1 S' von e. Die Polare des Punktes J= 4B, xe, muß wieder CD1 und O, der Pol von e, sein (JC, berührt k in C1). J, O1 und der unendlich ferne Punkt von e, bilden ein Poldreieck von k; das Bild von e, fällt ins Unendliche, also ergeben die Bilder von A,B1 und CD, konjugierte Durchmesser von u' (A'B' || S'J geht durch F1. C'D' geht durch O', wo O' das Bild von 0, ist). Ist K1 der Schnittpunkt von e, mit der Kreistangente JC1, so ist C'K1 || SJ die Tangente von u' in C' und CK, die Tangente von u。 in C。. 1 1 = = 493. Zur Abwickelung des Kegelmantels nehmen wir die Ebene SP1Q1, die ihn in zwei symmetrische Teile zerlegt, und teilen den Kreisumfang von k von P1 ausgehend in lauter gleiche Stücke, etwa 24; die zugehörigen Mantellinien zerlegen den Kegelmantel in 24 Teile. Annäherungsweise kann nun der Kegel durch eine 24-seitige Pyramide ersetzt werden, deren Seitenflächen Dreiecke sind, die je zwei Mantellinien zu Seiten und gleiche Sehnen des Grundkreises zu Grundlinien haben. Die Abwickelung geschieht durch Nebeneinanderlegen der genannten Seitenflächen, wozu man die Längen der nach den 24 Teilpunkten laufenden Mantellinien braucht. Diese Längen findet man unter Benutzung einer Aufrißebene, die durch S senkrecht zu e, gelegt ist, indem man die einzelnen Mantellinien um SS' in diese Aufrißebene dreht (S'P S'P, SP1 SP2, SQ1 = SQ, etc.); hierbei ergeben sich auch ihre Schnittpunkte mit u (P = SP1 × E, P" = SP1" × е2, PP" ||x, P = P°P" x SP1° etc.). Beim Abwickeln von k gelangen die 24 Teilpunkte auf 13 Kreise um den gemeinsamen Mittelpunkt S, deren Radien den bezüglichen Mantellinien gleich sind; die Radien für den größten und kleinsten sind SP und SQ1; die Abstände je zweier aufeinanderfolgender Teilpunkte auf der Abwickelung von k sind der Seite des k eingeschriebenen regulären 24-Ecks gleich. Auf den 24 abgewickelten Mantellinien (in der Figur sind nur 12 eingezeichnet) trägt man noch die von der Schnittkurve u begrenzten Teilstücke auf (SQ SQo, SP, etc.) und gewinnt so Punkte der abgewickelten u. Die Tangente im Punkte E von u liegt in E und in der Tangentialebene, die den Kegel längs SEE, berührt und deren Spurlinie ET den Kreis k in E, berührt; deshalb ist T= E1Tx e1 der Spurpunkt der gesuchten Tangente (TE' berührt u in E'). Macht man S'RET und überträgt man das rechtwinklige ASER sowie E1T in die abgewickelte Figur, so ist ER die Tangente des abgewickelten Kreises k im Punkte E, und es ist ET die Tangente der abgewickelten Kurve u, da ihr Neigungswinkel gegen SE derselbe ist wie EET auf dem Kegelmantel selbst. SP = - Die Wendepunkte der abgewickelten k sind und Y1 nach 452, denn die Tangentialebenen längs der Umrißlinien SX, und SY, sind zu П, senkrecht. Die Wendepunkte der abgewickelten u sind U und V, wenn die Tangentialebenen längs der Kanten SU und SV auf E senkrecht stehen, d. h. wenn sie das von S auf E gefällte Lot SL enthalten (SZ 1 e2). L ist der erste Spurpunkt dieses Lotes und die Tangenten von I an k sind die ersten Spurlinien der genannten Tangentialebenen; ihre Berührungspunkte U und sind die ersten Spurpunkte der beiden Mantellinien, deren Abwickelungen die gesuchten Wendepunkte tragen. Die Punkte P1 und sind für die abgewickelte k Scheitelpunkte, deren Krümmungsradien PP, und QQ, sind; denn S2Q,S' = ≤ Q3 Q1 M1 und SPS' L P2P1M2 (S2S' || Q2M1P2 S'M1, SS' SS') sind die Neigungswinkel von SQ1 und SP1 gegen T1, und es ist PP2 =r: cos PPM und Q12 = r: cos Q2 Q1 M1. 1 = 1 2 2 = 494. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreiskegel (Fig. 315). Nach 453 verstehen wir unter einer geodätischen Kurve auf einer abwickelbaren Fläche eine solche, die bei der Abwickelung in eine Gerade übergeht. Wickeln wir also die Mantelfläche des geraden Kreiskegels ab, wobei wir einen Kreisausschnitt erhalten (vergl. 