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zur Spur e1, so erhält man rechtwinklige konjugierte Durchmesser, d. h. die Achsen der Schnittellipse u. Die kleine Achse AB ist als Hauptlinie gleich dem Durchmesser 2r des Grundkreises, die große Achse CD ist als Falllinie gleich 2r: cos a, wenn a der Neigungswinkel der Schnittebene E gegen П1 ist. Um die zweite Projektion der Falllinie zu finden ist in der Figur der erste Spurpunkt F1 und der Punkt D benutzt, durch den die Hauptlinie DE gelegt wurde. "B" und C"D" sind konjugierte Durchmesser der Ellipse u", ihre Berührungspunkte J", K" mit dem Umriß erhält man durch Anwendung einer Hilfsebene durch die Cylinderachse parallel zu П1⁄2 (J"K" || e2), denn eine solche schneidet den Cylinder in Mantellinien, die im Aufriß als Umrißlinien erscheinen.

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487. Zur Abwickelung des Cylindermantels mit der Ellipse u ist noch in der Ebene CDC'D' ein Seitenriß gezeichnet worden (D'D" = (D" - x)), in der die Ellipse als Gerade u"" erscheint. Der abgewickelte Cylindermantel bildet ein Rechteck von der Höhe des Cylinders und von der Breite 2rn (näherungsweise 6 r). Die Horizontalebene durch M schneidet den Cylinder in einem Kreise, dessen Abstand vom Grundkreise gleich M""M' ist; die Punkte A, R, B, S (wobei RC, SD Mantellinien sind) teilen diesen Kreis in vier gleiche Teile, die man in der Abwickelung zunächst einträgt. In dieser bestimmt man weiter C und D (CR =DS=D""S""), dann geht die abgewickelte Ellipse durch CADBC, ihre Tangenten in C und D sind parallel der Grundlinie des Rechtecks, ihre Tangenten in A und B schließen mit dieser den Winkel a = M"FM' ein. A und B sind Wendepunkte der abgewickelten Kurve nach 452, weil die Tangentialebenen des Cylinders in A resp. B auf der Ebene der Ellipse u senkrecht stehen. Je vier symmetrische Punkte von u haben von dem Kreise ARBS gleichen Abstand, wie man aus dem Seitenriß ersieht; die abgewickelte Ellipse besteht deshalb aus vier symmetrischen Teilen. Um weitere Punkte von ihr zu erhalten, teile man den Viertelkreis AR in mehrere gleiche Teile, ziehe die zugehörigen Mantellinien, entnehme aus dem Seitenriß die Abstände der auf ihnen liegenden Ellipsenpunkte von dem Kreise, und trage diese Abstände in der abgewickelten Figur an den entsprechenden Teilpunkten von AR senkrecht zu AR auf (AQ=Bog AQ= Bog A'P', QP = Q"P""'). Die Tangente in einem Punkte P der Ellipse u projiziert sich im Grundriß als Tangente des Kreises im Punkte P', ihr Spurpunkt T liegt auf e1, woraus sich dann ihr Aufriß ergiebt. Der Neigungswinkel der Tangente PT gegen die Mantellinie bestimmt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck PP'T und ist gleich

▲ TPP', und da derselbe bei der Abwickelung erhalten bleibt, hat man in der abgewickelten Figur nur das genannte Dreieck einzutragen, um die bezügliche Tangente der abgewickelten Ellipse zu erhalten.

Der Krümmungsradius OC im Punkte C der abgewickelten Ellipse ist nach 452 gleich dem Krümmungsradius der Ellipse im Punkte C dividiert durch den Cosinus des Neigungswinkels der Ebene E gegen die Tangentialebene des Cylinders in C, oder es ist: OC= Q:S sin α. Da aber die Halbachsen der Ellipse: r: cos a und r sind, so wird: 9 = r2: = r cosa, und: OC = r cotg a. Errichtet man demnach in M"" auf C""D"" eine Senkrechte, die D'"D' in X scheidet, so ist S""X= r cotg a = OC.

