= auch noch einfacher durch folgende Überlegung gewinnen. Man denke sich eine Kugel, die den Kegelmantel längs u berührt; der Seitenriß ihres Mittelpunktes Mist M""(M""B" _ B'"S""') und ihr Radius M""B"". Grundriß und Aufriß der Kugel sind Kreise mit dem gleichen Radius und den Mittelpunkten M' resp. M". Die Tangenten an diese Kreise aus den Punkten S' bezw. S" und ihre Berührungspunkte fallen zusammen mit den gesuchten Tangenten an u bezw. u" und ihren Berührungspunkten. In der That berührt jede Ebene, die den Kegel längs einer Mantellinie berührt, die Hilfskugel in dem auf u gelegenen Endpunkte der Mantellinie. Ist diese Tangentialebene zu einer Projektionsebene senkrecht, so liefert sie eine Umrißlinie des Kegels und einen Punkt auf dem Kugelumriß, der zugleich dem Kreise u angehört, was unsere Behauptung beweist. * * * * ** * Um den Horizontalschatten des Kegels zu konstruieren, zeichnen wir zunächst den Schatten ABCDS (CDC'D'); dann sind AB und CD zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse u und die Tangenten von S an u bilden die Grenzlinien des Schlagschattens. Um sie zu zeichnen, benutze man die Affinität von u。 und u (e Affinitätsachse), suche zu S den affinen Punkt S2 und lege an u。 die Tangenten SF und SG. Bestimmt man zur Berührungssehne FG, rückwärts die affine Strecke FG, so ist sie die Berührungssehne der von S an u gelegten Tangenten. Aber auch u。 und u sind affine Kurven (e, Affinitätsachse) und die zu FG affinen Punkte F'G' von u' ergeben auf dem Kegel die Lichtgrenzen S'F' und S'G', woraus sich dann leicht S"F" und "G" finden lassen. 0 * 477. Nehmen wir an, daß der Kegel hohl sei, so wirft ein Teil des Randes u Schlagschatten auf das Innere des Kegelmantels. Zwei Mantellinien, von denen eine auf die andere Schatten wirft, werfen den gleichen Schatten auf TT,, man kann also mit Hilfe des Horizontalschattens zu jeder Mantellinie die von ihr Schatten empfangende Mantellinie des Kegels finden, und somit beliebig viele Punkte des Schattens u* von u auf die Kegelfläche. Noch besser benutzt man, um Punkte dieses Schattens u* zu konstruieren, den Schatten S* von S auf E. Empfängt nun eine Mantellinie den Schatten einer andern, so liegen ihre Spurpunkte auf u in E mit S* in gerader Linie. Nach 506 durchdringen sich Cylinder- und Kegelfläche, die einen Kegelschnitt gemeinsam haben, noch in einem zweiten; die gemeinsame Sehne beider Kegelschnitte schneidet die Flächen in zwei Punkten, in denen sie die gleiche Tangentialebene aufweisen. Der Schatten u* erscheint aber als Schnitt der Kegelfläche mit einem Cylinder, dessen Grundkurve der Kreis u ist und dessen Mantellinien zu den Lichtstrahlen parallel sind. Es ist deshalb u* ein Kegelschnitt und FG ist die gemeinsame Sehne von u und u*. Die Kurven u und u* sind affin, da sie auf dem nämlichen Cylinder liegen, FG ist die Affinitätsachse, P und P* sind ein Paar affiner Punkte (P= u × OS*, PP* || 1, S*P × SP* = Q liegt auf u). Was nun für u und u* gesagt wurde, gilt in gleicher Weise für u' und u*' (resp. für u" und u*"). Die Affinitätsachse ist F'G', ein Paar affiner Punkte sind P' und P*'; hiernach ist aber die Ellipse u* leicht als affine Kurve zu u zu zeichnen. Liegt noch die Frage nach den Tangentialebenen eines Kegels aus einem gegebenen Punkte vor, so bemerkt man zunächst, daß jede solche Ebene längs einer Mantellinie berührt, also durch die Spitze S hindurchgeht. Die gesuchten Tangentialebenen enthalten demnach die Gerade ST, wenn T der gegebene Punkt ist. Ist U ST × E, so müssen die Spurlinien unserer Tangentialebenen in E durch U gehen und die Kurve u berühren, sie können mithin gezeichnet werden. In der Figur ist diese Konstruktion nicht durchgeführt. = 478. Von einem Kegel ist der Scheitel 8 und die Grundkurve u bekannt, die eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel sein kann; es