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Cylinders und ein anschließender Hauptkreisbogen der Kugel, dessen Ebene zu l normal steht und der in dem Punkte W der Front endigt (i_ W'OE = 45 °), werden vom Schlagschatten bedeckt. Die elliptische

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Fig. 326.

Projektion jenes Hauptkreisbogens ist nach 468 zu ermitteln, indem man einen Lichtstrahl OL um die Parallele zu V durch O zu TTj parallel dreht und den zu 0'ZA' normalen Halbmesser 0'JVA' auf O L' projiziert; die Projektion O'N' giebt die kleine Halbachse jener Ellipse an. Der Schlagschatten des Nischenrandes auf die Innenfläche setzt sich aus drei ganz verschiedenen Teilen zusammen. Das erste Stück verläuft geradlinig; es ist der Schatten des linken Cylinderrandes FA auf den Hohlcylinder {FA*'\\r, A*' auf k, A"A*\\r). Das zweite Stück gehört einer Raumkurve 4. Ordnung an, in welcher der Lichtstrahlencylinder durch den Fronthalbkreis den Cylinder schneidet, und endigt auf i. Man findet einzelne seiner Punkte (z. B. EB*1 \\ l, B*1 auf k, B"B*\\l"). Das letzte Stück liegt wieder auf einem Hauptkreis der Kugel und wird von dem nämlichen Lichtstrahlencylinder ausgeschnitten (vergl. 251). Dieser Schlagschattenkreis liegt zum Frontkreis in Bezug auf die Ebene des Lichtgrenzkreises symmetrisch. Alle drei Kreise haben den Halbmesser OW gemein; ihre zu OJF rechtwinkligen Halbmesser aber liegen in der zweiten projizierenden Ebene des Lichtstrahles l durch O. Wird diese Ebene zu TT2 parallel gedreht, so erscheinen jene Halbmesser im Aufriß als O"ü, 0"V und 0"X und es muß z_ P0"X = t_ UO"V sein, woraus sich der Aufriß des Schlagschattenkreises leicht bestimmen läßt.

524. Eine dorische Säule besteht aus dem Schaft und dem Kapital; ein Basisglied besitzt sie nicht, vielmehr ist der Schaft unmittelbar auf den Stylobat (Untersatzstufe) gestellt. Der Schaft verjüngt sich nach oben, hat 20 Kannelierungen, die in scharfen Kanten (ohne Stege) zusammenstoßen, und zeigt am Säulenhals einen Einschnitt. Den Übergang zum Kapitäl vermitteln drei schmale Riemen; dann folgt ein nach oben schwellender Wulst, der Echinus, und eine quadratisch geschnittene Platte, der Abakus, auf welchem der Architrav ruht.

In der Figur ist der obere Teil einer solchen Säule gezeichnet und es soll daran die Schattenkonstruktion vorgenommen werden. Die Kanten des konischen Schaftes endigen in jeder horizontalen Querschnittsebene (z. B. in TTi) auf einem Kreise; die bezügliche Spurkurve der kannelierten Fläche wird aus 20 nach innen gewandten kleinen Kreisbogen zusammengesetzt . Der Profilschnitt (Meridian) des Echinus mag von unten zuerst geradlinig ansteigen, dann aber in einen Kreisbogen stetig übergehen, so daß sich die Oberfläche unten kegelförmig (Spitze S auf der Säulenachse d), oben kreisringförmig gestaltet.

Man zeichnet zunächst die Grundrißschatten aller Kanten des Objektes, die teils geradlinig, teils kreisförmig ausfallen, und findet hieraus ohne Mühe die Eigen- und Schlagschattengrenzen am Schafte. Besondere Aufmerksamkeit verdient die Grenzlinie des vom Echinus herrührenden Grundrißschattens. Man Denutzt einige auf seiner Fläche liegende horizontale Kreise, deren Schatten (kongruente Kreise) schnell gefunden werden; ihre Hüllkurve ist die gesuchte Linie. Durch Normalen zu ihr aus den Kreismittelpunkten

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Fig. 327.

