züglichen Mantellinien legt. Die Hilfsebenen, welche den ersten Cylinder berühren, deren erste Spuren also k tangieren, schneiden den zweiten Cylinder in zwei Mantellinien, die von u und deren Projektionen von u' resp. u" berührt werden. Ebenso schneiden die Hilfsebenen, die den zweiten Cylinder berühren, deren Spuren in E i Ba Fig. 316. also c tangieren, den ersten Cylinder in je zwei Mantellinien, deren Projektionen u resp. u" berühren. Die Tangente t von u in einem Punkte N erscheint als Schnitt der beiden Ebenen, die die Cylinder längs der bez. Erzeugenden NP resp. NL tangieren. Die Spur der einen in П1 berührt k in P, die Spur der andern in E berührt c in L und ihre Projektion be rührt c in L. Die Hilfsebenen schneiden diese beiden Tangentialebenen in Geraden, die zu den bez. Mantellinien parallel laufen, daraus ergiebt sich die Konstruktion eines Punktes von t Die Spur WX (|| R1T) der Hilfsebene schneidet die genannten Tangenten von k und c' in X und W (wobei We1 x WL gewählt ist); sind W: = dann XY' und WY' respektive parallel zu den Umrißlinien des ersten und zweiten Cylinders, so ist ein Punkt von t'; mit Hilfe des ersten Spurpunktes t'x PX läßt sich unmittelbar t" zeichnen. Was die Sichtbarkeit von u' und u" anlangt, so ist zu bemerken, daß nur solche Teile dieser Kurven sichtbar sein können, die sich auf den sichtbaren Teilen beider Cylinder befinden. Man sucht also bei beiden Cylindern die sichtbaren Teile auf und zwar so, als ob jeder nur allein vorhanden wäre; sie werden von den Umriẞlinien begrenzt; ein Punkt von u' (oder u") ist dann sichtbar, wenn die Erzeugenden durch ihn bei beiden Cylindern auf den sichtbaren Teilen ihrer ersten (oder zweiten) Projektion liegen. Die sichtbaren Teile von u resp. u" endigen auf den Umrißlinien. 499. Jede beliebige Projektion von u zeigt zwei Doppelpunkte - gewöhnliche oder isolierte oder imaginäre - wie wir jetzt nachweisen wollen. Wir werden im Folgenden speziell die Doppelpunkte von u bestimmen, die Betrachtungen bleiben indessen mit geringen Modifikationen für jede beliebige Projektionsrichtung gültig. Alle zu П, normale Sehnen des ersten Cylinders werden durch eine Ebene halbiert, die auch die Berührungspunkte der zu П, normalen Cylindertangenten und somit die Umrißlinien des Cylinders enthält (vergl. 478); die erste Spur dieser Ebene ist EF, wenn E und F die Spurpunkte der Umrißlinien sind. Ebenso halbiert eine Ebene die zu П, normalen Sehnen des zweiten Cylinders, sie enthält seine Umriẞlinien und schneidet seine Basisebene E in AB. Die Schnittlinie beider Ebenen sei s, die erste projizierende Ebene durch s schneide den ersten Cylinder in dem Kegelschnitt i, den zweiten in dem Kegelschnitt j. Die Linie s halbiert zugleich die zu П, senkrechten Sehnen von i und von j; s ist deshalb ein gemeinsamer Durchmesser von i und j; die zu s konjugierten Durchmesser von i und j stehen auf П, senkrecht. Die vier Schnittpunkte von i und j liegen paarweise auf zwei Normalen zu П1, ihre ersten Projektionen liefern die beiden Doppelpunkte von u'; es kommt also nur noch darauf an, die Schnittpunkte von i und j zu finden. 19 Um zunächst die Projektion s' von s zu zeichnen, auf der die gesuchten Doppelpunkte von u' liegen, haben wir die beiden Ebenen, die die Umriẞlinien unserer Cylinder enthalten, zum Schnitt zu bringen; eine von ihnen besitzt die Spur EF in П1, die andere die Spur AB in E. Ihre Schnittlinien mit einer Hilfsebene sind den bezüglichen Umrißlinien parallel; die Hilfsebene durch einen Punkt Z von e1 schneidet П, in ZM2 (|| TR1) und E in ZM (|| TU, ZM' || TU'); durch M2 auf EF und durch M′ auf A′B′ zieht man die Parallelen zu den bez. Umrißlinien; sie treffen sich in einem Punkte G' von s'. Ganz analog ergiebt sich der Punkt H' von s'. Die Schnittpunkte von i und j bestimmt man nun nicht direkt, sondern projiziert beide Kurven durch Strahlen parallel zu den Mantellinien des ersten Cylinders auf П. Bezeichnet man mit 2 und j, diese Projektionen von i und j, so ist ik und zugleich EFs, die gleichnamige Projektion von s; die eine Achse A,B2 von j, liegt auf s2, die andere C2D2 steht in M2 darauf senkrecht, da ja beim Kreise konjugierte Durchmesser zu einander senkrecht sind. Die Punkte 42, B2, M2, C2, D2 liegen hierbei auf Parallelen zu R1T, die e1 in den nämlichen Punkten treffen, wie die Geraden durch A, B, M', C', D', die zu UT parallel sind (A′V|| U'T, VA, || TR1 u. s. w.); denn je zwei entsprechende Punkte A', A2 u. s. w. liegen in einer der parallelen Hilfsebenen. 