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deren Umlegungen K2", L2" sich als Schnittpunkte von GGx"' mit den zu a" parallelen Mantellinien KK2" und LL2" ergeben. Hieraus findet man dann K2 und L2 und den Mittelpunkt O2' von u aus seiner ümlegung O2" = a" x GG". J2H2 und K2L2 sind konjugierte Durchmesser der Ellipse die sich hiernach konstruieren läßt. Sucht man ihre Aufrisse, so erhält man konjugierte Durch

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messer von u", oder man sucht den konjugierten Durchmesser zu R2"S2", der in a" liegt.

Die Methode des Umlegens kann man natürlich auch benutzen, um den Schnittpunkt P2 einer beliebigen Mantellinie PPj mit E zu konstruieren. Wie die Ebene TT3 das Dreieck KK2G enthält* dessen Umlegung KK2"'G gezeichnet wurde, so enthält die projizierende Ebene durch PPx ein zu jenem ähnliches Dreieck, dessen Seiten beim Umlegen zu den Seiten des Dreiecks KK2"G parallel werden. Da eine Ecke P unseres Dreiecks auf k, eine zweite auf ex liegt, so ergiebt sich P2" als dritte Ecke desselben und daraus dann P2' (in der Figur ist diese Konstruktion nicht durchgeführt).

Die wahre Gestalt der Ellipse u gewinnt man durch Umlegen der Ebene E um ex, dadurch gelangt O2 nach O2° {O2"O2 = 0202'). Die gesuchte Ellipse ist aber — ganz ebenso wie u — zu dem Kreise k affin und ex ist die Affinitätsachse; da man nun ein Paar affiner Punkte O und O2° kennt, kann man hiernach zeichnen. Den Achsen von entsprechen beim Kreise zwei rechtwinklige Durchmesser; schneiden die Achsen ex in den Punkten X und Y, so sind XO und YO die entsprechenden Kreisdurchmesser. Es werden demnach X und Y aus ex durch einen Kreis ausgeschnitten, dessen Mittelpunkt auf ex liegt und der durch O und 02° geht. Die Endpunkte der Kreisdurchmesser sind A, B, C, B, die affinen Punkte A2°, B>2°, C2°, B2° sind die Endpunkte der Achsen von u°.

489. Zur Abwickelung der Mantelfläche des Cylinders führen wir einen Normalschnitt mit den Spuren und n3 in TTj resp. TT3 aus; seine Schnittellipse v, die k in L berührt, schneidet alle MantelKnien rechtwinklig und geht bei der Abwickelung in eine Gerade über. Wir teilen nun den Grundkreis von L ausgehend in eine Anzahl gleicher Teile, etwa 24, und bezeichnen sie mit: 1 ( = .£), 2,8..., 7( = J), 8,.... 13( = K\ 14, 19( = H), 20,... 24; die zugehörigen Mantellinien schneiden v in den Punkten: 1^, 2v, 3v, ... und u in den Punkten lu, 2u, Su, ... Die wahre Länge von KN ergiebt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck KN'" L, das in Fig. 310 noch einmal eingetragen ist; die Strecken 22^, 33B, 44K, . . . verhalten sich zu KN, wie die Abstände der Punkte 2, 3, 4, . . . von nx zu KL. Lotet man also die Punkte 2, 3, 4, ... auf ZK, so sind die Abstände der Lotpunkte von LN den Strecken 22B, 33K, 44e, . . . resp. gleich, d. h. die abgewickelten Punkte 2, 3, 4, . . . liegen auf den durch die Lotpunkte gezogenen Parallelen zu LN, während die Abwickelung von v in die Verlängerung von LN fällt. Bedenkt man noch, daß die gleichen Kreisbogen 12, 23, 34, ... ihre Länge bei der Abwickelung nicht ändern (451) und daß die Bogen sowohl bei k als bei seiner Abwickelung näherungsweise durch die Sehnen ersetzt werden können, so ergiebt sich die Gleichheit der Sehnen 12, 23, 34, ... des abgewickelten Kreises k. Die Abwickelung von k besteht aus vier symmetrischen Teilen LJ, JK, KH, HL, dabei sind L und K Scheitel-, R und J Wendepunkte. Die Wendetangente in J schließt mit den Mantellinien den i_ NKL = a ein; der Krümmungsradius in K ist gleich dem Radius von k dividiert durch cos a.

Durch die abgewickelten Punkte 1, 2, 3, 4, ... ziehen wir die Mantellinien und tragen auf ihnen die Strecken llu, 22u, 33u. auf, so erhalten wir Punkte der abgewickelten Ellipse u. Die Strecke lla ist = LL2"', die andern Strecken werden aus Dreiecken gewonnen, die zu A LL2"'G ähnlich sind. Die zu LG homologen Seiten der ähnlichen Dreiecke gehen von den Punkten 2, 3, 4, ... aus, sind zu LG parallel und haben ihre andern Endpunkte auf ev Zieht

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Fig. 810.

man also durch 2, 3, 4, .. . Parallele zu ex und durch ihre Schnittpunkte mit LG Parallele zu LL2", so werden auf diesen Parallelen durch die Geraden GL und GL2" Strecken begrenzt, die den gewünschten Strecken 22^ 33^, 44^ . . . gleich sind. Die Abwickelung von u besteht aus zwei symmetrischen Teilen L2J2K2 und K2H2L2; denn zwei benachbarte Durchmesser von u schneiden auf u zwei Elemente aus, die gleich lang sind und gegen die Mantellinien die gleiche Neigung besitzen.

