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= r2 ax2 oder: ?\ + ^ = 1 ableiten, wo: a 2 = ».2 — a2 und

622 = bx2(r2 — aj2): (bx2 öj2) ist, und ebenso eine Relation zwischen

pi und pv nämlich: = r2 - Ä^, oder: - &J+ p = 1,

wo: o32 = ij2 — r2, und i32 =[aj2(ij2 — r2) : (5j2öj2) ist. Diese Relationen sind aber nichts anderes als die Gleichungen der Projektionen c" und c", da ja pv p3 bei der Projektion von c auf die Ebene yz und pv p2 bei der Projektion von c auf die Ebene xz ungeändert bleiben. Die gefundenen Gleichungen beweisen also nach 332 die Behauptung.

Die stereographische Projektion.

516. Projiziert man die Punkte und Linien auf einer Kugel aus einem der Kugelfläche selbst angehörigen Punkte O auf eine Ebene TTj, die sie in dem O diametral gegenüberliegenden Punkte Ox berührt, so bezeichnet man dies als stereographische Projektion Von ihr sollen jetzt die wichtigsten Eigenschaften abgeleitet werden.22} Jeder Kegel, dessen Spitze in O liegt und der T\x in einem Kreise schneidet, schneidet auch die Kugel in einem Kreise (beide Kreise sind nach 251 Wechselschnitte); die stereographischen Bilder der Kugelkreise sind also wieder Kreise. Wir legen die Zeichenebene TT2 durch den Kugeldurchmesser OMOx und die Kegelachse; sie schneidet die Kugel in dem größten Kreis k und den Kegel in den Mantellinien OAAv OBBx, wo A, B auf der Kugel Av Bx in der Ebene TT^ liegen. Die Gerade AB schneidet die den Kreis k in O berührende Tangente t im Punkte S, dessen Polare s in Bezug auf k durch O und den Mittelpunkt Nx von AxBx geht, denn die Strahlen OAv OBv ONv t liegen harmonisch. Auf der Kugel liegen A, B, 0, N'= s x k harmonisch und es geht s als Polare von S durch den Schnittpunkt T der Tangenten von k in A und B. Hieraus fließt der Satz: Alle Kugelkreise, deren Ebenen die Tangentialebene im Centrum der stereographischen Projektion in der nämlichen Geraden schneiden, ergeben koncentrische Bildkreise; ihr Mittelpunkt iVx ist das Bild des Berührungspunktes iV der durch die Gerade an die Kugel gelegten Tangentialebene; er erscheint zugleich als Centralprojektion der Scheitel aller Kegel, die der Kugel längs jener Kreise umgeschrieben sind, aus dem Centrum O. Die Kugelkreise durch die Punkte O, iV haben die Durchmesser der koncentrischen Bildkreise als Bilder.

Zwei Kurven auf der Kugel schneiden sich unter gleichem Winkel, wie ihre Bilder. Die Abbildung der sphärischen Figuren durch stereographische Projektion wird deshalb winkeltreu oder konform genannt. Unter dem Winkel zweier Kurven in einem Schnittpunkte versteht man den Winkel der bezüglichen Tangenten und man erhält offenbar die Tangenten der Bildkurven, wenn man die Tangenten der Kurven auf der Kugel von O aus projiziert. Man braucht deshalb nur zu zeigen, daß in einem beliebigne Punkte N der Kugel drei Kugeltangenten die gleichen Winkel einschließen, wie ihre Centralprojektionen aus dem Centrum O auf T]x. Dieses folgt aber daraus, daß beim Um

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Pig. 323.

legen der Tangentialebene im Punkte N um ihre erste Spurlinie in TTj der Punkt N mit seinem Bilde iVj zur Deckung kommt. Ist nämlich k der Kugelkreis dnrch O, N, O^ und hat die Tangente im Punkte N von k den ersten Spurpunkt Jv so stehen iV,/j und NxJx auf jener Spurlinie senkrecht und es ist (wie aus der Figur ersichtlich) JV/j = 0j/j = NjJv

Hieraus kann man weiter schließen, daß die Mantellinien und der Berührungskreis eines der Kugel umschriebenen Kegels sich von O aus auf T\x als Strahlbüschel und eine alle diese Strahlen rechtwinklig schneidende Kurve projizieren, d. h. Berührungskreis und Scheitel des Kegels projizieren sich als Kreis und dessen Mittelpunkt.

