Kreise und der Kanten des Abakus und erhält so dessen Schlagschatten auf dem Echinus. Die Grenzlinie verläuft im Aufriß bis zu der Ecke E* gerade, dann krummlinig und endigt auf der Lichtgrenze mit zu zul" paralleler Tangente. Zuletzt sind noch einige Details in die Zeichnung einzutragen, welche die am Säulenhals auftretenden Schatten betreffen. Auch hierbei geht man vom Grundrißschatten aus und benutzt das Verfahren der rückwärts durchlaufenen Lichtstrahlen. Litteraturnachweise und historische Anmerkungen. I. Kapitel. 1) Die Verwandtschaft der Ähnlichkeit zwischen ebenen Figuren ist schon von den Geometern des Altertums in Betracht gezogen worden und ebenso ihre ähnliche Lage, z. B. von Euklides (Elemente (ca. 300 v. Chr.), Ausg. v. Heiberg, Leipzig 1883/88. VI, 18; XI, 27). Die Bezeichnung: Ähnlichkeitscentrum (centrum similitudinis) tritt bei L. Euler auf (Nov. Act. Petrop. IX, p. 154). M. Chasles nennt ähnlichliegende Figuren homothetisch (Ann. de math. p. Gergonne, XVIII, p. 280). Wegen der auf solche Figuren anwendbaren allgemeinen Begriffe: kollinear, homographisch, homologisch, perspektiv vergleiche man die späteren Noten. Wie M. Chasles berichtet (Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géometrie, Paris 1837, 2. Aufl. 1875, p. 553), hat A. C. Clairault (Mém. de l'Acad. d. Sc., Paris 1731) die durch Parallelprojektion herstellbare Verwandtschaft ebener Figuren schon vor L. Euler untersucht, von dem sie den Namen Affinität erhalten hat (,,de similitudine et affinitate linearum curvarum", Introd. in anal. infin., Lausanne 1748, II, 18, p. 239 ff.). J. V. Poncelet bespricht die affinen Figuren als spezielle Fälle seiner „,figures homologiques" (Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822, p. 174 ff.). In allgemeinerem Sinne wurde die Affinität aus analytischem Gesichtspunkte von A. F. Möbius betrachtet (Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, II, 3. p. 191 ff.). Für die Zwecke der Darstellung legte J. H. Lambert die Gesetze der Parallel projektion dar (,,v. d. perspektivischen Entwerfung aus einem unendlich entfernten Gesichtspunkte“, Freie Perspektive, Zürich 1774, VII, p. 156 ff.). Aus diesen Prinzipien folgerte K. Pohlke den Hauptsatz der Axonometrie (nach H. A. Schwarz, Crelle's Journ. Bd. 63, im J. 1853 gefunden, aber erst veröffentlicht in der Darstell. Geom., Berlin 1860, 4. Aufl. 1876, p. 109). II. Kapitel. 2) Die Keime zum Grund- und Aufrißverfahren zeigen sich bereits in der „Ichnographie“ und „Orthographie" der Alten, von denen M. Vitruvius Pollio spricht (De architectura libri decem, I, 2; Ausg. v. V. Rose, Leipzig 1899, p. 10). Ihre einfachen Regeln wurden in der mittelalterlichen Rißkunst fortentwickelt und z. B. von A. Dürer (Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit, Nürnberg 1525) zusammengestellt. Der Steinschnitt bildete das wichtigste Anwendungsgebiet; seine Aufgaben finden sich geometrisch behandelt bei G. Desargues (Coupe des pierres, 1640; Oeuvres p. Poudra, Paris 1876, p. 304 ff.) und bei M. Frézier (La théorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, ou traité de stéréotomie, Straßburg 1737—39). Indessen entbehrte bis dahin das Darstellungsverfahren noch einer einheitlichen theoretischen Grundlage, die ihm erst von G. Monge gegeben wurde (Géometrie descriptive, Paris 1798; 6. Aufl. v. M. Brisson mit Zusätzen: théorie des ombres et de la perspective, Paris 1838; deutsch v. R. Haussner, Leipzig 1900). Monge gab den beiden Projektionstafeln eine bestimmte Verbindung untereinander, indem er ihre Schnittlinie (oder Achse) fixierte und um sie die eine Tafel in die andere umlegte; er bestimmte die Punkte, Gerade, Ebenen eindeutig durch ihre Projektionen, bezw. Spuren, stellte ebenso krumme Linien und Flächen dar (letztere mit Hilfe ihrer Erzeugenden) und löste zahlreiche Aufgaben, die zuvor