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punkt. Eine zu jener Tangentialebene parallele Ebene erhält man also, wenn man durch einen beliebigen Punkt, etwa Z2, eine Mantellinie und eine Normale zu E zieht. L ist der erste Spurpunkt der Mantellinie, M der erste Spurpunkt der Normalen (L'Me,, L¿"M" ▲ GG1"", M""'M ❘ a'); LM ist demnach zur Spurlinie jener Tangentialebene parallel, deren Spur PT den Kreis k in P berührt (PT|| LM, PO | LM). Die Tangente von k in P und die Tangente von u in P2 schneiden e, in dem nämlichen Punkte T und bilden. das Dreieck PP,T; in der Abwickelung bilden die Tangenten in P und P2 das kongruente Dreieck PPT. Um dieses zu zeichnen verlängert man die Mantellinie bis P1 und fällt von P1 auf PT das Lot P1U in der ursprünglichen Figur, bestimmt die Abwickelung von P und überträgt das rechtwinklige Dreieck P1UP, von dem man PP1 und PU kennt, trägt PT von P aus auf PU auf und verbindet 7 mit P2, so ist PT die gesuchte Wendetangente von u, PT die Tangente des abgewickelten Kreises k. Die gleiche Konstruktion läßt sich für die Tangente in jedem Punkte der abgewickelten Ellipse u anwenden; der Krümmungsradius in einem solchen Punkt ergiebt sich aus 444 und 452.

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490. Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels, dessen Grundkreis in der ersten Projektionsebene liegt (Fig. 311 und 312).

Man lege durch die Spitze S des Kegels eine Ebene senkrecht zu der ersten Spur e, der Schnittebene E; sie enthält die Kegelachse und steht auf E senkrecht, auf der sie eine Falllinie fausschneidet; ƒ ist dann offenbar Symmetrielinie oder Achse des gesuchten Kegelschnittes u. Durch Umlegen jener Ebene in П1 gelangt S nach S und der Punkt G der Falllinie nach Go (G'H' || e,, G"H || x, G1G' = HH'); F1G=fo schneidet dann die umgelegten Mantellinien S4, SB in den Punkten Jo resp. K. Hieraus ergeben sich sofort die beiden. Projektionen der Achse JK von u und damit der Mittelpunkt O von u als Mittelpunkt von JK; die zweite Achse von u ist die durch O gehende erste Hauptlinie von E. Um ihre Endpunkte L, M zu finden, benutzen wir eine Ebene, die durch diese Achse und den Scheitel S geht, also die Gerade SO enthält; ihre Spurlinie geht durch Q (Q= 80 × f"), ist zu e, parallel und schneidet den. Grundkreis k in C und D. Diese Ebene enthält die Mantellinien

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SC und SD, auf ihnen liegen die Endpunkte Z und M der zweiten Achse, deren Projektionen man also zeichnen kann. Die Ebene durch die Kegelachse parallel zum Aufriß enthält die Mantellinien, welche in П2 als Umriẞ erscheinen; die Projektion ihrer Schnittlinie mit

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E schneidet dieselben in den Berührungspunkten X" und " von u". Durch Umlegen von u um e1 gewinnt man die wahre Gestalt u der Schnittkurve (F12 = F10° etc.). Beliebig viele Punkte von u kann man einfach dadurch konstruieren, daß man durch S irgend welche Ebenen 4 legt, diese mit der Kegelfläche und E schneidet und so jedesmal zwei Punkte von u bekommt. Man gebraucht dabei eine horizontale Hilfsebene durch S, nimmt die erste Spur d1 von 4 beliebig an, zieht durch S ihre zu d, parallele Hilfsspur d ̧ und

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sucht die Hilfsspur e, von E; die Schnittlinie 4 x E, d. h. die Verbindungslinie von d1 × e̟1 und d x e, schneidet die bezüglichen Mantellinien in Punkten der Kurve u. Die Konstruktion ist in der Figur nicht durchgeführt, da sie schon beim Cylinder behandelt ist. Der Kreis k und die Schnittkurve u' sind nach 162 perspektive Figuren, S' ist das Centrum, e, die Achse der Perspektivität, e ihre Verschwindungslinie(SE || f。, e,|| e, geht durch E). Dem Pol Q von e, in Bezug auf k entspricht der Mittelpunkt O' von u'; die Tan

genten von E an k berühren in C und D und diesen Punkten entund M' der zweiten Achse von u'.

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sprechen die Endpunkte Ist Ve1 X ED, so ist VM' || ES', denn E ist der Verschwindungspunkt der Kreistangente DE. Auch die Kurven uo und k sind perspektiv, e, ist die Achse, das Centrum liegt auf f um die Strecke SE über E hinaus (vergl. 164).

