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genten von E an k berühren in C und B und diesen Punkten entsprechen die Endpunkte L' und M' der zweiten Achse von u'. Ist F = ex x EB, so ist VM ' || Jß', denn E ist der Verschwindungspunkt der Kreistangente BE. Auch die Kurven w° und A sind

perspektiv, ex ist die Achse, \ „ \ ^

das Centrum liegt auf /' um die Strecke 5,,^ über ^ hinaus (vergl. 164).

491. Beim Abwickeln des Kegelmantels gehen die Mantellinien in Strahlen durch den festen Punkt S und der Grundkreis k in einen Kreisbogen mit dem Radius S0A über; die Länge dieses Kreisbogens wird gleich der Peripherie von k, was man durch Ubertragen kleiner Teilstücke — etwa 24 Teile — erzielt. Der Kreissektor, der den abgewickelten Kegelmantel darstellt, hat einen Centriwinkel von 312' S'A

iR . ^-j. In Fig. 312 ist noch der in ABC liegende Seitenriß

des Kegels eingezeichnet, in dem sich u als gerade Linie projiziert, so daß man unmittelbar die Projektionen der einzelnen Mantellinien und ihrer zwischen k und u liegenden Teile, sowie deren wahre Längen entnehmen kann, die man dann auf die abgewickelten Mantellinien aufträgt. Um die Wendepunkte des abgewickelten Kegelschnittes zu bestimmen, suchen wir die Tangentialebenen des Kegels auf, die zu E senkrecht sind, indem wir von S ein Lot auf E fällen, und von seinem ersten Spurpunkte iV(jS0iVJ_ f0) die beiden Tangenten an k ziehen. Diese Tangenten sind die ersten Spurlinien der gesuchten Tangentialebenen; berührt eine derselben den Kegel längs der Mantellinie SU, und trägt diese den Punkt P von u, so wird P bei der Abwickelung zum Wendepunkt. Schneidet die

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Kreistangente NU die Spur ex in T, so ist PT die Tangente von u im Punkte P; die bezüglichen Tangenten der abgewickelten Kurven k und u bilden ein rechtwinkliges Dreieck PUT, das zu dem A PUT der ursprünglichen Figur kongruent ist . Ganz ebenso wie die Wendetangente in P überträgt man auch andere Tangenten in die Abwickelung. Die Punkte J und K sind Scheitelpunkte der abgewickelten u, die zugehörigen Krümmungsradien JJx und XKx findet man nach 452 als g : cos i_ SJK und g : cos i_ BKJ, wenn g den Krümmungsradius der Ellipse in den Punkten und bedeutet {JJ%KK2 = g, J/2 J_ JK, ZjZj J_ JK).

492. Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreis, kegels, dessen Grundkreis in der ersten Projektionsebene liegt (Fig. 313 u. 314).

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Fig. 313.

Wir benutzen außer der Ebene ni des Grundkreises k noch eine zweite Horizontalebene TT3 durch den Scheitel S des Kegels; die Ebene E hat dann die parallelen Spuren ex und e3 (es' || ej). Eine beliebige Spurlinie in TTj und eine zu ihr parallele Spurlinie d3

durch S bestimmen eine Ebene, deren Schnittlinie mit E die Spurpunkte dx x ej und ds x e3 besitzt und aus dem Kegel die nach den Schnittpunkten von dx und k verlaufenden Mantellinien ausschneidet; dadurch ergeben sich jedesmal zwei Punkte von u'. Nimmt man speziell als Spurlininie dx den Durchmesser AVBx J_ ex an, so sind Ä= S'Ax x FxG3 und B' = S'Bx x FxG3 Endpunkte eines Durchmessers von u (Fx = AxBx x ev G3'S' || AxBv G3 = G3'S' x e3'); denn ÄB' halbiert alle Sehnen von u, die zu ex parallel sind, und somit ist O' der Mittelpunkt von u [O'Ä = O'B'). Jede Ebene durch SO liefert nun einen Durchmesser von u, ihre Spurlinie muß durch

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S' von e3'. Die Polare des Punktes J = AxBx x ee muß wieder ClBx und 0j der Pol von ev sein (</Cj berührt k in C^). /, 0x und der unendlich ferne Punkt von ev bilden ein Poldreieck von k; das Bild von ev fällt ins Unendliche, also ergeben die Bilder von AlBl und CxBx konjugierte Durchmesser von w' {Äff \\ S'J geht durch Fv C'ß'\\ex geht durch 0', wo O ' das Bild von 0l ist). Ist ^ der Schnittpunkt von el mit der Kreistangente JCl, so ist CKl || £V die Tangente von v! in C" und C0Kl die Tangente von u0 in C0.

