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474. Eine Kegelfläche entsteht durch Bewegung einer Geraden, von der ein Punkt festgehalten, wird und die an einer festen Leitkurve oder Grundkurve hingleitet. Die einzelnen Lagen der bewegten Geraden heißen Mantellinien oder Erzeugende, der gemeinsame feste Punkt die Spitze oder der Scheitel der Kegelfläche. Die erzeugte Fläche wird von jeder Ebene durch ihre Spitze in einer Anzahl Mantellinien geschnitten, die man dadurch konstruiert, daß man Kegelfläche und Ebene mit einer Hilfsebene schneidet; Spurkurve und Spurgerade schneiden sich dann in den Spurpunkten der gesuchten Mantellinien. Hält man eine solche fest und dreht die Ebene um sie, so bewegen sich die andern Schnittgeraden. Setzt man die Drehung fort bis die Spurgerade der Ebene die Spurkurve der Kegelfläche berührt, so fallen zwei Mantellinien zusammen; die Ebene berührt in dieser Lage die Fläche längs dieser Mantellinie. In der That tangiert jede Gerade dieser Ebene die Kegelfläche, da zwei ihrer Schnittpunkte auf jener Mantellinie zusammenfallen.

Kennt man von einer Kegelfiäche die Spitze und irgend eine ebene oder Raumkurve, die alle Erzeugenden schneidet, so ist sie bestimmt.

475. Der wahre Umriß einer Kegelfläche besteht aus einer Anzahl Mantellinien, da in den Punkten einer solchen die gleiche Tangentialebene berührt. Sind S', S" die Projektionen der Spitze und u', u" die einer beliebigen Kurve der Kegelfläche (die alle Mantellinien schneidet), so bestehen die scheinbaren Umrisse aus den von S' resp. S" an die Kurve u' resp. u" gelegten Tangenten. Auch die Lichtgrenze besteht aus einer Anzahl Mantellinien; längs derselben sind die Tangentialebenen parallel zum Lichtstrahl. Sind und die Horizontalschatten von S und u, so sind die Tangenten von S^ an die Horizontalspuren von Ebenen, die den Lichtstrahl SS^ durch die Kegelspitze enthalten und die Fläche tangieren. Ist eine solche Tangente und A^ ihr Berührungspunkt auf M^, so lege man durch A^ einen Lichtstrahl, der u in einem Punkte A schneidet; die Mantellinie SA bildet dann einen Teil der Lichtgrenze (Fig. 302).

Liegt die Kurve u der Kegelfläche in einer Ebene E, so verfährt man am bequemsten in folgender Weise. Man suche den Schatten von S auf E, etwa S*, und lege von S* Tangenten an u, dann bilden die Mantellinien durch ihre Berührungspunkte die Lichtgrenze. Wirft eine Mantellinie Schlagschatten auf einen Teil der Kegelfläche, so ist ihr Schatten wieder eine Mantellinie; beide besitzen in der Ebene E Spurpunkte auf u, deren Verbindungslinie durch S* hindurchgeht (ihre Schatten in E decken sich). auch noch einfacher durch folgende Überlegung gewinnen. Man denke sich eine Kugel, die den Kegelmantel längs u berührt; der Seitenriß ihres Mittelpunktes M ist M"'{M"'B"'± B"'S"') und ihr Radius = M"'B"'. Grundriß und Aufriß der Kugel sind Kreise mit dem gleichen Radius und den Mittelpunkten M resp. M". Die Tangenten an diese Kreise aus den Punkten S' bezw. S" und ihre Berührungspunkte fallen zusammen mit den gesuchten Tangenten an u bezw. u" und ihren Berührungspunkten. In der That berührt jede Ebene, die den Kegel längs einer Mantellinie berührt, die Hilfskugel in dem auf w gelegenen Endpunkte der Mantellinie. Ist diese Tangentialebene zu einer Projektionsebene senkrecht, so liefert sie eine Umrißlinie des Kegels und einen Punkt auf dem Kugelumriß, der zugleich dem Kreise u angehört, was unsere Behauptung beweist.

Eine Kegelfläche, die durch die Spitze und einen ebenen Schnitt als Grundkurve begrenzt wird, heißt kurz Kegel. In 92—94 und 248—252 sind ausführlich die Eigenschaften der geraden

und schiefen Kreiskegel behandelt worden, auf die hier nochmals verwiesen sein mag.

476. Einen geraden Kreiskegel zu zeichnen, wenn die Basisebene E, seine Höhe h, sowie Mittelpunkt O und Radius r seines Grundkreises u gegeben sind; Eigen- und Schlagschatten zu bestimmen (Fig. 303).