sollen seine Achsen bestimmt werden. = Wir haben im vorausgehenden Kapitel gesehen, daß die Polareigenschaften eines Kegelschnittes bei Centralprojektion sich nicht ändern; hieraus lassen sich unmittelbar die Polareigenschaften des Kegels erschließen. Hat eine Kegelfläche den Scheitel S und die Grundkurve u und stellen A und a irgend einen Pol und seine Polare in Bezug auf u dar, so heißt SA = a. der Polstrahl der Ebene Sa A in Bezug auf die Kegelfläche und umgekehrt heißt A die Polarebene des Strahles a Alle Kegelsehnen (d. h. Strecken, deren Endpunkte auf dem Kegel liegen) werden, falls sie selbst oder ihre Verlängerungen a schneiden, durch a, und A harmonisch geteilt. Speziell werden alle Kegelsehnen, die zu a parallel sind, durch A halbiert. Analog werden alle Sehnen, die durch einen Punkt M von a gehen und zu A parallel sind, in M halbiert, oder mit andern Worten: die Mittelpunkte aller zu einer Ebene A parallelen Kegelschnitte liegen auf dem zu A gehörigen Polstrahl a Diese Kegelschnitte sind natürlich ähnliche und ähnlich gelegene Kurven und zwar Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln; unter ihnen befindet sich der Ebene durch S entsprechend ein Punkt, eine с ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl. 23 doppelte Gerade oder ein Geradenpaar. Steht ein Pohlstrahl auf seiner Polarebene senkrecht, so bildet er eine Achse und seine Polarebene eine Haupt- oder Symmetrie ebene des Kegels; letztere halbiert alle zu ihr senkrechte Sehnen, erstere trägt die Mittelpunkte aller zu ihr senkrechten Schnittkurven. Durch jede Kegelachse gehen zwei Hauptebenen, nämlich die Ebenen, welche die Achsen der zu ihr senkrechten Kegelschnitte enthalten; denn sie halbieren die zu ihnen senkrechten Sehnen. Analog liegen in jeder Hauptebene zwei Kegelachsen; sie sind den Achsen der zu ihr parallelen Kegelschnitte parallel. Jeder Kegel besitzt demnach drei zu einander rechtwinklige Achsen, die zu zwei und zwei die drei Hauptebenen bestimmen (vergl. 252). Zunächst haben wir dabei vorausgesetzt, daß immer eine Achse existiert, die weitere Darlegung wird die Richtigkeit dieser Voraussetzung ergeben. 479. Zwei Strahlen durch S, von denen jeder in der Polarebene des anderen liegt, heißen harmonisch oder konjugiert. Zu jedem Strahl durch S giebt es einen harmonischen, rechtwinkligen Strahl, er bildet die Schnittlinie der zu jenem Strahl durch S gelegten Normalebene mit seiner Polarebene. Nur zu den Achsen sind alle Strahlen der zugehörigen Hauptebene rechtwinklig und zugleich harmonisch. Seien nun A und M zwei beliebige Ebenen durch den Scheitel S des Kegels, 7 und m ihre Spuren in der Ebene П der Grundkurve u, und m ihre Normalen in 8, und m ihre Polstrahlen; die Spurpunkte dieser Geraden in П mögen L, M, L, M respektive sein. Bezeichnen wir ferner mit A den Spurpunkt eines Strahles a durch S, mit A, die Normalebene zu a in S, mit A, die Polarebene von a, mit a, resp. a. die Spurlinien dieser Ebenen, dann ist a1 = A, X A, der harmonische rechtwinklige Strahl zu a und A1 = a, a, sein Spurpunkt. Beschreibt хас nun a einen Strahlbüschel in der Ebene A mit dem Scheitel S, so beschreibt A, einen dazu projektiven Ebenenbüschel mit der Achse с n с a1 n und A, einen projektiven Ebenenbüschel mit der Achse . In der Ebene П durchläuft dann der Spurpunkt A von a die Punktreihe 7, während der Spurpunkt 41 des zu a harmonischen, rechtwinkligen Strahles a, einen Kegelschnitt 4 durchläuft; dieser Kegelschnitt wird erzeugt durch zwei projektive Strahlbüschel, deren entsprechende Strahlen a und a sich um die Scheitel Lund I drehen, er enthält deshalb die Punkte L und L. In gleicher Weise werden den Punkten einer Geraden m von П die Punkte eines Kegelschnittes m, entsprechen, wenn wir die Spurpunkte harmonischer rechtwinkliger Strahlen kurzweg als entsprechende Punkte be n = zeichnen (Fig. 