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Breitenlinien nur nach dem Verhältnis 1: cos q wachsen ließ, wie es den Verhältnissen auf der Kugelfläche selbst entspricht, und erreichte u. a. hierdurch, daß eine alle Meridiane unter gleichem Winkel schneidende Linie auf der Kugel (Loxodrome) sich als gerade Linie abbildet. Das Mercator'sche Verfahren bildet keine Projektion im gewöhnlichen Sinne mehr.

Schlagschatten auf Kegel- und Cylinderflächen.

518. Wirft eine Fläche Schlagschatten auf eine zweite Fläche, so hat man zunächst die Eigenschattengrenze, d. h. die Grenzkurve zwischen Licht und Schatten, auf der ersten Fläche zu ermitteln und dann diese Grenzkurve auf die zweite Fläche Schatten werfen zu lassen. Die parallelen Lichtstrahlen durch die Grenzkurve bilden einen Cylinder, dessen Schnittkurve mit der zweiter Kurve aufzusuchen ist. Ist die Schatten empfangende Fläche ein Cylinder oder Kegel, so kommt die vorliegende Aufgabe auf die bereits behandelte hinaus, den Cylinder oder Kegel mit dem Cylinder der Lichtstrahlen zu durchdringen, die die erste Fläche tangieren. Man kann hierbei ganz so verfahren, wie bereits auseinandergesetzt wurde, indem man einerseits die Spitze des Schatten empfangenden Kegels (oder eine Mantellinie des Cylinders) und andererseits die Grenzkurve auf die Ebene der Basiskurve des Kegels (oder Cylinders) Schatten werfen läßt. Eine Mantellinie m der zweiten Fläche empfängt nun Schatten von demjenigen Punkte P der Grenzkurve der ersten, dessen Schatten P, auf der Geraden m, dem Schatten von m, liegt. Die Gerade m durch P kann man also ziehen und dann auch die Mantellinie m, die sich mit m, auf der Basiskurve des Kegels (oder Cylinders) trifft; der Lichtstrahl durch P schneidet. dann m in einem Punkte P*, dem Schlagschatten von P auf den Kegel (oder Cylinder).

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Gewöhnlich ist indessen das Verfahren etwas anders, indem man einerseits die Grenzkurve, andererseits den Kegel (oder Cylinder) auf die Horizontalebene Schatten werfen läßt. Es empfängt dann eine Mantellinie m Schatten von einem Punkte P der Grenzkurve, wenn ihr Schatten m, auf П, durch den Schatten P von P auf П, geht. Indem man dann rückwärts m und P aufsucht und den Lichtstrahl durch P mit m zum Schnitt bringt, erhält man den Schatten P* von P auf den Kegel (oder Cylinder). Diese Methode ist deshalb vorzuziehen, weil ja immer neben dem Schlagschatten der einen Fläche auf die zweite auch der Schatten.

der Flächen auf die Horizontalebene verlangt wird; bei der zuerst geschilderten Methode müßte aber der Schatten auf П1 noch nachträglich konstruiert werden.

519. Den Schlagschatten einer Kugelschale auf einen Kegel zu bestimmen. Die Kugelschale ruhe auf П,, ebenso der Kegel, der П, längs einer Erzeugenden berühren soll. Der Kegel sei ein gerader Kreiskegel; sein Basiskreis c hat die Projektionen c' und c"; co ist der um die Spurlinie e, der Basisebene in П, umgelegte Kreis c. Es giebt dann eine Kugel, welche den Kegel längs c be

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rührt (vergl. 476); ihr Mittelpunkt liegt auf der Kegelachse und offenbar senkrecht über A, daraus ergiebt sich auch sein Aufriß. Die scheinbaren Umrißlinien des Kegels berühren die Umriẞkreise dieser Kugel in den nämlichen Punkten, in denen sie die Ellipsen c' und c" tangieren, wodurch sich die Umrißlinien und ihre Berührungspunkte genau bestimmen. Den Schatten e von c auf П1 zeichnen wir mit Hilfe der konjugierten Durchmesser AB und C Dμ; co, c * Co und C* sind affine Kurven, e, ist die Affinitätsachse. Die beiden Tangenten von S an c bilden die Grenze des Kegelschattens; ihre Berührungspunkte J und K bestimmt man aus der Affinität von c

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c

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und c, indem man zu S den affinen Punkt und die Berührungspunkte J, K, der von ihm an co gelegten Tangenten sucht. Die Affinität zwischen c' und c, ergiebt dann auch die Punkte J' und Kauf und so die Mantellinien SJ und SK, die die Grenze zwischen Licht und Schatten auf dem Kegel bilden (J'K', JK, und JK gehen durch den nämlichen Punkt von e1).

