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um die Achse SO in die Lage KQ0 bringen {Q'Q0 J_ OS). Demnach ist Bog KQ0 = Bog F^0, und da BK = BFx, ist auch Bog BK = Bog BFx, wenn 05 die Kugel in B schneidet; hieraus folgt aber durch Subtraktion Bog BQ0 = Bog BQ°. Dies ergiebt eine einfache Konstruktion der Punkte des sphärischen Kegelschnittes. Schneidet man von B aus auf dem Kugelkreise in TTj gleiche Bogen ab, z. B. BQ0 = BQ°, und zieht durch die Endpunkte Senkrechte zu OF2 und OF^ respektive, so ist ihr Schnittpunkt die Projektion eines Punktes des sphärischen Kegelschnittes, z. B. Q'.

Da BogF2Q = BogF2Q0 und Bog QL = Bog Q0K ist, so folgt: Bog F2Q + Bog QlFx = Bog F2K\ der letztgenannte Bogen ist aber von der Lage des Punktes P unabhängig. Der sphärische Kegelschnitt erscheint also als Ort der Punkte, für die die Summe der sphärischen Abstände von zwei festen Punkten konstant ist. Unter dem sphärischen Abstand zweier Kugelpunkte ist hierbei das von ihnen begrenzte Stück eines größten Kreises zu verstehen. Die Punkte Fx und F2 spielen für den sphärischen Kegelschnitt ganz die gleiche Rolle wie die Brennpunkte bei einer Ellipse und werden als seine Brennpunkte bezeichnet. Aus unserem Satze folgt, daß Bog F2C = Bog FxB sein muß, es ergiebt sich dies auch aus den Relationen: Bog F2J = BogF2K, Bog CJ = Bog CFx und Bog BFx = Bog BK; die Summe der sphärischen Abstände eines Kurvenpunktes von den beiden Brennpunkten Fx und F2 ist demnach = Bog CB, d. h. gleich dem sphärischen Abstand der Scheitel C und B.

Es ist (wenn man den Kugelradius als Längeneinheit nimmt): Bog QF2 = % Bog QF3; durch Einsetzen dieses Wertes in die Relation: Bog QFx + Bog QF2 = Bog CB kommt: Bog QF3 - Bog QFx = Bog BG. Wir sehen hieraus, daß auch Fx und F3 die gleiche Rolle spielen, deshalb nennt man Fx, F2, F3, Fi die vier Brennpunkte unserer Kurve. Je nach der Auswahl zweier Brennpunkte ist die Summe oder die Differenz ihrer sphärischen Abstände von den Kurvenpunkten konstant; die bezüglichen Relationen sind:

Bog QFx + Bog QF2 = Bog CB, Bog QFt - Bog QFx = % - Bog CD, BogQFs + BogQFi = 2n- BogCB, BogQF4 - Bog QF2 = %- BogCD.

Legt man durch zwei benachbarte Punkte unserer Kurve zwei Ebenen senkrecht zu OFx und ebenso zwei Ebenen senkrecht zu OF2, so ist nach dem vorausgehenden Satze der sphärische Abstand der beiden benachbarten, zu OFx senkrechten Kreise gleich dem sphärischen Abstand der beiden zu OF2 senkrechten Kreise. Die zwei Paar Kugelkreise durch die benachbarten Kurvenpunkte bilden demnach einen unendlich kleinen Rhombus, dessen Diagonale die Kurventangente in dem betreffenden Punkte ist und den Winkel der genannten Kugelkreise halbiert. Die Kugelkreise, die den Kurvenpunkt mit den Brennpunkten verbinden, stehen aber auf jenen Kreisen senkrecht und wir erhalten den Satz: Die Tangente in einem Punkte eines sphärischen Kegelschnittes halbiert den Winkel (oder Nebenwinkel) der beiden Kreisbogen, die den Punkt mit zwei Brennpunkten verbinden.

