S2 und die Polare w von S' in Bezug auf 2 die zu П normalen Sehnen des Kegels A,; diese Ebene enthält noch die Gerade WS2 (W = w × D2D). Die Schnittlinie r beider Ebenen hat den Punkt R = v × w zur Spur und enthält außerdem den Punkt X = VS1 × WS. Die zu П senkrechte Ebene durch r schneidet die beiden Kegel in zwei Kegelschnitten und 2 respektive; r ist für beide gemeinsamer Durchmesser und halbiert die zu П normalen Sehnen beider; die vier Schnittpunkte von und i, liegen also auf zwei Normalen zu П. Die Kegelschnitte, und das soeben genannte Normalenpaar bilden drei Kurven eines Büschels (mit vier gemeinsamen Grundpunkten), sie schneiden also r in drei Punktepaaren einer Involution. Das Punktepaar rx i, liegt auf den Umriẞlinien von A1, das Punktepaar rx i, auf den Umriẞlinien von A, (in der Figur sind diese nicht reell); ein Punkt des dritten Paares liegt auf der Normalen zu П, die den auf m liegenden gemeinsamen Punkt von ¿ und 2 enthält. In der Projektion bildet hiernach der Doppelpunkt F von umit G = r' × m' ein Punktepaar der Involution auf r', von der ein Punktepaar von dem scheinbaren Umriß des Kegels A und ein zweites Punktepaar von dem scheinbaren Umriß des Kegels A, ausgeschnitten wird; es läßt sich somit F nach 224 oder 318 konstruieren.

Im vorliegenden Falle giebt es keine reellen Umrißlinien von Ag, das bezügliche Punktepaar auf ist imaginär. Wir projizieren das reelle und das imaginäre Punktepaar, sowie den Punkt G aus S' auf w, und die so gefundenen Punkte aus einem Punkte von l2 (z. B. von ▲ aus) auf 2, dann entsteht auf eine Involution. Das imaginäre Punktepaar derselben liegt auf w und das reelle auf einer Geraden, die sich leicht zeichnen läßt; das dritte Paar, von dem wir einen Punkt kennen, liegt auf einer Geraden, die sich mit jenen beiden Geraden in einem Punkte schneidet. Daraus ergiebt sich der zweite Punkt des dritten Paares und somit durch die genannten Projektionen der gesuchte Doppelpunkt F.

Die sphärischen Kegelschnitte.

510. Die Durchdringungskurve einer Kugel mit einer koncentrischen Kegelfläche heißt ein sphärischer Kegelschnitt, wenn die Kegelfläche vom zweiten Grade ist, also eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel zur Leitkurve hat. Die Eigenschaften solcher sphärischer Kegelschnitte sollen hier etwas näher untersucht werden. 21) Wir gehen dabei aus von einer uns schon aus 361 be

kannten Figur, indem wir einen Rotationskegel mit einer beliebigen Ebene E schneiden und ihm eine Kugel einbeschreiben, die diese Ebene im Punkte F, berührt; F, ist dann der Brennpunkt der in E liegenden Schnittkurve u. Ist S der Scheitel des Kegels und O das Centrum der Kugel, so machen wir die Ebene SOF1 zur Projektionsebene ПT,; diese steht auf E senkrecht, so daß sich u als Gerade u mit den Endpunkten A, B projiziert, wo SA und SB die in П, liegenden Mantellinien des Kegels sind (Fig. 320). Sind J und K die Berührungspunkte von SA und SB mit der Kugel, so bildet JK einen Durchmesser des Berührungskreises vom Kegel mit der Kugel, dessen Ebene zu П1 normal steht. Schneidet man nun den Kegel mit dem Scheitel O und der Basiskurve u mit der Kugel, so erhält man einen sphärischen Kegelschnitt, dessen Eigenschaften sich in einfachster Weise ergeben.