Ein Punkt P2 von u, in dem die Tangentialebene des Cylinders auf E senkrecht steht, liefert bei der Abwickelung einen Wende

punkt. Eine zu jener Tangentialebene parallele Ebene erbält man also, wenn man durcb einen beliebigen Punkt, etwa Lv eine Mahtellinie und eine Normale zu E zieht. L ist der erste Spurpunkt der Mantellinie, M der erste Spurpunkt der Normalen (L2M J_ ev L2"'M"' ± GG{', M"'M± d); LM ist demnach zur Spurlinie jener Tangentialebene parallel, deren Spur PT den Kreis k in P berührt (PT\\LM, PO _]_ LM). Die Tangente von h in P und die Tangente von u in P2 schneiden ex in dem nämlichen Punkte T und bilden das Dreieck PP2T; in der Abwickelung bilden die Tangenten in P und P2 das kongruente Dreieck PP2T. Um dieses zu zeichnen verlängert man die Mantellinie bis Px und fällt von Px auf PT das Lot Px U in der ursprünglichen Figur, bestimmt die Abwickelung von P und überträgt das rechtwinklige Dreieck PxUP, von dem man PPx und PU kennt, trägt PT von P aus auf PU auf und verbindet T mit P2, so ist P2T die gesuchte Wendetangente von u, PT die Tangente des abgewickelten Kreises k. Die gleiche Konstruktion läßt sich für die Tangente in jedem Punkte der abgewickelten Ellipse u anwenden; der Krümmungsradius in einem solchen Punkt ergiebt sich aus 444 und 452.

490. Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels, dessen Grundkreis in der ersten Projektionsebene liegt (Fig. 311 und 312).

Man lege durch die Spitze S des Kegels eine Ebene senkrecht zu der ersten Spur ex der Schnittebene E; sie enthält die Kegelachse und steht auf E senkrecht, auf der sie eine Falllinie f ausschneidet; f ist dann offenbar Symmetrielinie oder Achse des gesuchten Kegelschnittes u. Durch Umlegen jener Ebene in T\x gelangt S nach S0 und der Punkt G der Falllinie nach G0 {G'H' \\ ev G"H\\ x, G0G' = HH')F^gq = f0 schneidet dann die umgelegten Mantellinien S0A, S0P> in den Punkten J0 resp. K0. Hieraus ergeben sich sofort die beiden Projektionen der Achse JK von u und damit der Mittelpunkt O von M als Mittelpunkt von JK; die zweite Achse von u ist die durch O gehende erste Hauptlinie von E. Um ihre Endpunkte L, M zu finden, benutzen wir eine Ebene, die durch diese Achse und den Scheitel S geht, also die Gerade SO enthält; ihre Spurlinie geht durch Q (Q = S0O0 x /"), ist zu ex parallel und schneidet den Grundkreis k in C und B. Diese Ebene enthält die Mantellinien SC und SB, auf ihnen liegen die Endpunkte L und M der zweiten Achse, deren Projektionen man also zeichnen kann. Die Ebene durch die Kegelachse parallel zum Aufriß enthält die Mantellinien, welche in TT2 als Umriß erscheinen; die Projektion ihrer Schnittlinie mit E schneidet dieselben in den Berührungspunkten X" und Y" von u". Durch Umlegen von u um ex gewinnt man die wahre Gestalt v" der Schnittkurve = i^0° etc.). Beliebig viele Punkte von u

kann man einfach dadurch konstruieren, daß man durch S irgend welche Ebenen A legt, diese mit der Kegelfläche und E schneidet und so jedesmal zwei Punkte von u bekommt . Man gebraucht dabei eine horizontale Hilfsebene durch S, nimmt die erste Spur dx von A beliebig an, zieht durch S ihre zu dx parallele Hilfsspur d3 und

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sucht die Hilfsspur e3 von E; die Schnittlinie A X E, d. h. die Verbindungslinie von dx x ex und ds x e3, schneidet die bezüglichen Mantellinien in Punkten der Kurve u. Die Konstruktion ist in der Figur nicht durchgeführt, da sie schon beim Cylinder behandelt ist. Der Kreis k und die Schnittkurve u sind nach 162 perspektive Figuren, S' ist das Centrum, ex die Achse der Perspektivität, ev ihre Verschwindungslinie(50^ || f0, ev || ex geht durch E). Dem Pol Q von ev in Bezug auf k entspricht der Mittelpunkt O' von u; die Taa

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