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488. Schnitt eines schiefen Kreiscylinders, dessen Grundkreis in П, liegt, mit einer Ebene E; Abwickelung dieser Kurve mit dem Cylindermantel (Fig. 309 u. 310).

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Die Schnittkurve ist wiederum eine Elllipse u, die zum Grundkreis k affin ist; ebenso ist ihre Projektion u affin zu k, e, ist die Affinitätsachse. Legt man durch die Cylinderachse a zwei Ebenen, deren Spuren in П, zu einander rechtwinklig sind, so sind ihre Schnittlinien mit E zwei konjugierte Durchmesser von u. Die Endpunkte dieser Durchmesser liegen auf den bezüglichen Mantellinien, die jene Ebenen aus dem Cylinder ausschneiden. Zur Durchführung dieser Konstruktion benutze man eine Hilfsebene П||П, durch den oberen Endkreis des Cylinders und zeichne die Spur e von E in П. So z. B. schneidet die Ebene durch a mit der Spur HJ in П1 und der Spur H11 in П die Ebene E in EE1, wo E = HJ × e1 und E' = H'J' xe, ist (elle, H1'J' || H11). Da aber H, J die Spurpunkte der Umrißlinien des Cylinders sind, so schneidet EE, ihre Projektionen in den Punkten H, J, wo sie von u berührt werden, zugleich ist 0,= EE'× a' der Mittelpunkt von u. Legt man durch a eine Ebene, deren erste Spur zum Aufriß parallel ist, so schneidet sie den Cylinder in den Mantellinien, die in П als Umriß erscheinen; ihre Schnittlinie mit E hat in П, und П die Spurpunkte F und F (O'F' || OF || x) und es schneidet FF", die genannten Umrißlinien in ihren Berührungspunkten R," und S," mit u". Die angegebene Konstruktion wird hinfällig für die zu П1 senkrechte Ebene П, durch a, die wir deshalb um ihre Spur a umlegen. Wir bestimmen zunächst a"" durch Umlegen von 0, nach 0," und GG GG," durch Umlegen von G1 nach G1""(G1 = π3 × €4), dann trifft GG1 = π ̧ × E den Cylinder in den Ellipsenpunkten K,, L2,

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deren Umlegungen K,"", L," sich als Schnittpunkte von GG," mit den zu a" parallelen Mantellinien KK," und LL," ergeben. Hieraus findet man dann K, und L' und den Mittelpunkt O von u aus seiner Umlegung 0,′′ = a′′ × GG ̧"". JH, und KL, sind konjugierte Durchmesser der Ellipse u', die sich hiernach konstruieren läßt. Sucht man ihre Aufrisse, so erhält man konjugierte Durch

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messer von u", oder man sucht den konjugierten Durchmesser zu R2"S", der in a" liegt.

Die Methode des Umlegens kann man natürlich auch benutzen, um den Schnittpunkt P2 einer beliebigen Mantellinie PP, mit E zu konstruieren. Wie die Ebene П, das Dreieck KK,G enthält, dessen Umlegung KK," G gezeichnet wurde, so enthält die projizierende

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Ebene durch PP, ein zu jenem ähnliches Dreieck, dessen Seiten beim Umlegen zu den Seiten des Dreiecks KK,"G parallel werden. Da eine Ecke P unseres Dreiecks auf k, eine zweite auf e̟, liegt, so ergiebt sich P" als dritte Ecke desselben und daraus dann P (in der Figur ist diese Konstruktion nicht durchgeführt).

