1 der Kugel umgeschrieben ist, so folgt daraus, daß F ein Brennpunkt von u ist, und man erhält so wieder die Beziehungen, wie sie sich in Fig. 320 darbieten. Zu diesem Zwecke ziehe man von A und B die Tangenten an k, deren Berührungspunkte respektive J und K seien; ihr Schnittpunkt S ist der Scheitel eines Kegels der die Kugel längs eines Kreises 7 mit dem Durchmesser JK berührt. Dieser Rotationskegel enthält aber die Kurve u, denn die Schnittkurve von E mit dem Rotationskegel hat mit u nach der Konstruktion die Achse AB und außerdem einen Punkt gemein, wie sogleich dargethan werden soll. Ist P' = AB X OM, so ist SP' die Projektion einer Mantellinie SP des Rotationskegels, die die Kugel in berührt (Q' = SP' × JK) und es ist PF1 = PQ (als Kugeltangenten). OP schneidet also die Kugel in einem Punkte, dessen sphärische Abstände von F1 einerseits und dem Kugelkreise über JK anderseits einander gleich sind und dessen Projektion in OM liegt. Diese Eigenschaften besitzt aber der Kugelpunkt E; der Strahl OEE geht demnach durch P hindurch, was zu beweisen war. Nach 510 muß OS mit dem Brennstrahl f2 zusammenfallen; dies ergiebt sich auch direkt, denn es ist Bog CJ Bog CF1 (L (≤ CAJ = ▲ CAF1) und Bog CF Bog FD Bog DK, also auch Bog JF2 Bog F2K, d. h. F2 liegt auf der Halbierungslinie des LJSK. = = = 1 2 = 514. Die senkrechten Projektionen des sphärischen Kegelschnittes auf seine drei Symmetrieebenen sind wieder Kegelschnitte, wie im Folgenden nachgewiesen werden soll. Die Projektion auf die Ebene der Brennpunkte ist eine Ellipse c', von der zwei Stücke AB und CD im Innern des Kreises k liegen, die beiden andern AC und BD aber außerhalb sich befinden (Fig. 322). Die Punkte jener beiden Stücke bilden die Projektionen von je zwei reellen, die Punkte dieser Stücke die Projektionen von je zwei konjugiert imaginären Kurvenpunkten. Die Ellipse c' ist zu dem Kreise k affin und zwar ist AD oder BC die Affinitätsachse. In der That erhält man jeden Punkt P' dieser Kurve, wenn man auf k gleiche Bogen AP = APO abschneidet und P'P OF und P'P° 1 OF2 macht. L = OA X PP', so folgt aus der erwähnten Gleichheit der Bogen, daß LP LP0 wird. Die Winkel des ▲ LP'P0 sind aber von der Wahl des Kurvenpunktes P' unabhängig, denn zwei seiner Seiten sind zu OF, resp. OF, senkrecht und ▲ P'LPo = ▲ P'LA - ▲ PLA; demnach ist auch das Verhältnis P'L: PL oder P'L: PL von der Wahl des Punktes P' auf c' unabhängig. Die Kurven c' und k sind also affin, OA ist die Affinitätsachse, P'P ̧ (oder auch P’Po) sind ein = Ist nun Paar affiner Punkte; infolgedessen schneiden die Tangenten von k in P, resp. Po und die Tangente von c' in P' die Gerade OA in Fig. 322. B" dem nämlichen Punkte T. auch nach 428, wenn man in Betracht zieht. 2 Zu dem gleichen Resultat gelangt man noch den zu P' benachbarten Punkt auf c' 515. Seien x, y, z die Achsen des Kegels durch c, und zwar mag r den FOF, und y seinen Nebenwinkel halbieren, wo OF, und OF, nicht durch die Kegelflächen getrennt sind, während z auf der Ebene der Brennpunkte senkrecht steht. Dann ist die Projektion c" von c auf eine zur Ebene yz parallele Ebene eine vollständige Ellipse, deren Halbachsen gleich AB resp. EE' sind; die Projektion c"" von c auf eine zu xz parallele Ebene dagegen liefert eine Hyperbel, deren Hauptachse gleich AC ist, der reelle Teil von c ergiebt nur zwei Stücke derselben. Daß c" und c"" wirklich Kegelschnitte sind, erkennt man folgendermaßen. Ist P ein Punkt von e und sind P1, P2, P3 seine Entfernungen von den Ebenen xy, yz, xz, so ist p12+P + P32 = r2 (r Kugelradius), da P auf der Kugel liegt. Für die Projektion P' auf xy, wobei p, und p, sich in wahrer P33 Länge projizieren, haben wir: 2 2 2 achsen der Ellipse e' sind = P22 + P1 = 1, 2 (vergl. 