512. Die erzielten Resultate lassen sich unmittelbar auf den Kegel mit dem Scheitel O und der Leitkurve u übertragen, der unsere sphärische Kurve aus dem Kugelcentrum projiziert. Die Strahlen OFx und OF2 heißen die Brennstrahlen des Kegels. Die Ebene OAB oder TTj ist eine Hauptebene des Kegels'; die beiden Geraden, die den l_ AOB und seinen Nebenwinkel halbieren, bilden zwei Achsen des Kegels, dessen dritte Achse auf T\x senkrecht steht (vergl. 478). Die beiden Brennstrahlen liegen zu den Achsen symmetrisch und es gilt für sie der Satz: Die Summe der Winkel, die jede Mantellinie des Kegels mit den beiden Brennstrahlen einschließt, ist konstant, nämlich = L- AOB. Dabei ist natürlich auf die richtige Bildung dieser Winkel Rücksicht zu nehmen; läßt man an Stelle eines dieser Winkel den Nebenwinkel treten, so ist die Differenz der beiden Winkel konstant. Ferner ergiebt sich: die Tangentialebene längs einer Mantellinie des Kegels halbiert den einen Winkel der beiden Ebenen, die die Brennstrahlen mit der Mantellinie verbinden. Jede Ebene, die auf einem Brennstrahl des Kegels senkrecht steht, schneidet ihn in einem Kegelschnitt, dessen einer Brennpunkt auf dem betreffenden Brennstrahl liegt.

Die Symmetrieebenen des Kegels sind auch solche für den sphärischen Kegelschnitt, der aus zwei getrennten Teilen besteht entsprechend den beiden Mantelflächen des Kegels.

513. Bei den voranstehenden Betrachtungen hatten wir zur Erzeugung des sphärischen Kegelschnittes einen Kegel benutzt, dessen Basiskurve u zu der schneidenden koncentrischen Kugel in einer besonderen Beziehung stand, indem der Berührungspunkt der Kugel zugleich Brennpunkt von u war. Wir wollen nun zeigen, wie man im allgemeinen Fall die Brennstrahlen eines Kegels konstruieren kann und dadurch wieder zu den früheren Resultaten gelangt. O sei der Scheitel des Kegels, OM die in seinem Innern liegende Kegelachse; als Basisebene des Kegels wählen wir eine zur Achse senkrechte Ebene, die die Kugel im Schnittpunkte M der Achse mit ihr berührt. Die große Achse der Basisellipse v sei CxBx; dann mag TTj mit der Ebene OCxBx und TT2 mit der Basisebene zusammenfallen (in der Fig. 321 ist nur eine Hälfte CxExBx der umgelegten Ellipse v angegeben). Die Strahlen OCv OBx, OEx liefern die Punkte C, B, E des sphärischen Kegelschnittes; dabei ist OME^ das um OM in TTj umgelegte Dreieck OMEv der umgelegte Punkt E und W seine Projektion {E° = OEf x k, E0E' ± OM). Schneidet der Kreis um O mit dem Radius OE' die Gerade CB in den Punkten Gx und G2, dann sind OGx = fx und OG2 = f2 die Brennstrahlen des Kegels, ihre Schnittpunkte Fx und F2 mit der Kugel die Brennpunkte des sphärischen Kegelschnittes.

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Fig. 321.

Um unsere Behauptung zu erhärten, zeigen wir zunächst, daß /LFxOE+ i_ F2OE = l_ BOM ist. Die Sehne CD ist nämlich gleich der Sehne, die man durch E' senkrecht zu fx ziehen kann, da OGx = OE' ist; es sind also auch die zu den Sehnen gehörigen Bogen gleich, die halben Bogen stimmen aber mit Bog MB resp. Bog-Si^ überein. Nun schneiden wir den Kegel mit einer Ebene E, die in Fx auf fx senkrecht steht; dies giebt einen Kegelschnitt u (in der Figur ist es eine Hyperbel) und die Endpunkte A, B einer seiner Achsen liegen auf den Mantellinien OC und OB. Zeigt man jetzt noch, daß man durch die Kurve u einen Rotationskegel legen kann, der der Kugel umgeschrieben ist, so folgt daraus, daß Fx ein Brennpunkt von u ist, und man erhält so wieder die Beziehungen, wie sie sich in Fig. 320 darbieten. Zu diesem Zwecke ziehe man von A und B die Tangenten an k, deren Berührungspunkte respektive / und K seien; ihr Schnittpunkt S ist der Scheitel eines Kegels der die Kugel längs eines Kreises l mit dem Durchmesser JK berührt. Dieser Rotationskegel enthält aber die Kurve u, denn die Schnittkurve von E mit dem Rotationskegel hat mit u nach der Konstruktion die Achse AB und außerdem einen Punkt gemein, wie sogleich dargethan werden soll. Ist P' = AB x OM, so ist SP' die Projektion einer Mantellinie SP des Rotationskegels, die die Kugel in Q berührt (Q' = SP' x JK) und es ist PFx = PQ (als Kugeltangenten). OP schneidet also die Kugel in einem Punkte, dessen sphärische Abstände von Fx einerseits und dem Kugelkreise l über JK anderseits einander gleich sind und dessen Projektion in OM liegt. Diese Eigenschaften besitzt aber der Kugelpunkt E; der Strahl OEEx geht demnach durch P hindurch, was zu beweisen war.