517. Die stereographische Projektion findet bei der Herstellung von Landkarten eine wichtige Anwendung. — Aufgabe der Kartenprojektion ist es, Teile der Erdkugeloberfläche in einer Ebene abzubilden und das hierzu dienende Verfahren so einzurichten, daß den beiden Forderungen der Konformität und Flächenäquivalenz thunlichst entsprochen werde. Das will sagen: es sollen einerseits entsprechende Winkel im Original und Bild übereinstimmen, andererseits entsprechende Flächen gleichen Inhalt haben. Eine auf Projektion oder andern geometrischen Gesetzen beruhende Abbildungsmethode, die diese beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllt, giebt es nun allerdings nicht; wohl aber genügt, wie wir sahen, die stereographische Projektion der ersten Bedingung.

Man geht beim Kartenzeichnen von der Darstellung des Gradnetzes aus, das auf der Erdkugel von den Meridian- und Breitenkreisen gebildet wird. Bei Benutzung des Prinzips der stereographischen Projektion nimmt nun das Gradnetzbild (das gewöhnlich nur für eine Halbkugel oder einen noch kleineren Teil der Fläche entworfen wird) dreierlei Formen an. Projiziert man aus einem Pole auf eine Parallelebene zum Äquator („Polarprojektion"), so ergeben die Meridiane einen Strahlbüschel und die Breitenkreise ein System koncentrischer Kreise um seinen Scheitel (Pol). Projiziert man aus einem Punkte des Äquators („Äquatorialprojektion"), so stellen sich jene beiden Kreissysteme durch zwei Kreisbüschel dar (vergl. 244); das Bild des Meridians durch den gewählten Äquatorpunkt (zugleich Bild der Polachse) ist die gemeinsame Chordale für die Meridiankreisbilder und das Äquatorbild ebenso für die Parallelkreisbilder. Projiziert man endlich aus einem beliebigen Punkte der Kugelfläche auf die Horizontalebene des Gegenpunktes („Horizontalprojektion"), so bilden sich die Meridian- und Breitenkreise wieder als zwei Kreisbüschel ab, aber nur der Meridian des gewählten Punktes wird durch eine Gerade (gemeinsame Chordale des ersten Büschels) repräsentiert. Das Gradnetzbild weist in allen Fällen lauter rechte Winkel auf.

Es ist bekannt, daß außer diesem Verfahren in der mathemathischen Geographie auch noch die Centralprojektion aus dem Mittelpunkt der Erdkugel oder aus einem andern Punkte auf eine geeignete Ebene, sowie verschiedene Modifikationen solcher Abbildungsmethoden benutzt werden. Dahin gehört namentlich die sogenannte „Cylinderprojektion". Sie entsteht, wenn man die Kugel aus ihrem Centrum auf einen umgeschriebenen (längs des Äquators berührenden) Cylinder projiziert und diesen auf die Ebene abwickelt. Das Gradnetzbild wird dann von zwei sich rechtwinklig schneidenden Systemen paralleler Geraden gebildet; während aber die Meridianlinien gleiche Abstände voneinander zeigen, wachsen die Abstände der Breitenlinien vom Äquator aus nach beiden Seiten im Verhältnis l:cos2qp, wo cp die geographische Breite bedeutet. Mercator verbesserte dieses Abbildungsverfahren, indem er die Abstände der

Röhn U. Papperitz. I. 2. Aufl. 26

Breitenlinien nur nach dem Verhältnis 1: cos cp wachsen ließ, wie es den Verhältnissen auf der Kugelfläche selbst entspricht, und erreichte u. a. hierdurch, daß eine alle Meridiane unter gleichem Winkel schneidende Linie auf der Kugel (Loxodrome) sich als gerade Linie abbildet. Das Mercator'sche Verfahren bildet keine Projektion im gewöhnlichen Sinne mehr.