332). können wir eine Relation zwischen P,1, P, P3 wenn σ < b1 die Halba1 Aus nämlich p1 + P32 — = p2 2 a, oder: P12 2 + 102 2 = ,.2. = 1 ableiten, wo: a222-a2 und b22 = b12 (r2 — a12): (6,2-a, 2) ist, und ebenso eine Relation zwischen 2 P1 P2 und nämlich: p12+P2-P22 2 Pi 2. 2 + b32 wo: a2 = b2 — r2, und b2 =2 (b122 — r2) : (b2 2 — a2) ist. a12) ist. Diese Relationen sind aber nichts anderes als die Gleichungen der Projektionen c" und c", da ja P1, P, bei der Projektion von c auf die Ebene yz und P1, P2 bei der Projektion von c auf die Ebene zz ungeändert bleiben. Die gefundenen Gleichungen beweisen also nach 332 die Behauptung. Die stereographische Projektion. 516. Projiziert man die Punkte und Linien auf einer Kugel aus einem der Kugelfläche selbst angehörigen Punkte O auf eine Ebene П1, die sie in dem O diametral gegenüberliegenden Punkte 01 berührt, so bezeichnet man dies als stereographische Projektion Von ihr sollen jetzt die wichtigsten Eigenschaften abgeleitet werden.22) Jeder Kegel, dessen Spitze in O liegt und der П1 in einem Kreise schneidet, schneidet auch die Kugel in einem Kreise (beide Kreise sind nach 251 Wechselschnitte); die stereographischen Bilder der Kugelkreise sind also wieder Kreise. Wir legen die Zeichenebene П2 durch den Kugeldurchmesser OMO1 und die Kegelachse; sie schneidet die Kugel in dem größten Kreis k und den Kegel in den Mantellinien OAA, OBВ1, wo A, B auf der Kugel A1, B1 in der Ebene П, liegen. Die Gerade AB schneidet die den Kreis k in O berührende Tangente t im Punkte S, dessen Polares in Bezug auf k durch O und den Mittelpunkt N1 von Д1В1 geht, denn die Strahlen OA1, OB1, OÑ1, t liegen harmonisch. Auf der Kugel liegen A, B, 0, N=sxk harmonisch und es geht s als Polare von S durch den Schnittpunkt 7 der Tangenten von k in A und B. Hieraus fließt der Satz: Alle Kugelkreise, deren Ebenen die Tangentialebene im Centrum der stereographischen Projektion in der nämlichen Geraden schneiden, ergeben koncentrische Bildkreise; ihr Mittelpunkt N1 ist das Bild des Berührungspunktes N der durch die Gerade an die Kugel gelegten Tangentialebene; er erscheint zugleich als Centralprojektion der Scheitel aller Kegel, die der Kugel längs jener Kreise umgeschrieben sind, aus dem Centrum O. Die Kugelkreise durch die Punkte O, N haben die Durchmesser der koncentrischen Bildkreise als Bilder. Zwei Kurven auf der Kugel schneiden sich unter gleichem Winkel, wie ihre Bilder. Die Abbildung der sphärischen Figuren durch stereographische Projektion wird deshalb winkeltreu oder konform genannt. Unter dem Winkel Winkel zweier Kurven in einem Schnittpunkte versteht man den Winkel der bezüglichen Tangenten und man erhält offenbar die Tangenten der Bildkurven, wenn man die Tangenten der Kurven auf der Kugel von aus projiziert. Man braucht deshalb nur zu zeigen, daß in einem beliebigne Punkte N der Kugel drei Kugeltangenten die gleichen Winkel einschließen, wie ihre Centralprojektionen aus dem Centrum O auf П1. Dieses folgt aber daraus, daß beim Um k JB, Q Fig. 323. legen der Tangentialebene im Punkte N um ihre erste Spurlinie in П1 der Punkt N mit seinem Bilde N1 zur Deckung kommt. Ist nämlich k der Kugelkreis dnrch O, N, O, und hat die Tangente im Punkte N von k den ersten Spurpunkt J, so stehen NJ1 und N11 auf jener Spurlinie senkrecht und es ist (wie aus der Figur ersichtlich) NJ = 0,J = NJ. Hieraus kann man weiter schließen, daß die Mantellinien und der Berührungskreis eines der Kugel umschriebenen Kegels sich von 0 aus auf TT, als Strahlbüschel und eine alle diese Strahlen rechtwinklig schneidende Kurve projizieren, d. h. Berührungskreis und Scheitel des Kegels projizieren sich als Kreis und dessen Mittelpunkt. 