nur analytisch behandelt worden waren, durch die Konstruktion. Insofern Monge nicht nur die Ziele und Aufgaben der darstellenden Geometrie klar zu definieren vermochte, sondern auch ihre Hauptmethode systematisch und vollständig entwickelte, gilt er mit Recht als ihr wissenschaftlicher Begründer. Die Lehren der deskriptiven Geometrie verbreiteten sich rasch, wozu ihre vielseitige Anwendbarkeit in den technischen Wissenschaften nicht wenig beitrug, und wurden durch die Untersuchungen zahlreicher neuerer Autoren erweitert und vertieft. Es mögen hier nur einige umfassendere Werke genannt werden: 1 C. F. A. Leroy, Traité de géom. descr., Paris 1842; Traité de stéréo- G. Bellavitis, Lezioni di geometria descrittiva, Padua 1851, 2. Aufl. 1868. A. Mannheim, Cours de géom. descr., Paris 1880. G. A. v. Peschka, Darstell. u. proj. Geom., 4 Tle., Wien 1883-85. Die neue Disziplin übte alsbald nach ihrem Auftauchen einen befruchtenden Einfluß in anderen Zweigen der geometrischen Wissenschaft aus; so namentlich in der neueren synthetischen Geometrie. Indem diese das gesetzinäßige Aneinanderreihen der Elemente, das Projizieren und Schneiden als Erzeugungs- und Transformationsprinzip aufnahm, erstand in der (reinen) Geometrie der Lage und in der (die Mittel der Analysis nicht ausschließenden) projektiven Geometrie die synthetische Raumlehre der Mathematiker des Altertums in vollkommenerer Form zu frischem Leben. Wir nennen einige Hauptwerke dieser Richtung: L. N. M. Carnot, Géom. de position, Paris 1801; deutsch v. Schuh- Ch. J. Brianchon, Mém. sur les lignes du 2ième ordre, Paris 1817. 1 Die älteren Schriften von S. F. Lacroix, M. Hachette, G. Schreiber, B. Gugler, Th. Olivier u. a. sind hier nicht mit aufgeführt. Ebenso wurde von Monographien abgesehen, die zum Teil weiterhin noch zu citieren sein werden. J. Steiner, Systemat. Entwickelung d. Abhängigkeit geometrischer Ge- M. Chasles, Mém. de géom. sur deux principes généraux, la dualité et Th. Reye, Die Geom. d. Lage, Leipzig 1866—67; 3. Aufl. 1886-92. L. Cremona, Elementi di geometria projettiva, Turin 1873; deutsch v. Die von den neueren Autoren hergestellte enge Verbindung zwischen der darstellenden und projektiven Geometrie brachte es naturgemäß mit sich, daß die Centralprojektion als allgemeinstes Verfahren zum Ausgangspunkt für die Entwickelung der deskriptiven Methoden erhoben wurde. Dies betont namentlich W. Fiedler (Darst. Geom. 3. Aufl. I, p. 357). Wenn wir im vorliegenden Lehrbuche uns mehr dem ursprünglichen Gedankengange Monge's angeschlossen und die Parallelprojektion (speziell das Grund- und Aufrißverfahren) in den Vordergrund gestellt haben, so erklärt sich dies aus den damit verbundenen didaktischen Vorteilen und aus der überwiegenden Bedeutung, welche die Methode Monge's vor anderen in den technischen Anwendungen erlangt hat. III. Kapitel. 3) Die Aufgaben über die körperliche Ecke wurden von Monge nur gestreift (Géom. descr. 1798, p. 28); ihre konstruktive Lösung findet sich aber vollständig und zwar auch unter Verwendung des supplementären oder Polardreikantes bei M. Hachette (Traité de géom. descr., Paris 1822, p. 122 ff.). G. Bellavitis verband mit der Konstruktion die Ableitung der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie (Lez. d. geom. descr. Padua 1851, p. 43 ff.). Man vergl. über diesen Gegenstand: F. Hemming (Zeitschr. f. Math. u. Phys. XVII. 1872, p. 159). Die Relation zwischen den Anzahlen der Ecken, Flächen und Kanten eines (einfach zusammenhängenden) Polyëders wurde von L. Euler 1752 (Nov. Comm. Petrop. IV, p. 109 u. 156) gegeben. 4) L. Poinsot (Mém. sur les polygones et les polyèdres, Journ. de l'école polyt. 1810, cah. X, p. 16) untersuchte eingehend die Polyeder zweiter Art. Vergl. V. Eberhard (Zur Morphologie der Polyëder, Leipzig 1891). IV. Kapitel. 