91 = 2 2 Wir haben nun die Schnittpunkte von k und ją zu bestimmen, wobei wir nach 396 u. ff. verfahren könnten, indem wir an dem unendlich fernen Punkte von CD2 die Involution gemeinsamer harmonischer Polaren und ihre Doppelstrahlen bestimmen. Die ersten Projektionen der zugehörigen Mantellinien des ersten Cylinders decken sich dann paarweise und tragen die beiden Doppelpunkte 1, 2 von u' (in der Figur ist 1 ein gewöhnlicher, 2 ein isolierter Doppelpunkt). Die vier Schnittpunkte von k und j2 liegen paarweise auf zwei zu s1⁄2 normalen Geraden g1 und g; k, j, und das Geradenpaar 919, bilden also drei Kegelschnitte eines Büschels mit den nämlichen vier Grundpunkten und werden deshalb von jeder Geraden in drei Punktepaaren einer Involution geschnitten. Loten wir alle diese Involutionen auf s2, so haben dieselben alle ein Punktepaar gemein, nämlich das Punktepaar G1 = 91 × 82, G2 = 92 × s2; wir können dieses also als gemeinsames Punktepaar zweier Involutionen finden. Die eine Involution ist bestimmt durch die beiden Punktepaare E, F und A2, B2; zwei Punktepaare einer andern Involution erhalten wir, indem wir k und j, mit einer Geraden schneiden und die Schnittpunkte auf s2 loten; am besten wählt man dazu die Gerade durch C2 parallel zu s2, die also j, berührt. Das Aufsuchen des gemeinsamen Punktepaares G1, G2 zweier Involutionen geschieht dann nach 353. Die Bestimmung der Doppelpunkte von u" kann analog vorgenommen werden. Die Doppelpunkte von u' können entweder reell oder konjugiert imaginär sein, je nachdem das gemeinsame Punktepaar der beiden Involutionen reell oder imaginär ist. Die reellen Doppelpunkte sind entweder beide gewöhnliche oder beide isolierte, oder es giebt unter ihnen einen gewöhnlichen und einen isolierten, je nachdem k und j, vier, oder keinen, oder zwei reelle Punkte gemeinsam haben. 19 3 500. Durchdringung eines geraden Kreiskegels mit einem geraden Kreiscylinder (Fig. 317). Der Basiskreis k des Kegels liege in П,, der Basiskreis c des Cylinders in einer beliebigen Ebene E mit den Spuren e, und e2, und es sei co der um e̟ in Ã1⁄2 umgelegte Kreis c. Zur Konstruktion benutzen wir eine Seitenriẞebene П,, die zu П, senkrecht und zu den Mantellinien des Cylinders parallel ist, also auf e, senkrecht steht; gleichzeitig soll TT, durch den Scheitel 8 des Kegels gehen (y = П × П1, ye1). Wir suchen dann die dritte Spur e, von E und mit ihrer Hilfe die kleine Achse B'C von c' (Y= y × e̟1, YB"" = CB), wonach sich dann der Grundriß des Cylinders ergiebt. Nun ziehen wir durch & eine Parallele S a zu den Erzeugenden des Cylinders, sie liegt in П und schneidet П1 in 4, und E in A, (a" eg, d" × y = A1, a" × е3 = eg A2" A'Â""' y). Alle Hilfsebenen durch die Achse a schneiden sowohl aus dem Cylinder wie aus dem Kegel Mantellinien, ihre Schnittpunkte gehören der Durchdringungskurve u an. Jede Hilfsebene besitzt in П, eine durch 4, verlaufende Spur und in E eine durch A verlaufende Spur, beide Spuren schneiden sich auf e1. Verbindet man also irgend einen Punkt von e, einerseits mit 41, andererseits mit A', so schneidet erstere Linie k in zwei Punkten und bestimmt so zwei Erzeugende des Kegels, während letztere Linie c' in zwei Punkten trifft und so zwei Erzeugende des Cylinders bestimmt; die vier Schnittpunkte dieser Erzeugenden liegen auf u. Anstatt nun c' mit den Strahlen durch A, zu schneiden, ist es zweckmäßig, die Ebene E um e1 in П1 umzulegen und co mit den Strahlen durch A2o zu schneiden. So erhält man z. B. auf der Umrißlinie des Cylinders, die c' in E' berührt, die Berührungspunkte Fund G′ von u, indem man den Punkt 4°E° x e, mit A, verbindet, diese Linie mit k in F1 und G1 schneidet; dann liegt F" auf S'F1 und G' auf S'G1. Berührt AoU den Kreis c° in H° und schneidet U den Kreis k in J und K1, so berühren S'J, und S'K1 die Kurve u in J' und K', wo H°, J', K' auf einer Parallelen zu y liegen. Berührt AV den Kreis k in L1 und schneidet 4° den Kreis co in Mo und No, so werden die zugehörigen Erzeugenden des Cylinders von น 1 2 1 berührt, so die Erzeugende durch M im Punkte L (MoL' || y, S'L1 × M°L' = L'). Im besonderen schneidet П, Cylinder und Kegel in Erzeugenden, deren Schnittpunkte aus dem Seitenriß entnommen werden können, man erhält so die vier Schnittpunkte von u' mit y. Um den Aufriẞ u" der Durchdringungslinie genau zu zeichnen, |