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Die wahre Gestalt u° der Ellipse u gewinnt man durch Umlegen der Ebene E um e1, dadurch gelangt O̟, nach 02° (0,"02′ = 0.02). Die gesuchte Ellipse uo ist aber ganz ebenso wie u - zu dem Kreise k affin und e, ist die Affinitätsachse; da man nun ein Paar affiner Punkte O und 0° kennt, kann man hiernach uo zeichnen. Den Achsen von u° entsprechen beim Kreise zwei rechtwinklige Durchmesser; schneiden die Achsen e, in den Punkten X und Y, so sind XO und YO die entsprechenden Kreisdurchmesser. Es werden demnach X und Y aus e, durch einen Kreis ausgeschnitten, dessen Mittelpunkt auf e1 liegt und der durch O und 02° geht. Die Endpunkte der Kreisdurchmesser sind A, B, C, D, die affinen Punkte 42o, B2o, C2°, D2° sind die Endpunkte der Achsen von uo.

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489. Zur Abwickelung der Mantelfläche des Cylinders führen wir einen Normalschnitt mit den Spuren n, und n in П, resp. П aus; seine Schnittellipse v, die k in L berührt, schneidet alle Mantellinien rechtwinklig und geht bei der Abwickelung in eine Gerade über. Wir teilen nun den Grundkreis von L ausgehend in eine Anzahl gleicher Teile, etwa 24, und bezeichnen sie mit: 1(= L), 2, 3 ..., 7(J), 8,..., 13( = K), 14, ..., 19(= 19( = H), 20,... 24; die zugehörigen Mantellinien schneiden v in den Punkten: 1, 2, 3, ... und u in den Punkten 1μ 2μ, 3u Die wahre Länge von KN ergiebt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck KN" L, das in Fig. 310 noch einmal eingetragen ist; die Strecken 22, 33, 44, verhalten sich zu

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resp. gleich, d. h.

KN, wie die Abstände der Punkte 2, 3, 4, ... von n zu KL. Lotet man also die Punkte 2, 3, 4, ... auf LK, so sind die Abstände der Lotpunkte von LN den Strecken 22, 33, 44„ die abgewickelten Punkte 2, 3, 4, .. liegen auf den durch die Lotpunkte gezogenen Parallelen zu LN, während die Abwickelung von v in die Verlängerung von LN fällt. Bedenkt man noch, daß die gleichen Kreisbogen 12, 23, 34, ... ihre Länge bei der Abwickelung nicht ändern (451) und daß die Bogen sowohl bei k als bei seiner Abwickelung näherungsweise durch die Sehnen ersetzt werden können, so ergiebt sich die Gleichheit der Sehnen 12, 23, 34, ... des abgewickelten Kreises k. Die Abwickelung von k besteht aus vier symmetrischen Teilen LJ, JK, KH, HL, dabei sind L und K Scheitel-, Hund J Wendepunkte. Die Wendetangente in J schließt mit den

Mantellinien den NKL a ein; der Krümmungsradius in K ist gleich dem Radius von k dividiert durch cos a.

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Durch die abgewickelten Punkte 1, 2, 3, 4, ziehen wir die Mantellinien und tragen auf ihnen die Strecken 11, 22, 33... auf, so erhalten wir Punkte der abgewickelten Ellipse u. Die Strecke ist = LL,"", die andern Strecken werden aus Dreiecken gewonnen, die zu ▲ LL,"G ähnlich sind. Die zu LG homologen Seiten der ähnlichen Dreiecke gehen von den Punkten 2, 3, 4, aus, sind zu LG parallel und haben ihre andern Endpunkte auf e1. Zieht

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Fig. 310.

man also durch 2, 3, 4, ... Parallele zu e, und durch ihre Schnittpunkte mit LG Parallele zu LL", so werden auf diesen Parallelen durch die Geraden GL und GL," Strecken begrenzt, die den gewünschten Strecken 22, 33, 44w... gleich sind. Die Abwickelung von u besteht aus zwei symmetrischen Teilen LJ,K2 und K2H2 L2i denn zwei benachbarte Durchmesser von u schneiden auf u zwei Elemente aus, die gleich lang sind und gegen die Mantellinien die gleiche Neigung besitzen.

Ein Punkt P2 von u, in dem die Tangentialebene des Cylinders auf E senkrecht steht, liefert bei der Abwickelung einen Wende

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