511. Die Tangenten aus einem Punkte P an eine Kugel sind gleich lang; durch Projektion dieser Tangenten vom Mittelpunkte O aus

4

Fig. 320.

auf die Kugel erhält man gleich lange Stücke größter Kreise. Ist P ein Punkt von u, so berührt PS die Kugel, ihr Berührungspunkt I liegt auf dem Kreise mit dem Durchmesser JK und I' fällt auf JK. Die Tangenten PF, und PL sind gleich und Bog QF1 = Bog QL, wenn OP die Kugel in Q trifft. Der Bogen QF, gehört einem größten Kreise mit dem Durchmesser FF, an und der Bogen QL einem größten Kreise mit dem Durchmesser FF, der auf OS liegt. Da der Bogen QL auf dem Kreise JLK senkrecht steht, so giebt er den sphärischen Abstand des Punktes Q von jenem Kreise an und es erscheint der sphärische Kegelschnitt als Ort der Punkte, die von einem festen Punkte F1 und einem festen Kreise KLJ gleich weit abstehen, wobei diese Abstände durch Bogenstücke größter Kreise auf der Kugel zu messen sind. Dreht man den Bogen QF um die Achse FO in П, so geht er in F1Q° über (Q'Q° OF); ebenso läßt sich der Bogen QL durch Drehung

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=

um die Achse SO in die Lage KQ, bringen (Q'QOS). Demnach ist Bog KQ Bog FQ°, und da BK = BF1, ist auch Bog DK = Bog DF, wenn OB die Kugel in D schneidet; hieraus folgt aber durch Subtraktion Bog DQo Bog DQo. Dies ergiebt eine einfache Konstruktion der Punkte des sphärischen Kegelschnittes. Schneidet man von D aus auf dem Kugelkreise in П1 gleiche Bogen ab, z. B. DQ = DQ°, und zieht durch die Endpunkte Senkrechte zu OF, und OF, respektive, so ist ihr Schnittpunkt die Projektion eines Punktes des sphärischen Kegelschnittes, z. B. Q'.

=

=

Da Bog FQ Bog FQ, und Bog QL = Bog QK ist, so folgt: Bog F2Q+ Bog QF1 Bog FK; der letztgenannte Bogen ist aber von der Lage des Punktes P unabhängig. Der sphärische Kegelschnitt erscheint also als Ort der Punkte, für die die Summe der sphärischen Abstände von zwei festen Punkten konstant ist. Unter dem sphärischen Abstand zweier Kugelpunkte ist hierbei das von ihnen begrenzte Stück eines größten Kreises zu verstehen. Die Punkte Fund F2 spielen für den sphärischen Kegelschnitt ganz die gleiche Rolle wie die Brennpunkte bei einer Ellipse und werden als seine Brennpunkte bezeichnet. Aus unserem Satze folgt, daß Bog F,C = Bog FD sein muß, es ergiebt sich dies auch aus den Relationen: Bog FJ Bog FK, Bog CJ = Bog CF und Bog DF1 = Bog DK; die Summe der sphärischen Abstände eines Kurvenpunktes von den beiden Brennpunkten Fund F2 ist demnach Bog CD, d. h. gleich dem sphärischen Abstand der Scheitel C und D.

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=

=

Es ist (wenn man den Kugelradius als Längeneinheit nimmt): Bog QF2 =π Bog QF; durch Einsetzen dieses Wertes in die Relation: Bog QF1 + Bog QF2 = Bog CD kommt: Bog QF, – Bog QF1 Bog DG. Wir sehen hieraus, daß auch F, und F, die gleiche Rolle spielen, deshalb nennt man F1, F1⁄2, F3, F4 die vier Brennpunkte unserer Kurve. Je nach der Auswahl zweier Brennpunkte ist die Summe oder die Differenz ihrer sphärischen Abstände von den Kurvenpunkten konstant; die bezüglichen Relationen sind: Bog QF + Bog QF2 Bog CD, Bog QF - Bog QF1 = Π Bog CD, Bog QF + Bog QF 2π 27-Вog CD, Bog QF - Bog QF2 = π- Bog CD. Legt man durch zwei benachbarte Punkte unserer Kurve zwei Ebenen senkrecht zu OF, und ebenso zwei Ebenen senkrecht zu OF, so ist nach dem vorausgehenden Satze der sphärische Abstand der beiden benachbarten, zu OF, senkrechten Kreise gleich dem sphärischen Abstand der beiden zu OF, senkrechten Kreise. Die

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2

-

zwei Paar Kugelkreise durch die benachbarten Kurvenpunkte bilden demnach einen unendlich kleinen Rhombus, dessen Diagonale die Kurventangente in dem betreffenden Punkte ist und den Winkel der genannten Kugelkreise halbiert. Die Kugelkreise, die den Kurvenpunkt mit den Brennpunkten verbinden, stehen aber auf jenen Kreisen senkrecht und wir erhalten den Satz: Die Tangente in einem Punkte eines sphärischen Kegelschnittes halbiert den Winkel (oder Nebenwinkel) der beiden Kreisbogen, die den Punkt mit zwei Brennpunkten verbinden.