Man legt durch O eine Hilfsebene TTS senkrecht zu ex und zeichnet in ihr einen Seitenriß. Zunächst ergiebt sich e3 und ff", dann O"'S"' J_ e3 und = h und als Seitenriß des Kegels das Dreieck Ä"B'"S"\Ä"B"' = 2 r). Hieraus findet man unmittelbar S, S" (in der Figur liegt S in TTj) und die Achsen A'B' und CB' = 2r von u;

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die beiden Tangenten von S' an u' bilden dann den scheinbaren Umriß für die erste Projektion. Um die Berührungspunkte J'K' dieser Tangenten zu konstruieren, lege man u um ex nach u0 nieder und benutze die Affinität von w„ und u'. Sucht man zu S' den

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Um den Horizontalschatten des Kegels zu konstruieren, zeichnen wir zunächst den Schatten A^B^C^B^S^C^B^ = CB'); dann sind A^B^ und C^B^ zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse und die Tangenten von an bilden die Grenzlinien des Schlagschattens. Um sie zu zeichnen, benutze man die Affinität von ug und (ex Affinitätsachse), suche zu den affinen Punkt S2 und lege an u0 die Tangenten S2F0 und S2G0. Bestimmt man zur Berührungssehne F0G0 rückwärts die affine Strecke FtGt, so ist sie die Berührungssehne der von an gelegten Tangenten. Aber auch u0 und u' sind affine Kurven Affinitätsachse) und die zu F0G0 affinen Punkte F'G' von u ergeben auf dem Kegel die Lichtgrenzen S'F' und S'G', woraus sich dann leicht S"F" und S"G" finden lassen.

477, Nehmen wir an, daß der Kegel hohl sei, so wirft ein Teil des Randes u Schlagschatten auf das Innere des Kegelmantels. Zwei Mantellinien, von denen eine auf die andere Schatten wirft, werfen den gleichen Schatten auf TTj, man kann also mit Hilfe des Horizontalschattens zu jeder Mantellinie die von ihr Schatten empfangende Mantellinie des Kegels finden, und somit beliebig viele Punkte des Schattens u* von u auf die Kegelfläche. Noch besser benutzt man, um Punkte dieses Schattens u* zu konstruieren, den Schatten S* von S auf E. Empfängt nun eine Mantellinie den Schatten einer andern, so liegen ihre Spurpunkte auf u in E mit S* in gerader Linie.

Nach 506 durchdringen sich Cylinder- und Kegelfläche, die einen Kegelschnitt gemeinsam haben, noch in einem zweiten; die gemeinsame Sehne beider Kegelschnitte schneidet die Flächen in zwei Punkten, in denen sie die gleiche Tangentialebene aufweisen. Der Schatten u* erscheint aber als Schnitt der Kegelfläche mit einem Cylinder, dessen Grundkurve der Kreis u ist und dessen Mantellinien zu den Lichtstrahlen parallel sind. Es ist deshalb w* ein Kegelschnitt und FG ist die gemeinsame Sehne von u und W*. Die Kurven u und u* sind affin, da sie auf dem nämlichen Cylinder liegen, FG ist die Affinitätsachse, P und P* sind ein Paar affiner Punkte (P = u x OS*, PP* \\ l, S*P x SP* = Q liegt auf u). Was nun für u und W* gesagt wurde, gilt in gleicher Weise für u' und u*' (resp. für u" und u*"). Die Affinitätsachse ist F'G', ein Paar affiner Punkte sind P' und P*'; hiernach ist aber die Ellipse u*' leicht als affine Kurve zu u zu zeichnen.

Liegt noch die Frage nach den Tangentialebenen eines Kegels aus einem gegebenen Punkte vor, so bemerkt man zunächst, daß jede solche Ebene längs einer Mantellinie berührt, also durch die Spitze S hindurchgeht. Die gesuchten Tangentialebenen enthalten demnach die Gerade ST, wenn T der gegebene Punkt ist. Ist U = ST x E, so müssen die Spurlinien unserer Tangentialebenen in E durch U gehen und die Kurve u berühren, sie können mithin gezeichnet werden. In der Figur ist diese Konstruktion nicht durchgeführt .

478. Von einem Kegel ist der Scheitel S und die Grundkurve u bekannt, die eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel sein kann; es sollen seine Achsen bestimmt werden.

Wir haben im vorausgehenden Kapitel gesehen, daß die Polareigenschaften eines Kegelschnittes bei Centraiprojektion sich nicht ändern; hieraus lassen sich unmittelbar die Polareigenschaften des Kegels erschließen. Hat eine Kegelfiäche den Scheitel S und die Grundkurve u und stellen A und a irgend einen Pol und seine Polare in Bezug auf u dar, so heißt SA = ac der Polstrahl der Ebene Sa = A in Bezug auf die Kegelfläche und umgekehrt heißt A die Polarebene des Strahles ac. Alle Kegelsehnen (d. h. Strecken, deren Endpunkte auf dem Kegel liegen) werden, falls sie selbst oder ihre Verlängerungen ae schneiden, durch ac und A harmonisch geteilt. Speziell werden alle Kegelsehnen, die zu ae parallel sind, durch A halbiert. Analog werden alle Sehnen, die durch einen Punkt M von ac gehen und zu A parallel sind, in M halbiert, oder mit andern Worten: die Mittelpunkte aller zu einer Ebene A parallelen Kegelschnitte liegen auf dem zu A gehörigen Polstrahl ac. Diese Kegelschnitte sind natürlich ähnliche und ähnlich gelegene Kurven und zwar Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln; unter ihnen befindet sich der Ebene durch S entsprechend ein Punkt, eine

Röhn U. Papperitz. I. 2. Aufl. 23

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