304). Dem Punkte W=1x m entspricht ein gemeinsamer Punkt W1 von ↳ und m1; diese Kegelschnitte müssen sich deshalb mindestens noch in einem weiteren Punkte X schneiden. Zu X giebt es mithin je einen entsprechenden Punkt auf und m; zu SX11 giebt es also zwei harmonische rechtwinklige Strahlen, d. h. 1 ist eine Achse unseres Kegels, der nach Obigem noch zwei weitere Achsen besitzen muß. Die Kegelschnitte und m1 schneiden sich abgesehen von dem zu 1 x m entsprechenden Punkte in den Spurpunkten X, Y, Z, der drei Kegelachsen 1, y1, 1. Fig. 304. und m 480. Hiernach genügt es zu zwei beliebigen Geraden die entsprechenden Kegelschnitte 4 und m, wirklich zu zeichnen, um ihre Schnittpunkte und damit die Achsen des Kegels zu gewinnen. Zur Erzeugung des Kegelschnittes 4 dienen zwei projektive Strahlbüschel; der eine hat seinen Scheitel im Pole L. von 7 in Bezug auf u; seine Strahlen sind die Polaren der bezüglichen Punkte von 7. Der andere hat seinen Scheitel in L; seine Strahlen stehen senkrecht auf den Verbindungslinien der bezüglichen Punkte von 7 mit S', wo S' die Projektion von S auf П bedeutet. Ist L2 der Fußpunkt des von S' auf gefällten Lotes, so liegt L auf der Verlängerung dieses Lotes S'L2 über S' hinaus und genügt der Relation S'L2.S'L12 = h2, wenn man unter h = SS' S'S, die Höhe des Kegels versteht, da ja LSL ein rechter Winkel ist. Jeder Geraden n = n in П entspricht ein Kegelschnitt durch die Punkte X1, 1, Z1; unter allen diesen Kegelschnitten wird man zwei besondere auswählen, die zur genauen Auffindung ihrer Schnittpunkte am meisten geeignet erscheinen. Als besonders geeignet ist die gleichseitige Hyperbel anzusehen, die der unendlich fernen Geraden entspricht, und der Kreis durch die Punkte X, Y, Z. Auf die Konstruktion und die Eigenschaften dieser beiden Kurven wollen wir jetzt näher eingehen. c n Sei die unendlich ferne Gerade, so fallen L und L, respektive mit dem Mittelpunkte O von u und S' zusammen. Zu einem unendlich fernen Punkte, d. h. zu einer Richtung, erhält man den entsprechenden Punkt, indem man den zu dieser Richtung konjugierten Durchmesser von u mit der zur Richtung senkrechten Geraden durch S' schneidet. Dem unendlich fernen Punkte G der Achse AB von u entspricht demgemäß der unendlich ferne Punkt G1 der Achse CD und umgekehrt; dem unendlich fernen Punkt F von S'O entspricht der Punkt F1, wobei FS'S'O und FO, FO konjugierte Durchmesser von u sind. Der unendlich fernen Geraden entspricht deshalb der Kegelschnitt 7,, der die fünf Punkte O, S', F, G, G1 enthält; demnach ist eine Hyperbel, deren Asymptoten zu den Achsen AB und CD von u parallel sind; eine solche Hyperbel mit fechtwinkligen Asymptoten nennt man gleichseitig. Nun liegen e zwei konjugierte Durchmesser einer Hyperbel zu ihren Asymptoten harmonisch (nach 290); bei der gleichseitigen Hyperbel liegen deshalb je zwei konjugierte Durchmesser symmetrisch zu den Asymptoten. Der Mittelpunkt H unserer Hyperbel ↳ ergiebt sich hiernach als Schnitt zweier Durchmesser, von denen der eine durch die Mitte J der Sehne S'O geht und mit der Achse AB den gleichen Winkel einschließt wie diese Sehne, während der andere die Mitte K der Sehne FS enthält und mit dieser gegen die Achse AB gleich geneigt ist; denn jeder Durchmesser halbiert die Sehnen, die dem konjugierten Durchmesser parallel sind. Zeichnet man also drei Rechtecke, deren Seiten zu AB und CD parallel und deren erste Diagonalen S'O, S'F1, FO respektive sind, so schneiden sich ihre zweiten Diagonalen im Mittelpunkt H der Hyperbel; von dieser findet man beliebig viele Punkte mittels ihrer Asymptoten g und 91 und der bekannten Punkte. Weiterhin wird noch eine Methode angegeben, um beliebige Durchmesser der Hyperbel 7, direkt zu bestimmen. 481. Zur Erlangung des Kreises durch die Punkte X, Y, Z bedürfen wir eines Satzes, der zunächst hier abgeleitet werden soll. |