1

512. Die erzielten Resultate lassen sich unmittelbar auf den Kegel mit dem Scheitel O und der Leitkurve u übertragen, der unsere sphärische Kurve aus dem Kugelcentrum projiziert. Die Strahlen OF, und OF, heißen die Brennstrahlen des Kegels. Die Ebene OAB oder П, ist eine Hauptebene des Kegels; die beiden Geraden, die den AOB und seinen Nebenwinkel halbieren, bilden zwei Achsen des Kegels, dessen dritte Achse auf П1 senkrecht steht (vergl. 478). Die beiden Brennstrahlen liegen zu den Achsen symmetrisch und es gilt für sie der Satz: Die Summe der Winkel, die jede Mantellinie des Kegels mit den beiden Brennstrahlen einschließt, ist konstant, nämlich AOB. Dabei ist natürlich auf die richtige Bildung dieser Winkel Rücksicht zu nehmen; läßt man an Stelle eines dieser Winkel den Nebenwinkel treten, so ist die Differenz der beiden Winkel konstant. Ferner ergiebt sich die Tangentialebene längs einer Mantellinie des Kegels halbiert den einen Winkel der beiden Ebenen, die die Brennstrahlen mit der Mantellinie verbinden. Jede Ebene, die auf einem Brennstrahl des Kegels senkrecht steht, schneidet ihn in einem Kegelschnitt, dessen einer Brennpunkt auf dem betreffenden Brennstrahl liegt.

=

Die Symmetrieebenen des Kegels sind auch solche für den sphärischen Kegelschnitt, der aus zwei getrennten Teilen besteht entsprechend den beiden Mantelflächen des Kegels.

513. Bei den voranstehenden Betrachtungen hatten wir zur Erzeugung des sphärischen Kegelschnittes einen Kegel benutzt, dessen Basiskurve u zu der schneidenden koncentrischen Kugel in einer besonderen Beziehung stand, indem der Berührungspunkt der Kugel zugleich Brennpunkt von u war. Wir wollen nun zeigen, wie man im allgemeinen Fall die Brennstrahlen eines Kegels konstruieren kann und dadurch wieder zu den früheren Resultaten gelangt. O sei der Scheitel des Kegels, OM die in seinem Innern liegende Kegelachse; als Basisebene des Kegels wählen wir eine zur

Achse senkrechte Ebene, die die Kugel im Schnittpunkte M der Achse mit ihr berührt. Die große Achse der Basisellipse v sei CD1; dann mag П1 mit der Ebene OCD, und П, mit der Basisebene zusammenfallen (in der Fig. 321 ist nur eine Hälfte CED1 der umgelegten Ellipse v angegeben). Die Strahlen OC1, OD1, OE1 liefern die Punkte C, D, E des sphärischen Kegelschnittes; dabei ist OME° das um OM in П, umgelegte Dreieck OME1, Eo der umgelegte Punkt E und E' seine Projektion (Eo OE2° × k, ЕE' 1 OM). Schneidet der Kreis um O mit dem Radius OE' die Gerade CD in den Punkten G1 und G2, dann sind OG1 = f1 und OG, Brennstrahlen des Kegels, ihre Schnittpunkte F1 und F2 mit der Kugel die Brennpunkte des sphärischen Kegelschnittes.

=

0

2

f, die

Fig. 321.

Um unsere Behauptung zu erhärten, zeigen wir zunächst, daß ▲ F2OE + FOE DOM ist. Die Sehne CD ist nämlich gleich der Sehne, die man durch E' senkrecht zu f1 ziehen kann, da OG1 = OE' ist; es sind also auch die zu den Sehnen gehörigen Bogen gleich, die halben Bogen stimmen aber mit Bog MD resp. Bog EF, überein. Nun schneiden wir den Kegel mit einer Ebene E, die in F1 auf f1 senkrecht steht; dies giebt einen Kegelschnitt u (in der Figur ist es eine Hyperbel) und die Endpunkte A, B einer seiner Achsen liegen auf den Mantellinien OC und OD. Zeigt man jetzt noch, daß man durch die Kurve u einen Rotationskegel legen kann, der