuchten Ebene wiederum als deren Verbindungslinien (e1 = A1 B11, е2 = A,B,C). 2 Die Parallelebene E zu einer Geraden g durch eine Gerade h zu legen erscheint als ein spezieller Fall der voranstehenden Aufgabe, indem einer der drei Punkte ins Unendliche rückt. Man ziehe durch einen beliebigen Punkt P auf h eine Parallele i zu g, wobei man der Einfachheit halber ¿'mit g' zusammenfallen lassen einen Punkt P eine Ebene E parallel zu zwei gegebenen Geraden g und h zu legen. Zieht man durch P' die Parallelen i und k' resp. zu g' und h', ebenso durch P" die Parallelen i" und k" Fig. 47. resp. zu g" und h", so sind i und k zwei Gerade durch P und resp. zu g und h parallel, welche die gesuchte Ebene E bestimmen. Ihre Spuren sind e1 = JK, und e2 = J,K2 (Fig. 47). 58. Die Schnittlinie g zweier Ebenen A und B. Man findet die Spurpunkte von g als Schnittpunkte der gleichnamigen Spurlinien der gegebenen Ebenen (Fig. 48a), nämlich G1 = a, × b1, G2 = a2 × b2, weiter durch Lote auf die Achse G1" und G2', schließlich die Projektionen der Schnittlinie g' G1G2 und g′′ = 2 = G1" G2. Sind zwei gleichnamige Spuren der Ebenen, etwa a1 und b1, parallel, so ist auch die Schnittlinie g zu ihnen parallel (Fig. 48b); daher ist g" parallel zur Achse durch G2a, × b2 und g' parallel zu a, durch G2 zu ziehen. Sind beide Ebenen, also auch ihre = Spuren, sowie die Schnittlinie g zur Achse parallel, so schneide man sie mit einer beliebigen Hilfsebene E, die man etwa senkrecht zum Grundriß annehmen kann. Von den Schnittlinien h = A X E und i B × E fallen die ersten Projektionen mit e, zusammen (Fig. 48c); aus den zweiten Projektionen ergiebt sich der Aufriß ihres Schnittpunktes Shi und aus ihm. der Grundriß auf e,. Die Projektionen g' und g′′ der gesuchten Schnittgeraden sind nun durch S' resp. S" parallel zur Achse zu ziehen. 2 59. Liegen die Spurpunkte G1 = a1 × b1 und G2 = a, b2 der Schnittlinie gAX B außerhalb der Zeichnungsfläche (Fig. 49), so lege man eine Hilfsebene parallel zu einer der gegebenen, etwa zu B, so daß ihre Spuren c, und c, die von A in erreichbaren Punkten H1 und H2 schneiden. Dann zeichne man die Schnittlinie hAX in Grund- und Aufriß und suche auf der Achse die Punkte G und G", durch welche die Projektionen g' und g" = |