Nach 510 muß OS mit dem Brennstrahl f2 zusammenfallen; dies ergiebt sich auch direkt, denn es ist Bog CJ = Bog CFx {L. CAJ•= i_ CAFx) und Bog CF2 = Bog FxB == Bog BK, also auch BogJF2 = Bog F2K, d. h. F2 liegt auf der Halbierungslinie des Z_ JSK.

514. Die senkrechten Projektionen des sphärischen Kegelschnittes auf seine drei Symmetrieebenen sind wieder Kegelschnitte, wie im Folgenden nachgewiesen werden soll. Die Projektion auf die Ebene der Brennpunkte ist eine Ellipse c, von der zwei Stücke AB und CB im Innern des Kreises k liegen, die beiden andern AC und BB aber außerhalb sich befinden (Fig. 322). Die Punkte jener beiden Stücke bilden die Projektionen von je zwei reellen, die Punkte dieser Stücke die Projektionen von je zwei konjugiert imaginären Kurvenpunkten. Die Ellipse c' ist zu dem Kreise k affin und zwar ist AB oder BC die Affinitätsachse. In der That erhält man jeden Punkt P' dieser Kurve, wenn man auf k gleiche Bogen AP0 = AP0 abschneidet und P'P0 ± OFx und P'P° J_ OF2 macht. Ist nun L = OA x P0P', so folgt aus der erwähnten Gleichheit der Bogen, daß BP0 = LP0 wird. Die Winkel des A LP'P0 sind aber von der Wahl des Kurvenpunktes P' unabhängig, denn zwei seiner Seiten sind zu OFx resp. OF2 senkrecht und i_ P'LP0 = L_ P'LA - i_ P0LA; demnach ist auch das Verhältnis P L: P°L oder P'L: P0L von der Wahl des Punktes P' auf c unabhängig. Die Kurven c' und k sind also affin, OA ist die Affinitätsachse, P'P0 (oder auch P'P°) sind ein Paar affiner Punkte; infolgedessen schneiden die Tangenten von k in P0 resp. P° und die Tangente von c' in P' die Gerade OA in

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dem nämlichen Punkte T. Zu dem gleichen Resultat gelangt man auch nach 428, wenn man noch den zu P' benachbarten Punkt auf c in Betracht zieht.

515. Seien x, y, z die Achsen des Kegels durch c, und zwar mag x den t_ F-fiF^ und y seinen Nebenwinkel halbieren, wo OFx und OF2 nicht durch die Kegelflächen getrennt sind, während z auf der Ebene der Brennpunkte senkrecht steht. Dann ist die Projektion c" von c auf eine zur Ebene yz parallele Ebene eine vollständige Ellipse, deren Halbachsen gleich \AB resp. EE' sind; die Projektion c"' von c auf eine zu xz parallele Ebene dagegen liefert eine Hyperbel, deren Hauptachse gleich AC ist, der reelle Teil von c ergiebt nur zwei Stücke derselben. Daß c" und c"' wirklich Kegelschnitte sind, erkennt man folgendermaßen. Ist P ein Punkt von e und sind pv p2, p3 seine Entfernungen von den Ebenen xy, yz, xz, so ist px2 + p22 + p32 = r2 (r = Kugelradius), da P auf der Kugel liegt . Für die Projektion P' auf xy, wobei p2 und p3 sich in wahrer

Länge projizieren, haben wir: s + ^ = 1, wenn oj < die Halb

achten der Ellipse c' sind (vergl. 332). Aus beiden Gleichungen

können wir eine Relation zwischen pvpz, nämlich;^2 + p3* — . ,

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