Auf der Kugelschale ist die Grenze zwischen Licht und Schatten ein Halbkreis i, dessen Projektionen i' und i" und dessen Schatten i sich wie in 468 finden. Der Schatten des halben Schalenrandes in das Innere der Schale ist nach 251 ein Halbkreis, EF ist ein Durchmesser desselben und der Schatten des Randpunktes G auf die Schale ist der Endpunkt des dazu senkrechten Durchmessers (E'F1'). Der Rand k wirft demnach in die Schale den Schatten k* und auf П1 den Schatten k

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Es fehlt nun noch der Schatten der Kurven i und k auf den Kegel. Die Mantellinie SP wirft den Schatten SP, dieser schneidet k in Q und es empfängt daher SP Schatten von dem Rande k im Punkte Q* (P'P ̧ || Q*Q ̧ || 1'). Wendet man das Verfahren speziell auf die Umriẞlinien des Kegels an, so erhält man die Berührungspunkte der Projektion der Schlagschattenkurve mit dem scheinbaren Umriß. Die Endpunkte R und N der Schlagschattenkurve auf dem Kegel liegen auf SK, der Grenze zwischen Licht und Schatten; die Tangenten in diesen Endpunkten sind parallel zum Lichtstrahl 7 (also ihre Projektionen zu l' und 7"). Denn die Tangentialebene längs der Mantellinie SK ist parallel zu 7, sie wird also von den Ebenen durch die Tangenten in den Punkten R von k und N von i respektive, die zum Lichtstrahle parallel laufen, in Parallelen zu 7 geschnitten.

Beispiele für Anwendungen.

520. Die in diesem Kapitel entwickelten Methoden zur Darstellung der Kugel-, Cylinder- und Kegelflächen, ihrer ebenen Schnitte, Durchdringungen und Abwickelungen lassen zahlreiche Anwendungen zu, die hier nur kurz unter Hinweis auf wenige einfache Beispiele angedeutet werden können. Sie betreffen vorzugsweise zwei Klassen von Aufgaben, die der zeichnende Architekt zu lösen hat: Schattenund Steinschnittkonstruktion.

Dem, was in 151, 467 und 518 von der Schattenkonstruktion im allgemeinen gesagt und dann auf einfache geometrische Gebiete angewandt wurde, sollen hier nur einige, die weitere Anwenduug

vorbereitende Bemerkungen angefügt werden. Eine eingehendere Behandlung der Schattenkonstruktion bei höheren Flächen, sowie in der schiefen Projektion und der Perspektive findet man im zweiten Bande unseres Werkes.

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Wenn an den Objekten kompliziertere krumme Flächen auftreten, so wird man stets Kurven benutzen, die auf ihnen liegen und gegeben sein müssen, um im Sinne von 459 als Erzeugende zu dienen. Zur Bestimmung des Schlagschattens auf eine Ebene geht man von den bezüglichen Schatten der Erzeugenden aus und findet als deren Hüllkurve die Schlagschattengrenze. Sucht man ferner die Berührungspunkte der Schlagschattengrenze mit den Schatten der Erzeugenden auf und zieht von ihnen aus rückwärts Lichtstrahlen bis wieder zu jenen Erzeugenden, so erhält man auf ihnen Punkte der Lichtgrenze. Ebenso liefert jeder Lichtstrahl, der von einem Kreuzungspunkte der gleichnamigen Schatten zweier Erzeugenden rückwärts gezogen wird, auf einer derselben einen Punkt der Schlagschattengrenze am Objekte selbst. Wichtig ist ferner ein Satz über das Verhalten der Licht- und Schlagschattengrenzen in den Punkten, wo beide einander begegnen (vergl. 528). Wirft nämlich ein Teil des Objektes Schatten auf einen andern, so kann es geschehen, daß die Grenze dieses Schlagschattens die Lichtgrenze auf dem zweiten Teile überschneidet. Im Treffpunkte wird dann die Schlagschattenkurve von einem Lichtstrahl berührt; denn ihre Tangente ist die Schnittlinie der Tangentialebenen zweier Lichtstrahlencylinder, welche beiden Körperteilen längs ihrer Lichtgrenze (die beim ersteren auch eine Randkurve sein kann) umschrieben sind.

