bilden eine Cylinderfläche, welche jene längs einer Kurve berührt (die mehrteilig sein kann); diese Kurve auf der Oberfläche heißt der wahre Umriß und ihre Projektion der scheinbare Umriß. In dem wahren Umriß grenzen zwei Flächengebiete aneinander, deren Projektionen aufeinander fallen; jede Kurve der Oberfläche, die den wahren Umriß schneidet, projiziert sich als Kurve, die den scheinbaren Umriß berührt. Im allgemeinen wird es schwierig sein, auf einer Fläche hiernach den wahren Umriß zu bestimmen, d. h. Punkte zu finden, in denen eine Tangente parallel zur Projektionsrichtung existiert. Nun liegen aber alle Tangenten in einem gewöhnlichen Punkte einer Oberfläche nach 461 in einer Ebene seiner Tangentialebene, es läßt sich also auch die Definition geben: Auf dem wahren Umriß liegen alle Punkte, deren Tangentialebenen der Projektionsrichtung parallel sind. Hierauf werden wir in den meisten Fällen die Konstruktion beliebig vieler Punkte des Umrisses gründen können.

467. Setzen wir an die Stelle der projizierenden Strahlen parallele Lichtstrahlen, so wird das bisher Gesagte zu Recht bestehen bleiben, wenn wir einige einfache Abänderungen im Ausdruck treffen. Alle die Fläche berührenden Lichtstrahlen bilden einen Cylinder; die Kurve, längs der er die Fläche berührt, heißt Eigenschattengrenze, Lichtgrenze oder Grenzkurve. Die Tangentialebenen in den Punkten der Grenzkurve sind den Lichtstrahlen parallel. Die Grenzkurve trennt immer zwei Flächenteile, von denen der eine im Eigenschatten, der andere entweder im Lichte oder im Schlagschatten liegt. Denn von den Durchstoßpunkten eines Lichtstrahles mit einer Oberfläche liegt der erste im Licht, der zweite, vierte u. s. w. im Eigenschatten, der dritte, fünfte u. s. w. im Schlagschatten.

468. Eine Kugel, die Lichtgrenze auf ihr sowie ihren Schlagschatten zu zeichnen. Da jede Tangentialebene einer Kugel auf dem Radius ihres Berührungspunktes senkrecht steht und also auch gleiches für jede Tangente gilt, so erkennt man, daß der wahre Umriß ein größter Kreis ist, dessen Ebene den Kugelmittelpunkt enthält und auf der Projektionsrichtung normal, d. h. der bezüglichen Projektionsebene parallel ist. Ganz ebenso bildet die Lichtgrenze einen größten Kreis, dessen Ebene zur Lichtstrahlrichtung senkrecht ist.

Sind also M', M" die Projektionen des Kugelmittelpunktes, so sind die scheinbaren Umrisse k und " Kreise, deren Radien dem

Kugelradius r gleich sind und die M' resp. M" zu Mittelpunkten haben. Die anderen Projektionen dieser Kreise sind parallele Linien zur z-Achse durch M" resp. M' (Fig. 299).

Die Lichtgrenze u ist ein größter Kreis, dessen Ebene senkrecht zum Lichtstrahl 7 ist; ihre Projektionen u' und u" sind Ellipsen. Sind AB und CD zwei Durchmesser des Kreises u und ist AB|| T1 eine Hauptlinie, CD LAB eine Falllinie von, so ist A'B'

(AB) die große und C'D' (LA'B') die kleine Achse der Ellipse u. Legt man durch M den Lichtstrahl und durch ihn die erste projizierende Ebene, so schneidet diese auf die Gerade CD aus. Diese Ebene dreht man um die Gerade a parallel zu П1,

so nimmt M die Lage Mo (MMO

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(M")), also 7 die Lage M'Mo und CD die Lage CD 1 an. Durch Zurückdrehen findet man dann C'D' (wo CC 1a). Ganz in der gleichen Weise kann man die Achsen der Ellipse u" finden. Die Aufrißprojektionen A, B, C, D sind offenbar 4", B", C", D", wo (C′′ – a′′) = Der Schlagschatten u von u auf die Horizontalebene ist natürlich wieder eine Ellipse; die Schlagschatten der rechtwinkligen

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CC' ist.

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1

Durchmesser AB und CD von u, nämlich AB und CD, stehen aufeinander senkrecht, bilden also die Achsen der Ellipse u Da ABT1, so ist ABA'B'; um CD zu finden, suchen wir zuerst den Schatten von CD auf eine Horizontalebene durch den Kugelmittelpunkt. Die Lichtstrahlen durch C und D liegen aber mit 7 in einer Vertikalebene, die wir bereits oben um eine Achse a parallel zu П1 gedreht haben. Bei dieser Drehung werden die genannten Lichtstrahlen parallel zu 7 und ihre Schnittpunkte C1, D1 mit a sind zugleich die Schnittpunkte jener Lichtstrahlen durch C und D mit der horizontalen Hilfsebene, da sie sich bei der Drehung ja nicht ändern. Nun hat man nur noch MC = MD, M'C1 = M'D1 zu machen. Man kann die Punkte C, D, C, D auch dadurch bestimmen, daß man die erste projizierende Ebene von 7 um die vertikale Achse durch M zum Aufriß parallel dreht. Dann erscheint im Aufriß der Durchmesser CD normal zum mitgedrehten Lichtstrahl und kann samt seinem Schatten leicht gezeichnet werden. Schließlich hat man wieder zurückzudrehen.