5) Die im Altertum nur zu einem kleinen Teile bekannten Regeln der Centralprojektion (Perspektive) wurden im Zeitalter der Renaissance Gegenstand lebhaften Interesses. Mathematisch wurden sie zuerst von G. Ubaldo (Perspectivae libri sex, Pisauri 1600) und S. Stevin (Oeuvres math., 1605—1608, V, 1. Ausg. v. Girard, Leyden 1634, p. 521 ff.) behandelt. Die „perspektive" Raumauffassung, nach der man einer Geraden nur einen unendlich fernen Punkt, einer Ebene eine unendlich ferne Gerade zuschreibt, hat schon G. Desargues (Oeuvres p. Poudra, I, p. 103 ff.). Der Satz von der perspektiven Lage zweier Dreiecke, deren homologe Seiten sich auf einer Geraden schneiden (woraus der Satz in 162 folgt) rührt ebenfalls von Desargues her (a. a. O. p. 413). Weitere Fortschritte in der Darstellung durch Centralprojektion verdankt man W. J. van s'Gravesande (Essai de perspective, Haag 1711), Brook Taylor (New principles of linear perspective, London 1719), F. H. Lambert (Freie Persp., Zürich I. 1759, II. 1774) und später B. E. Cousinery (Géom. persp. ou principes de proj. polaire etc., Paris 1828). Die Untersuchungen dieser Autoren richteten sich auf die Enwickelung der graphischen Methoden, beschränkten sich indessen nicht auf die Abbildung der ebenen Figuren, sondern behandelten auch körperliche Gebilde. Aber auch von den Gesichtspunkten der reinen synthetischen und der analytischen Geometrie aus betrachtet gewannen die aus der Centralprojektion entspringenden Beziehungeu zwischen den Raumformen ein allgemeineres Interesse und forderten zu ihrer Untersuchung heraus. Wir erwähnen J. V. Poncelet, der auf sie die Ausdrücke: „,figures homologiques, centre, axe d'homologie" anwandte (Propr. proj. 297, p. 159). A. F. Möbius definiert seine ,,kollinearverwandten" Figuren durch die Bedingung, daß den Punkten einer geraden Linie in der ersten stets die Punkte einer geraden Linie in der andern Figur entsprechen (Baryc. Calcnl, VII, p. 301); er hebt hervor, daß die Pro jektionen ebener Figuren auf eine zweite Ebene zur Kollinearverwandtschaft führen (p. 321, Anm.), und beweist, daß sich je zwei kollineare ebene Figuren auf unendlich viele Arten in centrale Lage bringen lassen, wenn man zwei entsprechende Vierecke derselben kennt (p. 327). Von L. J. Magnus (Aufg. u. Lehrsätze a. d. analyt. Geom., Berlin 1833) rühren die heute gebräuchlichen Namen:,,Kollineation, kollinear, Kollineationsachse, etc.“ her (a. a. O. p. 31, 43, 44). Bei M. Chasles tritt die Kollineation in dem „principe d'homographie“ (Aperçu histor., p. 261) als wichtigstes Mittel zur Generalisierung der Eigenschaften der Raumformen auf. Die Abschnitte: Perspektive Grundgebilde (p. 144 ff.), Harmonische Grundgebilde, Vierseit und Viereck (p. 156 ff.) behandeln in der für unsere Zwecke geeigneten Form die Grundbegriffe der Geometrie der Lage. Näheres hierüber findet man in den obengenannten Werken von Steiner, von Staudt u. a. 6) Präzise Festsetzungen, nach denen die Messung von Strecken und Winkeln eindeutig ausgeführt werden kann, verdankt man im Wesentlichen Möbius, ebenso die Einführung des Begriffes: Doppelverhältnis (,,Doppelschnittsverhältnis", Baryc. Calcul., p. 244 ff.). Vergl. Chasles (Ap. hist., Note IX, p. 302). Der Begriff der harmonischen Teilung ist alt; vergl. Pappus (Collect. Math. VII, 145). Harmonische Strahlen kommen als ,,harmonicales" bei Ph. de La Hire (Sect. con., Paris 1685), als „faisceau harmonique“ bei Brianchon (Mém. s. 1. lignes du 2° ordre, Paris 1817) vor. 7) Der Name „Involution“ führt auf Desargues zurück (Traité des coniques, Oeuvres p. Poudra, I, p. 171). Vergl. Chasles (Ap. hist., Note X, p. 308, v. Staudt (Geom. d. Lage, p. 118). V. Kapitel. 8) Die Kegelschnitte sind von den Geometern des Altertums zunächst als Schnitte des geraden Kreiskegels definiert und untersucht worden. Apollonius von Pergae (ca. 220 v. Chr.) erkannte diese Kurven als ebene Schnitte |