517. Die stereographische Projektion findet bei der Herstellung von Landkarten eine wichtige Anwendung. Aufgabe der Kartenprojektion ist es, Teile der Erdkugeloberfläche in einer Ebene abzubilden und das hierzu dienende Verfahren so einzurichten, daß den beiden Forderungen der Konformität und Flächenäquivalenz thunlichst entsprochen werde. Das will sagen: es sollen einerseits entsprechende Winkel im Original und Bild übereinstimmen, andererseits entsprechende Flächen gleichen Inhalt haben. Eine auf Projektion oder andern geometrischen Gesetzen beruhende Abbildungsmethode, die diese beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllt, giebt es nun allerdings nicht; wohl aber genügt, wie wir sahen, die stereographische Projektion der ersten Bedingung. man Man geht beim Kartenzeichnen von der Darstellung des Gradnetzes aus, das auf der Erdkugel von den Meridian- und Breitenkreisen gebildet wird. Bei Benutzung des Prinzips der stereographischen Projektion nimmt nun das Gradnetzbild (das gewöhnlich nur für eine Halbkugel oder einen noch kleineren Teil der Fläche entworfen wird) dreierlei Formen an. Projiziert man aus einem Pole auf eine Parallelebene zum Äquator („Polarprojektion"), so ergeben die Meridiane einen Strahlbüschel und die Breitenkreise ein System koncentrischer Kreise um seinen Scheitel (Pol). Projiziert aus einem Punkte des Äquators (,,Äquatorialprojektion"), so stellen sich jene beiden Kreissysteme durch zwei Kreisbüschel dar (vergl. 244); das Bild des Meridians durch den gewählten Äquatorpunkt (zugleich Bild der Polachse) ist die gemeinsame Chordale für die Meridiankreisbilder und das Äquatorbild ebenso für die Parallelkreisbilder. Projiziert man endlich aus einem beliebigen Punkte der Kugelfläche auf die Horizontalebene des Gegenpunktes („Horizontalprojektion"), so bilden sich die Meridian- und Breitenkreise wieder als zwei Kreisbüschel ab, aber nur der Meridian des gewählten Punktes wird durch eine Gerade (gemeinsame Chordale des ersten Büschels) repräsentiert. Das Gradnetzbild weist in allen Fällen lauter rechte Winkel auf. Es ist bekannt, daß außer diesem Verfahren in der mathemathischen Geographie auch noch die Centralprojektion aus dem Mittelpunkt der Erdkugel oder aus einem andern Punkte auf eine geeignete Ebene, sowie verschiedene Modifikationen solcher Abbildungsmethoden benutzt werden. Dahin gehört namentlich die sogenannte,,Cylinderprojektion". Sie entsteht, wenn man die Kugel aus ihrem Centrum auf einen umgeschriebenen (längs des Äquators berührenden) Cylinder projiziert und diesen auf die Ebene abwickelt. Das Gradnetzbild wird dann von zwei sich rechtwinklig schneidenden Systemen paralleler Geraden gebildet; während aber die Meridianlinien gleiche Abstände voneinander zeigen, wachsen die Abstände der Breitenlinien vom Äquator aus nach beiden Seiten im Verhältnis 1: cos2 9, wo die geographische Breite bedeutet. Mercator verbesserte dieses Abbildungsverfahren, indem er die Abstände der ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl. 26 |