Einer beliebigen Geraden i entspricht in der oben geschilderten Weise ein Kegelschnitt i, jeder Punktreihe auf i entspricht eine zu ihr projektive Punktreihe auf . Wählen wir auf i irgend eine Punktinvolution mit den Doppelpunkten Ju und J, so entspricht ihr auf ¿ eine Punktinvolution mit den Doppelpunkten J" und : Die Verbindungslinien der Punktepaare dieser Involution auf ¿ gehen durch das Centrum J der Involution (nach 315) und die Schnittpunkte der zugehörigen Tangentenpaare liegen auf der Achse j der Involution; dabei ist j die Polare von J in Bezug auf und geht durch die Doppelpunkte " und ♫ der Involution. Der Geraden j entspricht ein Kegelschnitt j,, der offenbar durch die Punkte Ju und J von i hindurchgeht; der Involution auf j mit den Doppelpunkten J" und " entspricht auf j, die Involution mit den Doppelpunkten Ju und J, d. h. für diese Involution auf j, ist i = JuJu die Achse und der Pol J von i in Bezug aufj, ist das Centrum. Hieraus fließt der Satz: 1 น 1 น v Sucht man zu zwei beliebigen Geraden i und j die entsprechenden Kegelschnitte und j1, so entspricht der Involution der Punktepaare auf i, die hinsichtlich j, konjugiert sind, die Involution auf, deren Achsejist; ebenso entspricht der Involution der Punktepaare auf j, die hinsichtlich konjugiert sind, die Involution auf j1, deren Achse i ist. Dieser Satz ist allerdings zunächst nur bewiesen, wenn i und j1, also auch und sich schneiden; er gilt indes allgemein, wie unten noch gezeigt werden soll. Die Kegelschnitte ¿ und j1 haben die Punkte X, Y, Z und außerdem den zu i×j entsprechenden Punkt gemein. 1 1 482. Nun betrachten wir die unendlich ferne Gerade 7 und auf ihr die Involution, deren Punktepaare sich aus O (und also aus jedem endlichen Punkte) durch rechtwinklige Strahlen projizieren; dieser Involution auf / entspricht eine Involution auf der Hyperbel 4, von der G, G1 und O, F1 zwei Punktepaare sind. Denn G, G1 gehören der Involution auf an, also die entsprechenden Punkte G1, G der Involution auf 7, ebenso bilden F und der unendlich ferne Punkt 01 von S'F (S'F1 S'O1) ein Punktepaar jener Involution, also die entsprechenden Punkte F1 und O ein Punktepaar der Involution auf 4. Das Centrum der Involution auf ist der Schnittpunkt GG1 × OF1, d. h. der unendlich ferne Punkt M auf OF; ihre Achse ist die Polare m von M in Bezug auf 4, d. h. der Hyperbeldurchmesser HN (NO = NF1). Dieser Geraden m entspricht ein Kegelschnitt m1 durch X, Y, Z, für den die Punktepaare der Involution auf 7 kon jugierte Punkte sind, für den also je zwei konjugierte Durchmesser aufeinander senkrecht stehen; der Kegelschnitt m, ist mithin der Kreis durch die Punkte X, Y, Z. 1 Die Punkte G, G1, O, F1 bilden aber ein der Hyperbel ↳ eingeschriebenes Viereck, von dem sich ein Paar Gegenseiten, nämlich GG, und OF, in M schneiden; die Punkte POG1 × FG und Q = OG × F1G1 liegen also auf der Polaren m von M und sind konjugiert in Bezug auf 4. Nach dem vorausgeschickten Satze entspricht der Involution der hinsichtlich ↳ konjugierten Punkte von m eine Involution auf dem Kreise m1, deren Achse die unendlich ferne Gerade 7 ist, deren Punktepaare also auf den Durchmessern von m1 liegen. Die Punkte P1, Q1, die jenen Punkten P und Q entsprechen, sind somit die Endpunkte eines Durchmessers des Kreises ገ• In P1 schneiden sich die Polare von P in Bezug auf u und die Gerade RP1, wenn RP1 1 S'P, S'T. S'R· = (S′S ̧)2 : h2, T=RS' x FP, RT|| OP; ähnlich findet sich Q1. Der Kreis m, und die gleichseitige Hyperbel liefern die Spurpunkte X1, Y1, Z1 der drei Achsen unseres Kegels, sie schneiden sich noch in einem Punkte W1, der dem Punkte m × 1, d. h. dem unendlich fernen Punkte von PQ entspricht (W1S' 1 PQ, W1OA = ▲ S'OA, H = PQ × W1S'). Eine Kontrolle für die Richtigkeit der Zeichnung besteht darin, daß S' der Höhenschnittpunkt des Spurendreiecks X,Y,Z, sein muß. = 483. Um den Beweis des oben genannten Satzes in allgemein gültiger Form zu erbringen, können wir in folgender Weise verfahren. Zunächst erinnern wir daran, daß die Polaren eines Punktes in Bezug auf alle Kegelschnitte durch vier feste Punkte einen Punkt gemein haben (407); J B zu jedem Punkt giebt es also einen weiteren, der ihm in Bezug auf alle die Kegelschnitte jenes Büschels konjugiert ist. Wir kehren nun zurück zu den Geraden i und j und den Kegelschnitten und j1, die ihnen in dem früher angegebenen Sinne entsprechen. Legen wir durch J den Pol von j in Bezug auf eine ¿ beliebige