493. Zur Abwickelung des Kegelmantels nehmen wir die Ebene SPlQl, die ihn in zwei symmetrische Teile zerlegt, und teilen den Kreisumfang von k vonPj ausgehend in lauter gleiche Stücke, etwa 24; die zugehörigen Mantellinien zerlegen den Kegelmantel in 24 Teile. Annäherungsweise kann nun der Kegel durch eine 24-seitige Pyramide ersetzt werden, deren Seitenflächen Dreiecke sind, die je zwei Mantellinien zu Seiten und gleiche Sehnen des Grundkreises zu Grundlinien haben. Die Abwickelung geschieht durch Nebeneinanderlegen der genannten Seitenflächen, wozu man die Längen der nach den 24 Teilpunkten laufenden Mantellinien braucht. Diese Längen findet man unter Benutzung einer Aufrißebene, die durch S senkrecht zu el gelegt ist, indem man die einzelnen Mantellinien um SS' in diese Aufrißebene dreht {S'Px = S'Pl°, SPx = SPx0, SQx = SQl° etc.); hierbei ergeben sich auch ihre Schnittpunkte mit u (i>= SPl x E, P" = SPl" x e2, P0P" ||*, P0 = P°F' x SP,0 etc.). Beim Abwickeln von k gelangen die 24 Teilpunkte auf 13 Kreise um den gemeinsamen Mittelpunkt S, deren Radien den bezüglichen Mantellinien gleich sind; die Radien für den größten und kleinsten sind SPl und SQx; die Abstände je zweier aufeinanderfolgender Teilpunkte auf der Abwickelung von k sind der Seite des k eingeschriebenen regulären 24-Ecks gleich. Auf den 24 abgewickelten Mantellinien (in der Figur sind nur 12 eingezeichnet) trägt man noch die von der Schnittkurve u begrenzten Teilstücke auf (SQ = SQ°, SP = SP0, etc.) und gewinnt so Punkte der abgewickelten u.

Die Tangente im Punkte E von u liegt in E und in der Tangentialebene, die den Kegel längs SEEl berührt und deren Spurlinie ElT den Kreis k in El berührt; deshalb ist T= ElT x ex der Spurpunkt der gesuchten Tangente (TE' berührt u in E'). Macht man S'R J_ ElT und überträgt man das rechtwinklige £±SElR sowie ElT in die abgewickelte Figur, so ist ElR die Tangente des abgewickelten Kreises k im Punkte El und es ist ET die Tangente der abgewickelten Kurve u, da ihr Neigungswinkel gegen SE derselbe ist wie /_ ElET auf dem Kegelmantel selbst.

Die Wendepunkte der abgewickelten h sind Xx und Yx nach 452, denn die Tangentialebenen längs der Umrißlinien SXx und SYx sind zu TTj senkrecht . Die Wendepunkte der abgewickelten u sind U und V, wenn die Tangentialebenen längs der Kanten SU und SP auf E senkrecht stehen, d. h. wenn sie das von S auf E gefällte Lot SL enthalten (SL J_ e2). L ist der erste Spurpunkt dieses Lotes und die Tangenten von L an k sind die ersten Spurlinien der genannten Tangentialebenen; ihre Berührungspunkte Ux und Vx sind die ersten Spurpunkte der beiden Mantellinien, deren Abwickelungen die gesuchten Wendepunkte tragen. Die Punkte Px und Qx sind für die abgewickelte k Scheitelpunkte, deren Krümmungsradien PxP2 und QxQ2 sind; denn i_ S2QxS' = i_ Q^^M^ und i_ S2PxS' = t_ P2PxMx {S2S' || Q2MxP2 JL S'Mx, S2S' = SS') sind die Neigungswinkel von SQx und SPx gegen TTj, und es ist PxP2 = r : cosP2PxMx und QxQ2 = r: cos C2Qi^.

494. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreiskegel (Fig. 315).

Nach 453 verstehen wir unter einer geodätischen Kurve auf einer abwickelbaren Fläche eine solche, die bei der Abwickelung in eine Gerade übergeht. Wickeln wir also die Mantelfläche des geraden Kreiskegels ab, wobei wir einen Kreisausschnitt erhalten (vergl. 491), so entspricht jede Gerade auf dem abgewickelten Mantel einer geodätischen Linie auf dem Kegel. Zu allen Geraden auf ersterem, deren Abstände von S unter sich gleich sind, gehören kongruente geodätische Linien auf letzterem; überhaupt sind je zwei geodätische Linien des Kegels ähnliche Kurven. Soll eine geodätische Linie zwei Punkte P und Q der Kegelfläche verbinden, so suche man die entsprechenden Punkte in der Abwickelung auf, verbinde sie durch eine Gerade u und konstruiere nun zu dieser die entsprechende Kurve u auf der Kegelfläche. Zu diesem Zweck teilt man den Grundkreis k in eine Anzahl gleicher Teile, zieht die nach den Teilpunkten verlaufenden Mantellinien, bestimmt ihre Abwickelungen, deren Schnittpunkte mit der Geraden u man wieder auf den Kegel überträgt. Die Linie SAx J _ u liefert den Punkt A = SAx x u, der dem Scheitel der geodätischen Linie entspricht; die Linien SBV sind beide Abwickelungen der nämlichen Mantellinie SBx (Bog ^i-Sj ist gleich dem halben Umfang von k), deshalb entsprechen ihre auf der Geraden u liegenden Punkte B einem Doppelpunkt B der geodätischen Linie. In der Figur ist ein Teil des Kegelmantels doppelt abgewickelt, weil die geodätische Linie einen Teil der Mantellinien zweimal trifft.

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