bestimmt man noch deren Berührungspunkte; die von ihnen aus rückwärts gezogenen Lichtstrahlen schneiden dann auf den Parallelkreisen am Echinus selbst Punkte der Lichtgrenze aus. Analog verfährt man mit den Schnittpunkten der Grundrißschatten jener Kreise und der Kanten des Abakus und erhält so dessen Schlagschatten auf dem Echinus. Die Grenzlinie verläuft im Aufriß bis zu der Ecke E* gerade, dann krummlinig und endigt auf der Lichtgrenze mit zu l" paralleler Tangente. Zuletzt sind noch einige Details in die Zeichnung einzutragen, welche die am Säulenhals auftretenden Schatten betreffen. Auch hierbei geht man vom Grundrißschatten aus und benutzt das Verfahren der rückwärts durchlaufenen Lichtstrahlen.

Literaturnachweise und historische Anmerkungen.

I. Kapitel.

') Die Verwandtschaft der Ähnlichkeit zwischen ebenen Figuren ist schon von den Geometern des Altertums in Betracht gezogen worden und ebenso ihre ähnliche Lage, z. B. von Euklides (Elemente (ca. 300 v. Chr.), Ausg. v. Heiberg, Leipzig 1883/88. VI, 18; XI, 27). Die Bezeichnung: Ähnlichkeitscentrum (centrum similitudinis) tritt bei L. Euler auf (Nov. Act. Petrop. IX, p. 154). M. Chasles nennt ähnlichliegende Figuren nomothetisch (Ann. de math. p. Gergonne, XVIII, p. 280). Wegen der auf solche Figuren anwendbaren allgemeinen Begriffe: kollinear, homographisch, homologisch, perspektiv vergleiche man die späteren Noten.

Wie M. Chasles berichtet (Apercu historique sur l'origine et le developpement des m&hodes en geometrie, Paris 1837, 2. Aufl. 1875, p. 553), hat A. C. Clairault (Mem. de l'Acad. d. Sc, Paris 1731) die durch Parallelprojektion herstellbare Verwandtschaft ebener Figuren schon vor L. Euler untersucht, von dem sie den Namen Affinität erhalten hat („de similitudine et affinitate linearum curvarum", Introd. in anal, infin., Lausanne 1748, TL, 18, p. 239 ff.). J. V. Poncelet bespricht die affinen Figuren als spezielle Fälle seiner „figures homologiques" (Trait6 des propri&es projectives des figures, Paris 1822, p. 174ff.). In allgemeinerem Sinne wurde die Affinität aus analytischem Gesichtspunkte von A. F. Möbius betrachtet (Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, II, 3. p. 191 ff.). — Für die Zwecke der Darstellung legte J. H. Lambert die Gesetze der Parallelprojektion dar („v. d. perspektivischen Entwerfung aus einem unendlich entfernten Gesichtspunkte", Freie Perspektive, Zürich 1774, VII, p. 156 ff.). Aus diesen Prinzipien folgerte K. Pohlke den Hauptsatz der Axonometrie (nach H. A. Schwarz, Crelle's Journ. Bd. 63, im J. 1853 gefunden, aber erst veröffentlicht in der Darstell. Geom., Berlin 1860, 4. Aufl. 1876, p. 109).

II. Kapitel.

") Die Keime zum Grund- und Aufrißverfahren zeigen sich bereits in der „Ichnographie" und „Orthographie" der Alten, von denen M. Vitruvius Pollio spricht (De architectura libri decem, I, 2; Ausg. v. V. Rose, Leipzig 1899, p. 10). Ihre einfachen Regeln wurden in der mittelalterlichen Bißkunst fortentwickelt und z. B. von A. Dürer (Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit, Nürnberg 1525) zusammengestellt. Der Steinschnitt bildete das wichtigste Anwendungsgebiet; seine Aufgaben finden sich geometrisch behandelt bei G. Desargues (Coupe des pierres, 1640; Oeuvres p. Poudra, Paris 1876, p. 304ff.) und bei M. Fr^zier (La theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, ou traitö de stereotomie, Straßburg 1737—39).

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