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auf der bezw. Tafelebene senkrecht; die eine Projektion ist ihr Spurpunkt, ihre beiden anderen Projektionen sind wie g selbst zu einer Nebenachse parallel. Mit Hilfe des Seitenrisses g"" wird die Aufgabe gelöst: von einer als Verbindungslinie zweier Punkte P und gegebenen Geraden g die Spuren zu konstruieren, wenn die Projektionen P', P", Q', Q" in einer Senkrechten zur Achse z liegen. Man sucht zuerst P"" und Q", sodann zieht man den Seitenriß g"" = = P""Q" und findet mit seiner Hilfe G, und G2.

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45. Die Ebene. Die Spuren e, und e, einer Ebene E sind zwei Gerade, die sich in einem Punkte E der Achse schneiden. Ist E der Achse parallel, so sind es auch e, und e. Umgekehrt dürfen je zwei sich auf der Achse schneidende, oder zu ihr parallele Gerade e1 und ex als Spuren einer Ebene angenommen werden. Schneiden sich die Spuren in einem erreichbaren Punkte der Achse (Fig. 33), so bilden sie in der Ebene E selbst vier Winkelfelder, deren Punkte je einem Quadranten

des Raumes angehören. Ist e, zur Achse senkrecht, so ist E zu П2 normal; ist dagegen e, rechtwinklig zur Achse, so steht E zu TT, senkrecht; findet beides gleichzeitig statt, so ist E normal zur Achse. In diesen drei Fällen sind in E selbst die Spuren zu einander rechtwinklig. Sind beide Spuren zur Achse parallel, so gilt dies auch von E und umgekehrt. E zerfällt dann durch e1 und e, in drei, je in einem Raumquadranten verlaufenden Parallelstreifen; der vierte Quadrant enthält überhaupt keinen Punkt von E. Die Figuren 34 a, b, c, d

P"

p"

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entsprechen den hierbei möglichen. Fällen. Um die Lage von E deutlicher zu machen, ist jedesmal außer e1 und es in der umgelegten Seitenrißebene die dritte Spur e, mitgezeichnet. Fallen die beiden ersten Spuren e und e2 in die Achse zusammen, so ist die Angabe der dritten Spur e, (die den Ursprung enthält) zur Bestimmung von E erforderlich. Da es in diesem Falle nicht nur die dritte Spur, sondern zugleich die dritte Projektion von E darstellt, so verbindet dieselbe die dritte Projektion eines beliebig auf E gegebenen Punktes P mit dem Ursprung 0, also es OP"" (Fig. 35).

=

Fig. 35.

Punkte, Gerade und Ebenen in vereinigter Lage. Verbindungsund Schnittelemente. Parallelismus.

46. Aus der Entwickelung der Darstellungsmethode für Punkte, Gerade und Ebenen folgen eine Reihe allgemeiner Sätze.

Die Projektionen eines Punktes P liegen auf den gleichnamigen Projektionen jeder durch ihn gehenden Geraden g.

Die Spurlinien einer Ebene E enthalten die gleichnamigen Spurpunkte jeder auf ihr liegenden Geraden g.

47. Schneiden sich zwei Gerade g und h, so sind die Projektionen P' und P" des Schnittpunktes P die Schnittpunkte gh' und g"× h" der gleichnamigen Projektionen der Geraden, folglich ist ihre Verbindungslinie zur Achse senkrecht (Fig. 36 und 38). Sind zwei Gerade parallel, so sind ihre gleichnamigen projizierenden Ebenen und folglich ihre gleichnamigen Projektionen parallel (Fig. 37).

G

Im besonderen können sich zwei gleichnamige Projektionen paralleler Geraden auf Punkte reduzieren.

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Liegen zwei Gerade g und h in einer Ebene E, so sind ihre Spuren e, und e, die Verbindungslinien G1H, und G12 der gleichnamigen Spur

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Geraden; sind die gleichnamigen Projektionen parallel, so sind es auch die Geraden selbst. Zwei Gerade, deren

Projektionen keine dieser beiden Voraussetzungen erfüllen, sind windschief (haben keinen Punkt gemein).

Schneiden sich die Verbindungslinien der gleichnamigen Spurpunkte zweier Geraden in einem Punkte der Achse, oder sind sie beide zur Achse parallel, so liegen die Geraden in einer Ebene. Zwei Gerade, deren Spurpunkte keiner dieser beiden Bedingungen genügen, sind windschief (haben keine Verbindungsebene).

Die beiden letzten Kriterien sind einander äquivalent, insofern je zwei sich schneidende oder parallele Gerade eine Ebene bestimmen, resp. je zwei in einer Ebene liegende Gerade einen erreichbaren oder unendlich fernen Punkt gemein haben.

49. Es giebt einige besondere Lagen der beiden betrachteten Geraden gegen das Tafelsystem, bei denen die Voraussetzungen des einen oder anderen der Sätze in 48 für die ersten und zweiten Projektionen oder Spurpunkte an sich erfüllt sind, ohne daß daraus die Existenz eines Schnittpunktes und einer Verbindungsebene geschlossen, bezw. diese selbst nach einem der vorausgehenden Sätze direkt gezeichnet werden könnten. Hierzu kommt, daß gegebenen Falles die Schnitt- und Spurpunkte zum Teil außerhalb der Zeichnungsfläche fallen können, so daß keines der beiden.

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der Achsex schneiden; andernfalls sind g und h windschief. Ist der Schnittpunkt auf der Achse r nicht erreichbar, wie in der Figur,

so wird man den Seitenriß zu Hilfe nehmen. Liegen beide Gerade in derselben Normalebene zur Achse, so schneiden sie sich oder sind parallel, je nachdem dies bei ihren dritten Projektionen g" und h" der Fall ist. Schneidet g die Achse in G, so verbinde man einen beliebigen Punkt P auf g mit einem Punkte Q auf h durch eine Gerade i und suche ihre Spurpunkte, sowie die Spurlinien der Ebene E = hi. Fällt der Achsenschnittpunkt E-e1 Xe 2 der letzteren mit G zusammen, so geht sie zugleich durch g (Fig. 40); andernfalls

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g"

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g'.

beiden gegebenen Geraden g und h schneidende Hilfsgerade i wird auch in dem Falle benutzt, wenn g und h die Achse in getrennten Punkten schneiden. Sollen beide in einer Ebene E liegen, so muß auch i die Achse treffen; ihre Seitenspur eg deckt sich dann mit den zusammenfallenden Seitenrissen g"" und h"".

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Im Interesse der Genauigkeit der Zeichnung werden die hier besprochenen Konstruktionen auch öfters verwendet, wo es theoretisch nicht nötig wäre. Ist z. B. die Gerade h beliebig, liegen aber die Spurpunkte von g nahe bei der Achse, so können die beiden Geraden windschief sein und gleichwohl können die Geraden G1H, und G2H2 die Achse in so benachbarten Punkten schneiden, daß man sie in der Zeichnung nicht mit Sicherheit als getrennt bestimmen kann.

2

51. Parallele Ebenen haben in jeder Tafel parallele Spurlinien. Umgekehrt folgt aus dem Parallelismus der gleichnamigen Spuren zweier Ebenen, daß diese selbst parallel sind. Hierbei genügt es im allgemeinen die ersten und zweiten Spuren zu betrachten; nur wenn diese sämtlich zur Achse parallel laufen, sind noch die Spuren in irgend einer Hilfsebene, z. B. der Seitenrißebene, als unter sich parallel festzustellen.

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