491. Beim Abwickeln des Kegelmantels gehen die Mantellinien in Strahlen durch den festen Punkt S und der Grundkreis k in einen Kreisbogen mit dem Radius SA über; die Länge dieses Kreisbogens wird gleich der Peripherie von k, was man durch Übertragen kleiner Teilstücke - etwa 24 Teile

erzielt. Der Kreissektor, der den abgewickelten Kegelmantel darstellt, hat einen Centriwinkel von

S'A
So A

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Fig. 312.

k

K

4 R. In Fig. 312 ist noch der in ABC liegende Seitenriß des Kegels eingezeichnet, in dem sich u als gerade Linie projiziert, so daß man unmittelbar die Projektionen der einzelnen Mantellinien und ihrer zwischen k und u liegenden Teile, sowie deren wahre Längen entnehmen kann, die man dann auf die abgewickelten Mantellinien aufträgt. Um die Wendepunkte des abgewickelten Kegelschnittes zu bestimmen, suchen wir die Tangentialebenen des Kegels auf, die zu E senkrecht sind, indem wir von S ein Lot auf E fällen, und von seinem ersten Spurpunkte N(SN1f) die beiden Tangenten an k ziehen. Diese Tangenten sind die ersten Spurlinien der gesuchten Tangentialebenen; berührt eine derselben den Kegel längs der Mantellinie SU, und trägt diese den Punkt P von u, so wird P bei der Abwickelung zum Wendepunkt. Schneidet die

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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Kreistangente NU die Spur e, in T, so ist PT die Tangente von u im Punkte P; die bezüglichen Tangenten der abgewickelten Kurven k und u bilden ein rechtwinkliges Dreieck PUT, das zu dem ▲ PUT der ursprünglichen Figur kongruent ist. Ganz ebenso wie die Wendetangente in P überträgt man auch andere Tangenten in die Abwickelung. Die Punkte und K sind Scheitelpunkte der abgewickelten u, die zugehörigen Krümmungsradien JJ, und KK, findet man nach 452 als : cos SJK und : cos / BKJ, wenn den Krümmungsradius der Ellipse u° in den Punkten J° und K° bedeutet (JJ, KK, = 0, JJ2 1 JK, KK, 1 JK).

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492. Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreiskegels, dessen Grundkreis in der ersten Projektionsebene liegt (Fig. 313 u. 314).

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Fig. 313.

Wir benutzen außer der Ebene ПT, des Grundkreises k noch eine zweite Horizontalebene П, durch den Scheitel S des Kegels; die Ebene E hat dann die parallelen Spuren e, und es (eg || e1). Eine beliebige Spurlinie d, in TT, und eine zu ihr parallele Spurlinie d

durch S bestimmen eine Ebene, deren Schnittlinie mit E die Spurpunkte d, e, und d x e, besitzt und aus dem Kegel die nach den Schnittpunkten von d, und k verlaufenden Mantellinien ausschneidet; dadurch ergeben sich jedesmal zwei Punkte von u'. Nimmt man speziell als Spurlininie d1 den Durchmesser АВ11 an, So sind 'S'A1 × FG,' und B' S'B1 × FG,' Endpunkte eines Durchmessers von u′ (F1 = A1В1 × e̟1, G ̧ ́§' || Â1⁄2Â1, Gg′ = G;'S′ × eg'); denn A'B' halbiert alle Sehnen von u', die zu e, parallel sind, und somit ist O' der Mittelpunkt von u' (O'A' = O'B'). Jede Ebene durch SO liefert nun einen Durchmesser von u, ihre Spurlinie muß durch

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01 gehen (01 = 41B1 × 8'0'); die Spurlinie CD1 || e, durch O̟, liefert insbesondere den zu A'B' konjugierten Durchmesser C'D' (C'D' || e1). Durch Umlegen dieser Durchmesser um e, in П1 erhält man die konjugierten Durchmesser AB, C。D。 von u。. Sind X, und I1 die Berührungspunkte der Umriẞlinien mit k, so enthält die Ebene SX11 den wahren Umriß; schneidet man also 11 mit e1 in H, und die Parallele zu X,Y, durch S' mit e' in H', so trifft HH' den Umriß in den Berührungspunkten X' und ' von u (No1 = С1D1 × X11, No1S' × C'D' = N', H1N' = X'Y').

Faßt man (nach 162) k und u als perspektive Figuren mit dem Centrum & und der Achse e, auf, so ist e,' die Fluchtlinie und e, die Verschwindungslinie, wobei elle, ebensoweit von e, absteht wie

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