Schlagschatten auf Kegel- und Cylinderflächen.

518. Wirft eine Fläche Schlagschatten auf eine zweite Fläche, so hat man zunächst die Eigenschattengrenze, d. h. die Grenzkurve zwischen Licht und Schatten, auf der ersten Fläche zu ermitteln und dann diese Grenzkurve auf die zweite Fläche Schatten werfen zu lassen. Die parallelen Lichtstrahlen durch die Grenzkurve bilden einen Cylinder, dessen Schnittkurve mit der zweiter Kurve aufzusuchen ist. Ist die Schatten empfangende Fläche ein Cylinder oder Kegel, so kommt die vorliegende Aufgabe auf die bereits behandelte hinaus, den Cylinder oder Kegel mit dem Cylinder der Lichtstrahlen zu durchdringen, die die erste Fläche tangieren. Man kann hierbei ganz so verfahren, wie bereits auseinandergesetzt wurde, indem man einerseits die Spitze des Schatten empfangenden Kegels (oder eine Mantellinie des Cylinders) und andererseits die Grenzkurve auf die Ebene der Basiskurve des Kegels (oder Cylinders) Schatten werfen läßt. Eine Mantellinie m der zweiten Fläche empfängt nun Schatten von demjenigen Punkte P der Grenzkurve der ersten, dessen Schatten Pt auf der Geraden m^, dem Schatten von m, liegt. Die Gerade durch Pt kann man also ziehen und dann auch die Mantellinie m, die sich mit auf der Basiskurve des Kegels (oder Cylinders) trifft; der Lichtstrahl durch P schneidet dann m in einem Punkte P*, dem Schlagschatten von P auf den Kegel (oder Cylinder).

Gewöhnlich ist indessen das 'Verfahren etwas anders, indem man einerseits die Grenzkurve, andererseits den Kegel (oder Cylinder) auf die Horizontalebene Schatten werfen läßt. Es empfängt dann eine Mantellinie m Schatten von einem Punkte P der Grenzkurve, wenn ihr Schatten auf TTj durch den Schatten P^ von P auf TTj geht . Indem man dann rückwärts m und P aufsucht und den Lichtstrahl durch P mit m zum Schnitt bringt, erhält man den Schatten P* von P auf den Kegel (oder Cylinder). Diese Methode ist deshalb vorzuziehen, weil ja immer neben dem Schlagschatten der einen Fläche auf die zweite auch der Schatten der Flächen auf die Horizontalebene verlangt wird; bei der zuerst geschilderten Methode müßte aber der Schatten auf TTj noch nachträglich konstruiert werden.

519. Den Schlagschatten einer Kugelschale auf einen Kegel zu bestimmen. Die Kugelschale ruhe auf T\x, ebenso der Kegel, der T\x längs einer Erzeugenden berühren soll. Der Kegel sei ein gerader.Kreiskegel; sein Basiskreis c hat die Projektionen c und c"; c0 ist der um die Spurlinie ex der Basisebene in TTj umgelegte Kreis c. Es giebt dann eine Kugel, welche den Kegel längs c be

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rührt (vergl. 476); ihr Mittelpunkt liegt auf der Kegelachse und offenbar senkrecht über A, daraus ergiebt sich auch sein Aufriß. Die scheinbaren Umrißlinien des Kegels berühren die Umrißkreise dieser Kugel in den nämlichen Punkten, in denen sie die Ellipsen c und c" tangieren, wodurch sich die Umrißlinien und ihre Berührungspunkte genau bestimmen. Den Schatten von c auf Jlx zeichnen wir mit Hilfe der konjugierten Durchmesser AB^ und C^B^; c0, c und ct sind affine Kurven, <?j ist die Affinitätsachse. Die beiden Tangenten von S an bilden die Grenze des Kegelschattens; ihre Berührungspunkte und Js^ bestimmt man aus der Affinität von

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