491), so entspricht jede Gerade auf dem abgewickelten Mantel einer geodätischen Linie auf dem Kegel. Zu allen Geraden auf ersterem, deren Abstände von S unter sich gleich sind, gehören kongruente geodätische Linien auf letzterem; überhaupt sind je zwei geodätische Linien des Kegels ähnliche Kurven. Soll eine geodätische Linie zwei Punkte P und Q der Kegelfläche verbinden, so suche man die entsprechenden Punkte in der Abwickelung auf, verbinde sie durch eine Gerade u und konstruiere nun zu dieser die entsprechende Kurve u auf der Kegelfläche. Zu diesem Zweck teilt man den Grundkreis k in eine Anzahl gleicher Teile, zieht die nach den Teilpunkten verlaufenden Mantellinien, bestimmt ihre Abwickelungen, deren Schnittpunkte mit der Geraden u man wieder auf den Kegel überträgt. Die Linie SA1u liefert den Punkt SA1 Xu, der dem Scheitel der geodätischen Linie entspricht; die Linien SB1 sind beide Abwickelungen der nämlichen Mantellinie SB1 (Bog AB1 ist gleich dem halben Umfang von k), deshalb entsprechen ihre auf der Geraden u liegenden Punkte B einem Doppelpunkt B der geodätischen Linie. In der Figur ist ein Teil des Kegelmantels doppelt abgewickelt, weil die geodätische Linie einen Teil der Mantellinien zweimal trifft. A = 1 495. In der Abwickelung sind SC1 und SD1 zu u parallel, auf dem Kegel tragen deshalb die Mantellinien SC1 und SD, die unendlich fernen Punkte der geodätischen Linie. Die Tangente in einem Punkte P der geodätischen Linie schließt mit der Erzeugenden SP8 den gleichen Winkel ein, wie die Gerade u mit der abgewickelten SP8. Der Spurpunkt Q jener Tangente liegt deshalb auf der Kreistangente des Punktes 8 in der Entfernung Q8, die wir aus der von u Fig. 315. Abwickelung entnehmen können; ihre Projektionen sind QP' und Q"P". Ganz ebenso erhält man als Spurpunkte der Asymptoten d. h. der Tangenten in den unendlich fernen Punkten die Punkte R und T; sie liegen auf den Tangenten der Punkte D und C1 respektive und die Strecken D, R und CT sind den bezüglichen Strecken in der Abwickelung gleich. Die Asymptoten i, j selbst sind zu den Geraden SC, und SD, parallel, ihre Projektionen also zu S'C1, S'D1, S′′С1′′, S′′D ̧”. Die Projektion u' ändert den Sinn ihrer Krümmung nicht, dagegen u"; als Wendepunkte von u" projizieren sich die Punkte von u, deren Schmiegungsebenen auf П, senkrecht stehen; die ersten Spurlinien dieser Schmiegungsebenen stehen also auf der r-Achse senkrecht. Bestimmt man demnach die Spurkurve der abwickelbaren Fläche unserer geodätischen Linie und legt an sie Tangenten senkrecht zur x-Achse, zieht durch ihre Berührungspunkte die bezüglichen Tangenten an k und durch deren Berührungspunkte die Mantellinien, so schneiden diese aus u die Punkte aus, die sich im Aufriß als Wendepunkte projizieren. Läßt man in der Figur einen Punkt auf u von E nach P wandern, so beschreibt die zugehörige Tangente in П1 eine Spurkurve, die E mit Q verbindet; dieses Kurvenstück EQ besitzt eine zur z-Achse senkrechte Tangente, woraus sich der zugehörige Wendepunkt auf P"E" mit seiner Tangente ergiebt (in der Figur ist die Konstruktion weggelassen). Durchdringung von Kugel-, Cylinder- und Kegelflächen. 