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Fällt ein Teil des Schlagschattens in den Aufriß, so kann man entweder wie vorher die Achsen der Schlagschattenellipse im Aufriß bestimmen, oder man konstruiert zu einzelnen Punkten den Aufriẞschatten aus dem Grundrißschatten. Sind P und P* die Schatten von P im Grund- und Aufriß, und projiziert man sie auf die x-Achse, so liegt der erste mit der Projektion des zweiten auf einer Parallelen zu l' und der zweite mit der Projektion des ersten auf einer Parallelen zu l".

469. Eine Cylinderfläche entsteht, wenn eine Gerade parallel mit sich selbst so fortbewegt wird, daß sie dabei ständig eine feste Kurve, die Leitkurve oder Grundkurve, schneidet. Die einzelnen Lagen der bewegten Geraden heißen Mantellinien oder Erzeugende. Die erzeugte Fläche wird von jeder Ebene, die den Mantellinien parallel ist, in einer Anzahl Mantellinien geschnitten. Man kann diese konstruieren, indem man die Cylinderfläche und die Ebene mit einer Hilfsebene schneidet; Spurkurve und Spurgerade in dieser schneiden sich dann in Punkten der gesuchten Mantellinien. Hält man eine Mantellinie fest und dreht die Ebene um sie, so bewegen sich deren weitere Schnittgeraden. Setzt man die Drehung fort, bis die erwähnte Spurgerade der Ebene die Spurkurve der Cylinderfläche berührt, so fallen zwei Schnittlinien zusammen, die Ebene berührt in dieser Lage die Fläche längs einer Mantellinie. In der That tangiert jede Gerade dieser Ebene die Cylinderfläche, da zwei ihrer Schnittpunkte auf jener Mantellinie zusammen

fallen. Kennt man von einer Cylinderfläche irgend eine, alle Mantellinien schneidende, ebene oder Raumkurve und die Richtung ihrer Mantellinien, so ist sie bestimmt. Jene Kurve kann nämlich als Leitkurve dienen.

470. Der wahre Umriß einer Cylinderfläche besteht aus einer Anzahl Mantellinien, da in allen Punkten einer solchen die nämliche Tangentialebene berührt. Sind m', m" die Projektionen

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einer Mantellinie und u', u' die einer beliebigen Kurve der Cylinderfläche, so bestehen die scheinbaren Umrisse aus denjenigen Tangenten von u resp. u", die zu m' resp. m" parallel laufen. Auch die Lichtgrenze besteht aus einer Anzahl Mantellinien, längs deren die Tangentialebenen parallel zum Lichtstrahl sind. Ist u und m der Horizontalschatten von u und m (Fig. 300) und zieht man an u Tangenten parallel zum m, so bilden diese die Horizontalspuren von Ebenen, die zu den Lichtstrahlen parallel sind und die Cylinderfläche tangieren. Ist a eine solche Tangente und 4 ihr Berührungspunkt mit u, so lege man durch einen Lichtstrahl, der u in

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einem Punkte A schneidet; die Mantellinie a durch A bildet dann einen Teil der Lichtgrenze, trennt also ein im Eigenschatten liegendes Flächengebiet von einem andern, das sich im Licht oder im Schlagschatten befindet. Ebenso findet man die Lichtgrenze c, ihr Schlagschatten c kommt indessen auf der Horizontalebene nicht wirklich zu stande, da er in das Innere des Schlagschattens des Cylinders fällt. Es giebt deshalb eine zweite Mantellinie, deren Schatten ebenfalls nach c fällt, sie geht durch den Punkt P von u, dessen Schatten Pc Xu ist, und empfängt von c Schlagschatten.

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Das Verfahren läßt sich vereinfachen, wenn die Kurve u auf der Cylinderfläche in einer Ebene E liegt. Dann bestimme man den Schatten von m auf E, etwa m*, und lege an u Tangenten parallel zu m*; die Mantellinien durch ihre Berührungspunkte bilden die Lichtgrenze. Wirft eine Mantellinie Schlagschatten auf einen Teil der Cylinderfläche, so ist dieser wieder eine Mantellinie; beide besitzen in der Ebene E Spurpunkte auf u, deren Verbindungslinie zu m* parallel ist.

471. Nachdem wir hiermit die allgemeinen Methoden kennen gelernt haben, wollen wir dieselben auf einzelne Fälle anwenden. Wir werden dabei annehmen, daß die Cylinderfläche von zwei ebenen parallelen Schnitten begrenzt sei und sie kurz als Cylinder bezeichnen. Wie man solche ebene Schnitte findet, davon wird weiterhin noch die Rede sein.

Sei die Grundebene E und in ihr als Grundkurve eines Cylinders eine Ellipse u durch ihre erste Projektion u', sowie die Richtung m seiner Mantellinien gegeben; es sollen die Projektionen des Cylinders, sein Eigen- und Schlagschatten gefunden werden.

Seien e1, e die Spuren von E, seien ferner M' der Mittelpunkt und A'B', C'D' zwei konjugierte Durchmesser von u' und bilde MN (als Parallele zu den Mantellinien) die Cylinderachse (Fig. 301). Man findet dann sofort die konjugierten Durchmesser A′′B", C"D" der Ellipse u" (denn AB, CD liegen in E) und kann daraus die Ellipsen u' und u" selbst zeichnen. Der scheinbare Umriß in П, wird von den beiden Tangenten von u gebildet, die zu M'N' parallel laufen; ihre Berührungspunkte liegen aber auf dem Durchmesser J'K', der zu M'N' konjugiert ist. Zeichnet man demnach in A' die Tangente und Normale von und bestimmt auf der letzteren den Punkt Po, so daß PA' M'C' = M'D' wird, so ist der Kreis um Po mit dem Radius PA' zu u affin und die gemeinsame Tangente die Affinitäts

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