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521. Die Lehre vom Steinschnitt (Stereotomie) bedient sich ebenfalls der bisher entwickelten Darstellungsmethoden. Unter ihren Aufgaben verdient besonders die Bestimmung des Schnittes der Gewölbsteine Beachtung, da für diese nicht, wie sonst meist geschieht, lauter ebene Begrenzungsflächen gewählt werden können.

Ist die Form eines Gewölbes vorgeschrieben, so ist die an der Wölbung sichtbar werdende eine Seitenfläche jedes Wölbsteines ihrer Natur nach bestimmt und muß genau nach Vorschrift bearbeitet werden. Die übrigen Seitenflächen der Steine heißen Fugen und sind am fertigen Bauwerk nicht sichtbar, weil entlang derselben die Wölbsteine, die sich gegenseitig stützen und spannen, aneinander oder auf dem Widerlager anliegen. Diese Fugen müssen (aus hier nicht weiter zu erörternden mechanischen Gründen) eine regelmäßige Anordnung erhalten und nach vorher bestimmten Formen

ebenfalls genau bearbeitet werden. Soweit die Fugen auf der Wölbfläche endigen, erzeugen sie auf ihr ein System von (sichtbaren) Fugenlinien.

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Die Statik zeigt nun, daß es zur Erreichung möglichst hoher Stabilität des Bauwerkes zweckmäßig ist, von folgenden Gesichtspunkten auszugehen. Die Wölbsteine werden, vom Widerlager anfangend, bis zum Schlußstein am Gewölbescheitel in Schichten angeordnet und jede Schicht thunlichst symmetrisch aus mehreren Steinen gebildet, deren Anzahl sich nach dem Umfange richtet. Demgemäß ist zuerst die gegebene Wölbfläche durch eine erste Reihe Fugenlinien in Streifen und diese durch eine zweite Reihe Fugenlinien in Felder zu zerlegen. Die Fugenlinien der zweiten Art sollen nun überall zu denen der ersten Art rechtwinklig verlaufen und werden überdies in den benachbarten Streifen gegeneinander versetzt, so daß sich keine von ihnen unmittelbar in die nächste fortsetzt. Später (vergl. 802) wird gezeigt, daß es auf jeder beliebigen krummen Fläche Kurven, nämlich die beiden Systeme von Krümmungslinien giebt, die sich überall rechtwinklig schneiden. In vielen Fällen können aber diese Kurvensysteme ohne weiteres angegeben werden. Es sollen ferner die Fugen selbst zur Wölbfläche normal stehen. Man denkt sie sich deshalb am einfachsten von den Normalen der Wölbfläche entlang einer Krümmungslinie erzeugt, so daß sie (nach 802) abwickelbare Flächen werden; bei den einfachsten Gewölbeformen fallen sie eben oder konisch aus.

522. In Fig. 325 ist ein runder Eckturm mit spitzem Dach dargestellt, der seinen Schatten auf die gebrochene Dachfläche, das Gesims und die Wand eines Hauses wirft. Die Wandung des Turmes wird von einem Cylinder gebildet (Achse a = S'S); sein Dach ist aus konischen Teilen (Spitzen S und T auf a) zusammengesetzt, wird unten teils von den in der Kante BC zusammenstoßenden ebenen Flächen in Ellipsenbogen PQ, QR, ..., teils von dem Randkreise r begrenzt und endigt oben an einer kleinen Kugel mit aufgesetzter spitzer Stange. Die erwähnten Ellipsenbogen bestimmt man leicht aus ihren Hauptachsen, die man mittels des Seitenrisses ƒ""' = D'"E" einer Falllinie f = DE des Daches gewinnt (vergl. 490).

Die Schattenkonstruktion soll nun im Aufriß durchgeführt werden. Man bestimmt zuerst die Lichtgrenzen u und v auf den kegelförmigen Dachflächen als die Mantellinien, deren zugehörige Tangentialebenen die Lichtstrahlen durch 8 und T enthalten. Sind TST, S die Horizontalschatten von r, s, T, S, so müssen die Schatten u und v von u und v die Kreise s

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berühren

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