496. Um die Durchdringungslinie oder Schnittkurve zweier beliebiger Oberflächen zu zeichnen, muß man eine Reihe einzelner Punkte von ihr bestimmen. Dieses geschieht dadurch, daß man auf beiden Oberflächen Kurven aufsucht, die sich wirklich schneiden und so in den Schnittpunkten Punkte der Durchdringungslinie liefern. Schneidet man die gegebenen Oberflächen mit einer dritten, so erhält man auf denselben Kurven, deren Schnittpunkte auf der Durchdringungslinie liegen. Hiermit wird scheinbar unsere ursprüngliche Aufgabe: die Schnittkurve zweier Oberflächen zu finden, auf eine kompliziertere Aufgabe: die beiden Oberflächen mit einer dritten zu schneiden, zurückgeführt; da man indessen die dritte oder Hilfsoberfläche beliebig wählen darf, so läßt sich diese Wahl so treffen, daß die Schnittkurven mit den gegebenen Oberflächen leicht angegeben werden können. Es kommt also bei der Konstruktion der Durchdringungslinie zweier Flächen im wesentlichen darauf an, geeignete Hilfsflächen ausfindig zu machen. In den allermeisten Fällen benutzt man Ebenen als Hilfsflächen und es ist in jedem einzelnen Falle zu überlegen, welche Hilfsebenen am besten geeignet sind, um die Konstruktion so viel wie möglich zu vereinfachen. Häufig können Hilfsebenen parallel oder senkrecht zu einer Projektionsebene Verwendung finden, wobei dann die eine Projektion der in den Hilfsebenen liegenden Schnittkurven als gerade Linie erscheint. 497. Auf den Cylinder- und Kegelflächen liegen gerade Linien, die Erzeugenden oder Mantellinien; die Hilfsebenen zur Konstruktion der Durchdringungslinie zweier solcher Flächen wählt man deshalb so, daß sie beide Flächen in Erzeugenden schneiden. Handelt es sich dabei um zwei Kegel, so müssen die Hilfsebenen durch die Verbindungslinie ihrer Scheitel gelegt werden; handelt es sich um einen Kegel und einen Cylinder, so legt man die Hilfsebenen durch die Gerade, die durch den Scheitel des Kegels parallel zu den Mantellinien des Cylinders verläuft; sollen endlich zwei Cylinderflächen zum Durchschnitt gebracht werden, so nimmt man lauter Hilfsebenen, die den Erzeugenden beider parallel sind. Um die Mantellinien zu bestimmen, die eine Hilfsebene aus einer Cylinder- oder Kegelfläche ausschneidet, deren ebene Basiskurve man kennt, hat man nur die Schnittgerade der Hilfsebene und Basisebene mit der Basiskurve zu schneiden; durch diese Schnittpunkte verlaufen die gesuchten Mantellinien. Welcher Art die Basiskurve ist, ist hierbei gleichgültig. 498. Die Durchdringung zweier Cylinderflächen zu finden, deren Grundkurven Kegelschnitte sind (Fig. 316). Der eine Cylinder möge eine kreisförmige Basis k in П1, der andere eine elliptische c in einer Ebene E mit den Spuren e, e, besitzen, die Aufrißebene П2 möge auf E senkrecht stehen (e1 1x). Wir ziehen zunächst durch einen beliebigen Punkt Q Parallele zu den Mantellinien des einen und des andern Cylinders, deren erste Spurpunkte R1 und & wir aufsuchen. Die ersten Spurlinien der zu den Erzeugenden beider Cylinder parallelen Hilfsebenen sind dann zu R1S1 parallel; ihre Spurgeraden in der Basisebene E des zweiten Cylinders sind parallel zu TU und deren Projektionen zu TU' (T= e1 × R1S1, U" =e, × Q&12", U' auf Q'S1). Zieht man demnach durch einen beliebigen Punkt auf e1 Parallele zu R, T und TU', schneidet erstere mit k, letztere mit c' und legt durch diese Schnittpunkte die Projektionen der Erzeugenden der bez. Cylinder, so durchkreuzen sie sich in vier Punkten der Projektion der Durchdringungslinie. Die Kurve u berührt die scheinbaren Umriẞlinien beider Cylinder je zweimal; die Berührungspunkte können auch konjugiert imaginär sein. Die Berührungspunkte der Umriẞlinie, die c' in A' berührt, erhält man, wenn man durch A eine Parallele zu U'T und durch ihren Schnittpunkt mit e, eine Parallele zu TR1 zieht; letztere schneidet k in O und P; die zugehörigen Mantellinien enthalten dann die Berührungspunkte J' resp. K'. Ganz analog erhält man die Berührungspunkte von u" mit den Umriẞlinien des Aufrisses, indem man die Hilfsebenen durch die be |