Gerade, die i̟ in Α und B1 schneidet (Fig. 305), so müssen wir zeigen, daß die entsprechenden Punkte A und B auf i in Bezug auf j1 konjugiert sind. Ist C der Pol von ÆÂ1 in Bezug auf ¿, so Fig. 305. entsprechen den Geraden durch C Kegelschnitte, die alle die vier Punkte X, Y, Z, C, enthalten, wenn C, der entsprechende Punkt zu C ist; zu diesen Kegelschnitten gehört auch j1, da C auf j liegt. Sind aber k und 7 zwei Gerade durch C, die in den Punkten K1, K, respektive L1, L ́ schneiden, so schneiden die entsprechenden Kegelschnitte k1 und ↳ die Gerade i in den entsprechenden Punkten K, K' respektive L, L'. Da jedoch auf die Punktepaare K1, K und L1, L1 durch A1, B1 harmonisch getrennt werden, so werden auch auf die Punktepaare K, K' und L, L' durch A, B harmonisch getrennt, d. h. A und B sind konjugierte Punkte in Bezug auf die beiden Kegelschnitte k1 und 4, woraus denn nach dem oben citierten Satze folgt, daß A und B auch hinsichtlich des Kegelschnittes j, konjugiert sind. Kugel, Cylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen. 484. Eine Kugel mit einer Ebene E von vorgegebenen Spuren e, e, zu schneiden (Fig. 306). a" H Da die Schnittkurve ein Kreis ist, ihre Projektionen aber Ellipsen, so genügt es, zwei rechtwinklige Durchmesser dieses Kreises zu bestimmen, deren Projektionen konjugierte Durchmesser der Ellipsen sind. Wir legen nun durch den Kugelmittelpunkt O eine Ebene 4 senkrecht zu e1; sie ist Symmetrieebene für die Kugel und die Ebene E, also auch für den Schnittkreis u, d. h. f = EX 4 ist ein Durchmesser von u. Seine Endpunkte A, B bestimmt man am besten, indem man um eine horizontale Achse a durch O in die Lage 4 parallel zu П, dreht. Dabei geht u' B. der Schnitt von 4 mit Fig. 306. H = = der Kugel in k und f in fo= FG' über (FF=(0" x), G = fxa). − Aus Afoxk und Bfx k' ergiebt sich sofort die kleine Achse A'B' von u'; ihre große Achse ist C'D' AB und ihre Berührungspunkte J, K' mit k' liegen auf G'H' (H= a" × eg), da GH die Schnittlinie von E mit der Ebene des Umrisses k ist. Im Aufriß bestimmt man entweder die konjugierten Durchmesser "B" und C"D", oder man verfährt wie beim Grundriß. 485. Will man die Schnittkurve einer Ebene E mit einer beliebigen Cylinderfläche bestimmen, so sucht man die Schnittpunkte von E mit den Mantellinien des Cylinders, indem man projizierende Ebenen durch sie legt. Ist auf der Cylinderfläche eine Raumkurve u gelegen, deren Projektionen u und u" man kennt, so geht durch jeden Punkt P von u eine Mantellinie m. Die projizierende Ebene mm' schneidet E in einer Geraden s und der Aufriß des Schnittpunktes Q = m XE ist Q"m" × s". Da die projizierenden Ebenen durch die Mantellinien parallel sind, so sind es auch ihre Schnittlinien mit E, wovon man Gebrauch machen kann; dann hat man nur noch ihre ersten Spurpunkte, die auf e1 liegen, nötig. Soll eine solche Cylinderfläche abgewickelt werden, so muß man zunächst einen ebenen Schnitt senkrecht zu den Mantellinien ausführen und erhält so eine Kurve v, die die Mantellinien senkrecht durchschneidet. Beim Abwickeln des Cylinders, den man als Prisma mit sehr vielen, sehr schmalen Seiten auffassen kann, werden die Mantellinien parallel, und der Normalschnitt v geht in eine zu diesen senkrechte Gerade über (da er sie alle rechtwinklig schneidet). Man wird deshalb durch Niederlegen der Ebene E um e, in П1 die wahre Gestalt von v zeichnen (v, und sind affin), dann v, nach 445 durch Teilen in kleine Strecken und geradliniges Aneinanderreihen derselben rektifizieren. Um zugleich mit dem Cylinder die Kurve u abzuwickeln, zieht man durch die Teilpunkte von v' die Projektionen der Mantellinien und die entsprechenden Mantellinien auf der abgewickelten Fläche; auf den letzteren sind die Strecken zwischen den abgewickelten Kurven proportional den Strecken zwischen u' und v' auf den ersteren. In der Abwickelung des Cylinders bildet die Kurve u mit den Mantellinien die gleichen Winkel wie auf der ursprünglichen Fläche. 486. Schnitt eines geraden Kreis cylinders, dessen Grundkreis in П, liegt, mit einer Ebene E, Abwickelung dieser Kurve mit dem Cylindermantel (Fig. 307 u. 308). Die Schnittkurve ist eine Ellipse, die zu dem Grundkreise affin ist; man erhält zwei konjugierte Durchmesser derselben, wenn man durch die Cylinderachse irgend zwei zu einander rechtwinklige Hilfsebenen legt und diese mit E schneidet. Legt man speziell durch die Cylinderachse eine Ebene senkrecht und eine Ebene parallel |